2021-2022學(xué)年陜西省西安市藍(lán)田縣高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年陜西省西安市藍(lán)田縣高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合人={-1,0,1,2},8={X0<x<3},則（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【分析】直接根據(jù)交集的概念即可得結(jié)果.

【詳解】因為A={—1,0,1,2},B={x|0<x<3},

所以<4口8=0,2},

故選：B.

2.已知圓6：*2+丁=1與圓。2：（丫-3）2+（丫-4）2=4,則圓C1與C?的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩半徑關(guān)系確定兩圓位置關(guān)系.

【詳解】圓G：/+V=1的圓心為G（o,o），半徑4=1,

圓G：（x-3）2+（y-4）2=4的圓心為G（，4）,半徑&=2,

因為=J32+42=5>彳+4=3,

所以兩圓相離，

故選：D.

3.下列說法中正確的是（）

A.圓錐的軸截面一定是等邊三角形

B.用一個平面去截棱錐，一定會得到一個棱錐和一個棱臺

C.三棱柱的側(cè)面可以是三角形

D.棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐、棱錐、棱柱和棱臺的結(jié)構(gòu)與特征，逐一判斷即可.

【詳解】對于A,圓錐的軸截面一定是等腰三角形，中有當(dāng)母線等于底面直徑時，軸截面才是等邊

三角形，故錯誤；

對于B,只有用一個平行于底的平面去截棱錐，才一定會得到一個棱錐和一個棱臺，故錯誤；

對于C,由棱柱的定義可知，棱柱的側(cè)面是平行四邊形，故錯誤；

對于D,棱錐為三棱錐時，側(cè)面和底面都是三角形，故正確；

故選：D.

4.一個水平放置的平面四邊形48co采用斜二側(cè)畫法得到的直觀圖是菱形A'3'C'D',如圖所示，則

平面四邊形ABCD的形狀為（）

A.正方形B.長方形C.菱形D.梯形

【答案】B

【分析】直接將直觀圖進(jìn)行還原即可得結(jié)果.

【詳解】將直觀圖還原得如圖：

坤

D---------IC

OAB

所以平面四邊形ABCD的形狀為長方形，

故選：B.

5.函數(shù)八s=-3兇+1的圖象大致是（）

【答案】A

(詳解】V函數(shù)/(x)=-3|r|+1二/(-%)=-3卜"+1=-3W+1=/(%),

即函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于），軸對稱，故排除BD

當(dāng)x=0時，/(0)=-3°+1=0,即函數(shù)圖象過原點(diǎn)，故排除C，

本題選擇A選項.

6.兩條直線5x+12y+4=0與10x+24y-18=0的距離為()

A.—B.三巨C.V13

1313

【答案】D

［分析］根據(jù)兩平行線間的距離公式即可得解.

【詳解】直線10x+24y-18=0即5》+12)，-9=0,

所以5x+12y+4=0與5x+12y-9=0的距離為上土21=1,

752+122

故選：D.

7.已知q=3<2,b=log23,c=log023,則()

A.h<c<aB.a<c<hC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為0<a=3?2<3°=1,C=log023<log02l=0,

所以c<a,又因為人=log23>log22=l,所以力>a>c,

故選：C.

8.在正方體ABCO-AgGA中，尸為的中點(diǎn)，則直線28與AC所成的角為()

【答案】A

【分析】連接AG，BAt,BQ,由正方體的性質(zhì)可得P為AC的中點(diǎn)且AC//C4,NBPA即為異面

直線PB與AC所成的角(或補(bǔ)角)，再根據(jù)VABC1為等邊三角形，即可得解;

【詳解】解：連接4G，BA.BG，由正方體的性質(zhì)可得尸為AG的中點(diǎn),

由AA//CG且4A=CC,,所以四邊形A,ACC,為平行四邊形,

所以AG//CA,所以NBPA即為異面直線M與AC所成的角（或補(bǔ)角）,

TT

顯然AG=84,=BG，即v^BG為等邊三角形，所以BPLPA，即

TT

故直線PB與AC所成的角為］；

故選：A

9.某正方體被截去部分后剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

正視方向

【答案】B

【分析】根據(jù)三視圖的特點(diǎn)：長對正，高平齊，寬相等分析求解.

【詳解】由三視圖的畫法，可得側(cè)視圖如下：

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖，還考查了空間想象的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.若點(diǎn)尸（1,1）為圓V+y2=4的弦A3的中點(diǎn)，則弦A3所在直線方程為（）

A.x+y-2=0B.x+y+2=()C.x-y+2=0D.x-y-2=0

【答案】A

【分析】根據(jù)圓心和弦的中點(diǎn)的連線與弦所在的直線垂直，求出弦所在直線的斜率，再代入點(diǎn)斜式

化為一般式即可.

【詳解】+)，2=4的圓心為0(0.0),半徑r=2,

因為P(l,l)為圓/+產(chǎn)=4的弦AB的中點(diǎn)，

所以圓心。與點(diǎn)P確定的直線斜率為怎。=以=1,

因為圓心和弦的中點(diǎn)的連線與弦所在的直線垂直，

所以弦A8所在直線的斜率為原3=-1,

所以弦A8所在直線的方程為：y-l=(-l).(x-l),

即x+y-2=0.

