高中數(shù)學(xué)選修曲線與方程

2.1曲線與方程第二章圓錐曲線與方程【情景引入】

代數(shù)與幾何的聯(lián)系

（1）、求第一、三象限里兩軸間夾角平分線的坐標(biāo)滿足的關(guān)系點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分線得出關(guān)系：x-y=0xy0上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在上曲線條件方程（1）滿足關(guān)系：（1）、如果是圓上的點(diǎn)，那么一定是這個(gè)方程的解·0xyM·（2）、方程表示如圖的圓圖像上的點(diǎn)M與此方程有什么關(guān)系？

的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在圓上。（2）、如果是方程按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)幾何對象x,y制約關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)曲線C坐標(biāo)（x,y）方程f(x,y)=0

通過探究可知，在直角坐標(biāo)系建立以后，平面內(nèi)的點(diǎn)與數(shù)對（x,y）建立了一一對應(yīng)關(guān)系.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成曲線C，與之對應(yīng)的實(shí)數(shù)對的變化就形成了方程f(x,y)=0.曲線的方程與方程的曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.【例1】說明過A（2，0）平行于y軸的直線與方程︱x︱=2的關(guān)系①、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程︱x︱=2②、滿足方程︱x︱=2的點(diǎn)不一定在直線上結(jié)論：過A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=20xy2A類型一：曲線的方程與方程的曲線的判定【例2】(1)下面所給的方程是圖中曲線的方程的是(

)【解析】(1)選D.A不是，因?yàn)閤2＋y2＝1表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都是曲線上的點(diǎn)，如的坐標(biāo)適合方程x2＋y2＝1，但不在所給曲線上；B不是，理由同上，如點(diǎn)(－1,1)適合x2－y2＝0，但不在所給曲線上；C不是，因?yàn)榍€上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程的解，如(－1，－1)在所給曲線上，但不適合方程lgx＋lgy＝1.排除法的應(yīng)用判斷曲線是否為方程的曲線，方程是否為曲線的方程的方法時(shí)，主要利用排除法，用特例來檢驗(yàn)兩個(gè)條件是否滿足，即(1)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度：若點(diǎn)M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲線C上，則f(x0，y0)=0；或若f(x0，y0)≠0，則M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲線C上.(2)從方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，則M(x0，y0)在方程f(x，y)=0所表示的曲線C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲線C上，則f(x0，y0)≠0.(2)方程表示的是什么曲線？(2).根據(jù)題意得或x-y-3=0，由得交點(diǎn)為(2，-1)，故方程表示直線x-y-3=0和直線x+y-1=0上自點(diǎn)(2，-1)向右下方的射線.類型二：曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用【例3】證明以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓的方程是x2+y2=9.【解析】(1)設(shè)M(x1,y1)是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為3，所以即x12+y12=9，所以圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x2+y2=9的解.(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)(x2,y2)是方程x2+y2=9的解，則x22+y22=9，即所以點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離為3，所以點(diǎn)N在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上,由(1)(2)可知，以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓的方程是x2+y2=9.【延伸探究】1.(變換條件)本例條件改為：求以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓的上半圓的方程.【解析】上半圓上點(diǎn)的坐標(biāo)仍舊是方程x2+y2=9的解，但方程的解中縱坐標(biāo)為負(fù)的點(diǎn)都在x軸下方，不在曲線上，所以方程應(yīng)為x2+y2=9(y≥0).2.(改變問法)本例中方程改為x2+y2=9(xy>0)，則它表示的軌跡是什么？【解析】以方程x2+y2=9的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上，當(dāng)滿足xy>0時(shí)，說明這些點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào)，即這些點(diǎn)應(yīng)該在第一象限或第三象限內(nèi)，所以方程表示的曲線是以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓中在第一和第三象限內(nèi)的部分.3.(改變問法)若本例條件改為已知曲線C的方程為則曲線C表示的曲線是什么？該曲線與y軸圍成的圖形的面積是多少？【解析】由得x2＋y2＝9.又因?yàn)閤≥0，所以方程表示的曲線是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的右半圓，從而該曲線C與y軸圍成的圖形是半圓，其面積S＝所以所求圖形的面積為【規(guī)律總結(jié)】證明曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程的步驟(1)證明曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解：根據(jù)曲線的特征，驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.(2)證明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上：分析方程的特點(diǎn)或?qū)Ψ匠踢m當(dāng)變形，利用方程表示的幾何意義確定以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)具有的特征，驗(yàn)證這些點(diǎn)都在曲線