湖北省武漢市部分重點中學高三上學期數(shù)學8月聯(lián)考試卷

高三上學期數(shù)學8月聯(lián)考試卷一、單選題1.已知全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.2.若復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)在復平面內對應的點在第（

）象限A.一

B.二

C.三

D.四3.若一圓臺的上底面半徑為1，且上?下底面半徑和高的比為，則圓臺的體積為（

）A.

B.

C.

D.4.聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A.是奇函數(shù)

B.的最小正周期為

C.在區(qū)間上單調遞增

D.的最小值為15.已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，的延長線交y軸于點N．若M為的中點，則（

）A.4

B.6

C.8

D.106.已知且則=（

）A.

B.

C.

D.7.在的展開式中，只有第7項的二項式系數(shù)最大，則展開式常數(shù)項是（

）A.

B.

C.

D.288.關于函數(shù)，，下列說法錯誤的是（

）A.在處的切線方程為

B.有兩個零點

C.存在唯一極小值點，且

D.有兩個極值點二、多選題9.下列說法：①對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越小，說明擬合效果越好；②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和；③已知隨機變量，若，則的值為；④通過回歸直線及回歸系數(shù)，可以精確反映變量的取值和變化趨勢．其中正確的選項是（

）A.①

B.②

C.③

D.④10.下列說法中正確的（

）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是

B.向量，不能作為平面內所有向量的一組基底

C.非零向量，，滿足且與同向，則

D.非零向量和，滿足，則與的夾角為11.已知圓錐曲線與（，）的公共焦點為，．點M為，的一個公共點，且滿足，若圓錐曲線的離心率為，則下列說法錯誤的是（

）A.的離心率為

B.的離心率為

C.的漸近線方程為

D.的漸近線方程為12.在正方體中，點M在線段上運動，則下列說法正確的是（

）A.直線平面

B.直線與平面所成角的正弦值的最大值為

C.異面直線AM與所成角的取值范圍是

D.三棱錐的體積為定值三、填空題13.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則

．14.已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當，時，，則

15.設點P是橢圓的短軸的一個上端點，Q是橢圓上的任意一個動點，則長的最大值是

．16.把正整數(shù)排列成如圖甲的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到數(shù)列，則（1）

；（2）若，則

．四、解答題17.在①，；②；③三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答.已知數(shù)列的前項和為，滿足______.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前10項和.注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.18.在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，求X的分布列及期望．19.在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，時，（1）若，求c；（2）記①當k為何值時，是直角三角形．②當k為何值時，使得有解．（寫出滿足條件的所有k的值）20.如圖，且，，且，且，平面，.（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；（2）求二面角的正弦值．21.在平面直角坐標系中，圓，，過的直線與圓交于兩點，過作直線平行交于點.（1）求點的軌跡方程；（2）若不過坐標原點的直線與曲線相交于、兩點，點，且滿足，求面積最大時直線的方程.22.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，是函數(shù)的兩個極值點，證明：恒成立．

答案解析部分一、單選題1.【答案】C【解析】【解答】解：由全集，集合，，則，所以。故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合并集和補集的運算法則，從而求出集合。2.【答案】D【解析】【解答】，共軛復數(shù)，對應的點為，故對應點在第四象限。故答案為：D

【分析】利用已知條件結合復數(shù)的乘法運算法則求出復數(shù)z，再利用復數(shù)與共軛復數(shù)的關系，從而求出復數(shù)z的共軛復數(shù)，再利用復數(shù)的幾何意義，從而求出復數(shù)z的共軛復數(shù)對應的點的坐標，再結合點的坐標確定點所在的象限。3.【答案】C【解析】【解答】由題意：上底面面積為，下底面半徑為2，則下底面面積為，圓臺高為，所以圓臺的體積。故答案為：C.