故選：A.

11.設(shè)〃?，”是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()

A.若機(jī)J_a,nu[),mLn,則B.若m"a,m//n,則"〃ar

C.若利〃“，nip,mua,則a_L夕D.若a_L/7,a[}p=m,n±m(xù),則〃，夕

【答案】C

【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項.

【詳解】A.若“，a,n^(3,mLn,則a與夕相交，平行，故A錯誤；

B.若a,m//n,則“ua或〃〃a,故B錯誤；

C.若加〃〃，nLp,則相，/?,且，"ua,則故C正確；

D.若aLjS,a[}/3=m,n±m(xù),但沒注明“ua,所以〃與萬不一定垂直，故D錯誤.

故選：C

12.在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為瞥腌.己知在瞥腌A-BCD中，

滿足431平面88,且4?=3。=5,BC=3,8=4,則此瞥糯外接球的表面積為()

A.25兀B.50KC.100KD.200兀

【答案】B

【分析】由題意畫出圖形，然后補(bǔ)形為長方體，求出長方體的對角線長，即可得到外接球的半徑，

代入球的表面積公式得答案.

【詳解】由BD=5,BC=3,CD=4,：.BD2=BC2+CD2,即有8C_LCD,

又A8二平面BC。，所以AB,BC,CD兩兩互相垂直，該瞥）1如圖所示:

B3C

圖形可以補(bǔ)形為長方體，該瞥腌的外接球即該長方體的外接球，AD是長方體的體對角線，也是外

接球的直徑，設(shè)外接球半徑為外則（2種=32+42+52=50,

所以瞥席的外接球表面積為4兀六=50兀.

故選：B.

二、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系中，直線后-y+l=0的傾斜角是.

【答案】60。（或三）

【分析】先求出直線斜率，再求出直線傾斜角即可.

【詳解】設(shè)直線Gx-y+l=0的傾斜角為a（0。4a<180。），

將直線方程由x-y+l=0化為斜截式得：y=V3x+l,

該直線的斜率々=G=tana,

*/0°<a<180°,

Aa=60°.

故答案為：60。（或g）.

14.已知直線/過點(diǎn)（2,1）,且在y軸上的截距與在x軸上的截距相等，則直線/的方程是.

【答案】》+>-3=0或x-2y=0

【分析】根據(jù)截距式方程的兩種情況解決.

【詳解】當(dāng)x,y軸上的截距都為零時設(shè)/的方程為y=丘，把點(diǎn)（2,1）代入得1=23即4=；,所以

/的方程為、_2y=0；

當(dāng)％），軸上的截距都不為零時，設(shè)截距都為。，貝心的方程為土+上=1,把點(diǎn)（2,1）代入得

aa

2|

-+-=\,即a=3,所以/的方程為x+y-3=0.

aa

故答案為：x+y-3=0或x_2y=0

15.已知直線/：3x+2y-2=0,直線機(jī):3履-3y+Z-3=0,若直線/與團(tuán)的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)

數(shù)2的取值范圍為.

【答案】（L6）

【分析】直接求出交點(diǎn)坐標(biāo)，交點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)都大于0,解不等式組即可.

【詳解】由題意得兩直線不平行，即蓑。三，得人工-^，

\2-2k

x-

3-=。6攵+9

3fcc-3y+)t-3=03k—3

y=--------

2k+3

由于直線/與機(jī)的交點(diǎn)在第一象限,

—>0

所以工+：，解得1〈人<6,則實(shí)數(shù)々的取值范圍為（L6）,

〔2人+3

故答案為：（1,6）.

16.若函數(shù)“X）滿足/（5=-〃力，則稱/（x）為滿足"倒負(fù)”變換的函數(shù)，在下列函數(shù)中，所有滿

足"倒負(fù)”變換的函數(shù)序號是.

①〃力=7^7；②/(x)=x\③/(x)=x+g：④/(x)=x-J

【答案】④

【分析】求得了（（）的解析式，再與-/（X）的解析式進(jìn)行比較即可得到滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)

【詳解】①，（￡|=*=士~177=一,（可，不符合要求；

X

=-/（%）,不符合要求;

,不符合要求;

=_〃x），符合要求

故答案為：④

三、解答題

17.三角形ABC的三個頂點(diǎn)A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求：

(1)8c邊所在直線的方程；

(2)8c邊上高線A。所在直線的方程.

【答案】(1)x+2y-4=0(2)2x-y+6=0

【分析】(1)直接根據(jù)兩點(diǎn)式公式寫出直線方程即可；

(2)先根據(jù)直線的垂直關(guān)系求出高線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可.

【詳解】(1)BC邊所在直線的方程為：

y-1_x-2

3^T--2-2，

即x+2y-4=0；

(2)YBC的斜率K尸

邊上的高A。的斜率K=2,

邊上的高線AQ所在直線的方程為：y=2(x+3),

即2x-y+6=0.

【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及利用兩點(diǎn)式求直線方程的方法，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知圓C:x2+y2_4x_6y+9=0,直線/:H+y-2=0.

