安徽六校教育研究會高三理數第一次素質考試試卷

高三理數第一次素質考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）．1.設集合，則（）A.

B.

C.

D.2.復數，則（）A.

B.4

C.

D.3.一個至少有3項的數列中，前項和是數列為等差數列的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件4.下列說法正確的是（）A.經過三點確定一個平面

B.各個面都是三角形的多面體一定是三棱錐

C.各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

D.一個三棱錐的四個面可以都為直角三角形5.二項式的展開式中的系數為20，則（）A.7

B.6

C.5

D.46.將點繞原點逆時針旋轉得到點B，則點B的橫坐標為（）A.

B.

C.

D.7.已知拋物線，A和B分別為拋物線上的兩個動點，若（O為坐標原點），弦恒過定點，則拋物線方程為（）A.

B.

C.

D.8.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丟一粒種子，則種子落入白色部分的概率為（）A.

B.

C.

D.9.把1、2、3、4、5、6、7這七個數隨機地排成一列組成一個數列，要求該數列恰好先減后增，則這樣的數列共有（）A.20個

B.62個

C.63個

D.64個10.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將1，2，…，9填入3×3的方格內，使三行、三列、對角線的三個數之和都等于15．如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數1，2，3，…填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上的數的和為，如圖三階幻方記為，那么的值為（）A.670

B.671

C.672

D.67511.已知雙曲線的左右焦點為，，過的直線交雙曲線于M，N兩點在第一象限），若與的內切圓半徑之比為3：2，則直線的斜率為（）A.

B.

C.

D.12.設，，則（）A.

B.

C.

D.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）．13.已知向量，滿足，，則

．14.在棱長為2的正四面體中，是的高線，則異面直線和夾角的正弦值為

．15.正割（secant）及余割（cosecant）這兩個符號是荷蘭數學家基拉德在《三角學》中首先使用，后經歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．已知，且對任意的實數均成立，則的最小值為

．16.已知函數，設，且函數的圖像經過四個象限，則實數的取值范圍為

．三、解答題（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.已知數列的前項和為，且滿足，設．（1）分別求和的通項公式；（2）求數列的前前項和．18.三角形中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求；（2）若，求的面積最大值．19.近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項調查結果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為．為掌握某校學生近視情況，從該校高三（1）班隨機抽取7名學生，其中4人近視、3人不近視．現(xiàn)從這7人中隨機抽取球3人做進一步醫(yī)學檢查．（1）用表示抽取的3人中近視的學生人數，求隨機變量的分布列與數學期望；（2）設為事件“抽取的3人，既有近視的學生，又有不近視的學生”，求事件發(fā)生的概率．20.如圖，在多面體中，底面是等腰直角三角形，，四邊形為矩形，面，，，N為中點，面交于點．（1）求長；（2）求二面角的余弦值．21.已知橢圓的離心率為，，是橢圓的左右焦點，為橢圓上的一個動點，且面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓的右焦點作與軸不垂直的直線交橢圓于A，B兩點，第一象限點在橢圓上且滿足軸，連接，，記直線，，的斜率分別為，，探索是否為定值，若是求出；若不是說明理由．22.設，滿足，證明：（1）對任意正數，有；（2）對任意正數a，b，有．

答案解析部分一、選擇題（本大題共12小題，每小題<b>5<b>分，共60分）．<b>1.【答案】C【解析】【解答】解：由題意得A={3,4,5}，由

得，解得1<x<5，則B={x|1<x<5}

∴A∩B={3,4}

故答案為：C

【分析】根據一元二次不等式及對數不等式的解法，結合交集的定義求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由題意得

，

則.

故答案為：A

【分析】根據復數的運算，以及復數的求模公式求解即可.3.【答案】C【解析】【解答】解；(1)必要性顯然成立;

(2)充分性，若

，所以當n≥2時，，

所以2an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)，化簡得(n-1)an-1=a1+(n-2)an①

所以當n≥3時，(n-2)an-2=a1+(n-3)an-1②

①-②得2(n-2)an-1=(n-2)(an+an-2)，

所以2an-1=an+an-2，即數列(an)是等差數列，

∴充分性得證，

所以是數列(an)是等差數列的充要條件.