【分析】利用一圓臺的上底面半徑為1，且上?下底面半徑和高的比為，再結合圓的面積公式得出上底面面積為，下底面半徑為2，則下底面面積為，圓臺高為，再利用圓臺的體積公式，進而求出圓臺的體積。4.【答案】D【解析】【解答】因為，所以是偶函數(shù)，A不符合題意；顯然是周期函數(shù)，因為，所以B不符合題意；因為當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，C不符合題意；由B中解答知是的周期，因為當時，，當時，，所以的最小值為1，D符合題意．故答案為：D

【分析】由奇偶性的定義可得f

(x

)是偶函數(shù)，可驗證π是f(x)的周期，當時，去絕對值號化簡判斷函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的周期性求f

(x)在[0,

π]上的最小值即可.5.【答案】B【解析】【解答】不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線交x軸于點，作于點A，于點B，如圖，而點，M為的中點，則，所以。故答案為：B

【分析】利用已知條件，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線交x軸于點，作于點A，于點B，再利用點，M為的中點，從而結合拋物線的定義和中位線的性質，進而求出的值。6.【答案】D【解析】【解答】因為，且，所以，因為，所以，所以，，所以，因為，所以。故答案為：D

【分析】利用且，再利用不等式的基本性質，所以，再利用，所以，再利用同角三角函數(shù)基本關系式，從而得出的值和的值，再利用兩角和的余弦公式，進而求出的值，再利用，從而求出角的值。

7.【答案】B【解析】【解答】展開式中，只有第7項的二項式系數(shù)最大，可得展開式有13項，所以，展開式的通項為：，若為常數(shù)項，則，所以，，得常數(shù)項為：。故答案為：B

【分析】在展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，可得展開式有13項，所以，再利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出展開式中的常數(shù)項。8.【答案】D【解析】【解答】對A，對函數(shù)求導，得，則，，所以在處的切線方程為，A正確，不符合題意；，當時，，當時，，，∴，∴時，，∴單調遞增，，，在內，存在唯一的零點,且，且在內，，單調遞減；，，單調遞增，∴為極值點，且為極小值點；由，∴，∵，∴，∴，∴有唯一的極值點，且為極小值點，且，D錯誤，符合題意，C正確，不符合題意；又∵,結合函數(shù)的單調性可知，∴有兩個零點，B正確，不符合題意；故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合求導的方法求出函數(shù)在切點處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標結合代入法求出切點的縱坐標，進而求出切點的坐標，再結合點斜式求出函數(shù)在切點處的切線方程；利用已知條件結合函數(shù)的單調性和零點存在性定理，從而推出函數(shù)有兩個零點；利用已知條件結合求導的方法判斷函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的極小值點，再利用函數(shù)有唯一的極值點，且為極小值點，且，進而找出說法錯誤的選項。二、多選題9.【答案】B,C【解析】【解答】對于A，回歸分析中，相關系數(shù)絕對值越大，擬合效果越好，A不正確；對于B，由兩邊取對數(shù)得，依題意，，即，B符合題意；對于C，由正態(tài)分布的性質知，由得，于是得，C符合題意；對于D，回歸直線及回歸系數(shù)，不能精確反映變量的取值和變化趨勢，D不正確.故答案為：BC

【分析】利用已知條件結合在回歸分析中，相關系數(shù)絕對值越大，擬合效果越好；再利用已知條件結合對數(shù)的運算法則，從而得出，的值；利用已知條件結合隨機變量服從正態(tài)分布，再結合正態(tài)分布對應的函數(shù)的圖像的對稱性，從而求出的值；利用回歸直線及回歸系數(shù)，不能精確反映變量的取值和變化趨勢，從而找出正確的選項。10.【答案】B,D【解析】【解答】對于A，，，且與的夾角為銳角，，且（時，與的夾角為），所以且，A不符合題意；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內所有向量的一組基底，B符合題意；對于C，C不符合題意；對于D，因為，兩邊平方得，，又，則，，故，而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，D符合題意．綜上，正確的選項為BD．故答案為：BD．

【分析】利用已知條件結合數(shù)量積求向量的夾角公式，從而求出實數(shù)的取值范圍；利用已知條件結合平面向量基本定理中基底的要求，從而結合向量共線定理，進而推出向量，不能作為平面內所有向量的一組基底；再利用向量是有方向的量，不能比較大?。辉倮靡阎獥l件結合數(shù)量積求向量的夾角合模的公式，進而得出當非零向量和滿足，從而求出與的夾角，進而找出說法正確的選項。