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑；

(2)若直線/與圓C相切，求實(shí)數(shù)上的值.

【答案】(1)圓心C的坐標(biāo)為(2,3),半徑為2.

3

(2)^=7

4

【分析】(1)通過配方將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得圓心和半徑；

(2)通過圓心到直線的距離等于半徑列出方程解出即可.

【詳解】(1)?圓C:x2+y2-4x-6)，+9=0,

???圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)?+(y-3)2=4.

???圓C的圓心C的坐標(biāo)為(2,3),半徑為2.

(2)?.?直線/與圓C相切,

|2左+3-2|3

.??圓心C到直線）的距離d」/「=2,解得&=；.

J1+攵24

實(shí)數(shù)&的值*

19.如圖，A8是圓柱體OO'的一條母線，8c為底面圓。的直徑，。是圓。上不與B,C重合的任

意一點(diǎn).

D

⑴求證：CD_L平面48。；

（2）若A3=BC=10,8=8,求三棱錐。-/WC的體積.

【答案】（1）證明見解析

(2)80

【分析】（1）利用線面垂直判定定理即可證明平面

（2）先求得三棱錐O-ABC的高，進(jìn)而求得三棱錐。-ABC的體積.

【詳解】（1）?.?點(diǎn)。在以BC為直徑的圓上，.?.8OLCO.

<243_1_平面8c￡）,CDu平面8c。，ABLCD.

又???450比）=8,ABu平面43￡>,BZ）u平面43D

\CDA平面A8￡）.

（2）在RtABOC中，BDNBC2-Cb2="片-8=6,

-'?SASDC=^X8X6=24-

由題意知平面BCO,則A8為三棱錐￡>-ABC的一個高

-'-VD-AUC=匕-88=gSABDC-AB=1x24x10=80.

20.為實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，減少污染，某化工企業(yè)開發(fā)了一個廢料回收項目、經(jīng)測算，該項目回收成本。

[20x,0<x<30

（元）與日回收量X（噸）（xe[0,50]）的函數(shù)關(guān)系可表示為p=2/6，且每回

I%"+16%-780,30<x<50

收1噸廢料，轉(zhuǎn)化成其他產(chǎn)品可收入80元.

(1)設(shè)日純收益為y元，寫出函數(shù)y=/(x)的解析式；(純收益=收入-成本)

(2)該公司每日回收廢料多少噸時，獲得純收益最大？

60x,xe[0,30]

【答案】⑴〃x)=

-x2+64x+780,xe(30,50]

(2)當(dāng)公司每日回收廢料32噸時，獲得純收益最大為1804元.

【分析】(1)由題意求出收入，再根據(jù)純收益=收入-成本即可求解.

(2)根據(jù)分段函數(shù)解析式以及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)04x430時，每日收入為80x,每日回收成本為20x,

則日純收益尸80x-20x=60x,

當(dāng)30<xV50時，每日收入為80x,每日回收成本為f+16x-為0,

則日純收益y=80x-/-16x+780=-/+Mx+780,

j60x,xe[0,30]

故"xb+即+780,xe(30,50]

(2)當(dāng)04xV30時，y=60x是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以此時x=30時在[0,30]取最大值，/(30)=1800,

當(dāng)30cx45()時，y=SOx-x2-16A+780=-X2+64x+780=-(x-32)2+1804,

顯然在x=32時，取得最大值，此時"32)=1804,

由“32)=1804>"30)=1800,

故當(dāng)公司每日回收廢料32噸時，獲得純收益最大為1804元.

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是平行四邊形，M、N、。分別為8C、以、尸8的

(1)證明：平面MNQ〃平面PCD；

（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使得MN〃平面ACE?若存在，求出而的值；若不存在，請

說明理由.

PE1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，—

【分析】（1）先利用線線平行證明線面平行，再根據(jù)線面平行證明面面平行即可；

（2）取尸。中點(diǎn)E,連接NE、CE,利用中位線定理，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)證明四邊形MCEN是平

行四邊形，即證MN〃CE,再根據(jù)線面平行的判定定理即證結(jié)果.

【詳解】（1）證明：：A3CD是平行四邊形，M,N、2分別為8C、PA.的中點(diǎn)，

NQHABHCD,MQHPC,

又NQ<z平面尸CD,CDu平面PCD,平面PC￡>,PCu平面PCD,

NQ//平面PCD,MQH平面PCD,

VNQ[}MQ=Q,且N。、MQ\平面MNQ,

平面MNQ〃平面PCD

PE1

（2）解：存在點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn)，使得MN〃平面ACE,且就=5.證明如下:

取PO中點(diǎn)E,連接NE、CE,

,:N、E、M分別是AP、PD、8c的中點(diǎn)，.?.NE〃g4O,NE=；A。，且8C〃A￡>,8C=A。，即

MC//-AD,MC=-AD,

22

NEHMC,NE=MC,；.四邊形MCEN是平行四邊形，/.MN//CE,

PE1

平面ACE,比匚平面47￡,，加可〃平面47￡,且而=].

22.已知函數(shù)/（x）=bg“（3a-2x）（〃>0,且