11.【答案】A,D【解析】【解答】不妨取點M為，第一象限的一個公共點，令則曲線的方程為,曲線的方程為.又由兩曲線有公共焦點,則,由圓錐曲線定義可得:,解得：.又，所以，可得：,整理得.因為，所以.A錯誤，符合題意；B正確，不符合題意；由，得：，解得：，所以漸近線方程為.C正確，不符合題意，D錯誤，符合題意.故答案為：AD

【分析】利用已知條件結合橢圓的定義合雙曲線的定義，再利用勾股定理結合橢圓和雙曲線的離心率公式以及雙曲線的漸近線方程，進而找出說法錯誤的選項。12.【答案】A,B,D【解析】【解答】分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，

對于A：設邊長為1，則,，所以，因為，所以，即，又平面，所以直線平面，A符合題意；對于B：因為點M在線段上運動，所以設點，則，因為，所以平面平面所以平面的法向量，也為平面的法向量，設直線與平面所成角為，所以，因為，令所以當時，的最小值為，此時的最大值為，B符合題意；對于C：，設異面直線AM與所成角為，所以，因為，所以當時，，當時，，因為，所以，綜上，所以，C不符合題意；對于D：因為，點M在線段上運動，所以點M到直線的距離不變，即的面積不變，又因為點到平面的距離恒為，所以點到平面的距離不變，即三棱錐的高不變，所以三棱錐的體積為定值，D符合題意。故答案為：ABD

【分析】利用已知條件結合正方體的結構特征，再利用線面垂直的判定定理推出直線平面；再結合線面角的求解方法及誘導公式和二次函數(shù)的圖像求最大值的方法，進而求出直線與平面所成角的正弦值的最大值；再利用已知條件結合異面直線所成的角和二次函數(shù)的圖像求值域的方法，進而求出異面直線AM與所成角的取值范圍；再利用，點M在線段上運動，所以點M到直線的距離不變，再結合三角形的面積公式，得出三角形的面積不變，再利用點到平面的距離恒為，所以點到平面的距離不變，即三棱錐的高不變，再結合三棱錐的體積公式，從而求出三棱錐的體積為定值，從而找出說法正確的選項。三、填空題13.【答案】-2【解析】【解答】因，則兩邊求導得：，取得：，解得，所以。故答案為：-2。

【分析】利用導數(shù)的運算法則結合已知條件，再利用代入法，從而求出導函數(shù)的值。14.【答案】1【解析】【解答】利用為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關于對稱，，即，則是周期為4的周期函數(shù)，定義域為的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當，時，，則，所以故答案為：1。

【分析】利用為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的圖像的對稱性，所以圖象關于對稱，再利用函數(shù)圖象的對稱性，再結合已知條件得出，再結合周期函數(shù)的定義，則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，再利用周期函數(shù)的定義結合奇函數(shù)的性質，從而結合已知條件當，時，，進而求出函數(shù)值，即的值，再結合求和法得出的值。15.【答案】【解析】【解答】由已知可得，設是橢圓上的任意一個動點，，則，所以當時，取得最大值為。故答案為：。

【分析】由已知可得，設是橢圓上的任意一個動點，，再利用兩點求距離公式結合二次函數(shù)的圖像求最值的方法，進而求出長的最大值。16.【答案】58；1028【解析】【解答】圖乙中第行有個數(shù)，第行最后一個數(shù)為

，前行共有個數(shù)，所以第行末位數(shù)為第個數(shù)，故第行末位數(shù)即第個數(shù)，即，由每一行都為公差為的等差數(shù)列，所以，由，所以在第45行，第45行第一個數(shù)為，設為第45行的第個數(shù)，有，，所以。故答案為：58，1028

。

【分析】利用已知條件結合歸納推理的方法，再結合等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項和公式，進而利用等差數(shù)列的性質求出數(shù)列第33項的值；再結合結合等差數(shù)列前n項和公式，從而求出n的值。四、解答題17.【答案】（1）選①，；，知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，則，得，所以數(shù)列的通項公式為.選②；，知，得，，得，即，所以數(shù)列的通項公式為.選③；，得，則，所以因為，所以數(shù)列的通項公式為.

（2）因為，所以，則，，，，，數(shù)列的前10項和為：.【解析】【分析】（1）在①，；②；③三個條件中任選一個，補充到問題中，并解答。選①，，再利用遞推公式結合等差數(shù)列的定義，從而推出數(shù)列是公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項和公式和已知條件，從而求出等差數(shù)列的首項，再利用等差數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的通項公式。

選②，再結合的關系式結合分類討論的方法，從而求出數(shù)列的通項公式。選③，再利用的關系式結合分類討論的方法，從而求出數(shù)列的通項公式。

（2）利用（1）求出的數(shù)列的通項公式結合和分組求和的方法，從而結合等比數(shù)列前n項和公式，從而求出數(shù)列的前10項和。18.【答案】（1）解：依題意，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，并且每個事件發(fā)生的概率相同．設其打破世界紀錄的項目數(shù)為隨機變量，“該運動員至少能打破3項世界紀錄”為事件A，則有

（2）設該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，由（1）解答可知，，則,,,，所以X的分布列為X0123P所以期望．【解析】【分析】（1）利用已知條件結合二項分布求概率公式和互斥事件求概率公式，進而求出該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率。

（2）設該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，由（1）解答可知，，再利用二項分布求概率公式求出隨機變量X的分布列，再利用隨機變量X的分布列結合數(shù)學期望公式，進而求出隨機變量X的數(shù)學期望。19.【答案】（1）在中，由余弦定理可得：，即，所以，解得：或（舍）

（2）①若，則，所以，若，則，所以，所以或時，為直角三角形，②由正弦定理可得，因為，所以，所以，所以當時，使得有解，【解析】【分析】（1）利用已知條件結合余弦定理，從而解一元二次方程求出滿足要求的c的值。

（2）①利用直角三角形的結構特征和分類討論的方法，再結合正弦函數(shù)的定義和正切函數(shù)的定義，從而結合已知條件求出k的值。

②由三角形有解結合正弦定理，可得，再利用，從而結合正弦型函數(shù)的圖像，進而求出正弦型函數(shù)的值域，從而求出實數(shù)k的取值范圍。

20.【答案】（1）解：依題意,可以建立以為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系（如圖）,可得,,,,,,,,.證明:依題意,．設為平面的法向量,則,即,不妨令,可得．又,可得,又因為直線平面,所以平面.

（2）依題意,可得,,.設為平面的法向量,則,即,不妨令,可得．設為平面的法向量,則,即,不妨令,可得．因此有,于是.所以,二面角的正弦值為.【解析】【分析】（1）依題意,可以建立以為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系，從而求出點的坐標，再結合向量的坐標表示求出向量的坐標，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價關系，再結合線面平行的判定定理，從而證出線面平行，即證出平面。

（2）依題意,可以建立以為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系，從而求出點的坐標，再結合向量的坐標表示求出向量的坐標，再利用數(shù)量積求向量的夾角公式，進而求出二面角的余弦值，再結合同角三角函數(shù)基本關系式，從而求出二面角的正弦值。21.【答案】（1）由，于是點的軌跡是以為焦點長軸為的橢圓，設軌跡方程為，其中，軌跡方程為，由于直線不能與軸重合，所以，則軌跡為：().

（2）由題意可知，直線的斜率顯然存在，設直線的方程為，，，由得，①，所以，所以，因為，所以，所以，代入①得且，由于直線不能經(jīng)過點，所以,所以，當且僅當，即時上式取等號，此時符合題意，所以直線的方程為.【解析】【分析】（1）由，再利用橢圓的定義，得出點的軌跡是以為焦點長軸為的橢圓，設橢圓的軌跡方程為，再利用已知條件結合長軸長和焦距