故答案為：C.

【分析】根據充要條件的判斷，結合等差數列的概念求解即可.4.【答案】D【解析】【解答】解：對于A，根據平面的性質，易知經過不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

對于B，把兩個底面全等的棱錐重合在一起，每一個面都是三角形，但這個多面體不是棱錐，故B錯誤；

對于C，當各側面都是正方形，但底面是菱形的棱柱不是正棱柱，故C錯誤；

對于D，如圖所示，在直棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形，故D正確

故答案為：D

【分析】根據平面的性質可判斷A，根據棱錐的幾何特征可判斷B，根據棱柱與正棱柱的幾何特征可判斷C，根據直棱錐的幾何特征可判斷D.5.【答案】B【解析】【解答】解：由題意得(x+1)n=(1+x)n展開式的通項公式為，

令r=3，得

的系數為，

對于A，當n=7時，，故A錯誤；

對于B，當n=6時，，故B正確；

則CD錯誤，

故答案為：B

【分析】根據二項式定理直接求解即可.6.【答案】A【解析】【解答】解：由題意可設點

角α與單位圓的交點，

則，

則將角α繞原點逆時針旋轉得到角，

則

即點B的橫坐標為

故答案為：A

【分析】根據三角函數的定義，結合兩角和的余弦公式求解即可.7.【答案】B【解析】【解答】解：由題意可設點A為(x1,y1)，點B為(x2,y2)，直線AB為：x=my+4

則由得y2-2pmx-8p=0，

∴y1y2=-8p，，

∵

即OA⊥OB

∴x1x2+y1y2=0

即

∴

解得p=2

則拋物線方程為

故答案為：B

【分析】根據直線與拋物線的位置關系，結合韋達定理以及直線垂直的充要條件求解即可.8.【答案】C【解析】【解答】解：設正方形的邊長為2，則根據幾何概型的概率公式得

故答案為：C

【分析】根據幾何概型的概率公式直接求解即可.9.【答案】B【解析】【解答】解：該數列恰先增后減，則數字7一定是分界點，且前面的順序和后面的順序都只有一種，

當7前有1個數字時，有=6種，

當7前有2個數字時，有=15種，

當7前有3個數字時，有=20種，

當7前有4個數字時，有=15種，

當7前有5個數字時，有=6種，

根據分類計數原理，共有6+15+20+15+6=62種，

故答案為：B.

【分析】根據分類計數原理，結合組合數的計算直接求解即可.10.【答案】B【解析】【解答】解：由

階幻方的定義知，每行、每列、每條對角線上的數的和相等，

則由得

故答案為：B

【分析】運用類比推理，結合等差數列的前n項和公式求解即可.11.【答案】B【解析】【解答】解：記

與

的內切圓分別為圓O1與圓O2，半徑分別為R1，R2，

設圓O1與△MF1F2的三邊的切點分別為A，B，C，如圖

令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，

根據雙曲線的定義可得，可得n=a+c，

由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x軸于B，同理O2B⊥x軸于B，

∴O1O2⊥x軸

過圓心O2作CO1的垂線，垂足為D

易知直線l的傾斜角θ與∠O2O1D大小相等

不妨設R1=4，R2=1，則O2O1=5，O1D=1，

所以根據勾股定理，，

所以

故答案為：B

【分析】根據雙曲線定義，結合內切圓的性質以及正切函數的定義求解即可.12.【答案】D【解析】【解答】解：設，則

因為，所以當1<x<e時，f'(x)<0；當x>e時，f'(x)>0.

所以f(x)在(1,e)單調遞減，在(e,+∞)單調遞增，

因為f(2)=f(4)，且，

所以，

即

a>b>c.

故答案為：D.

【分析】利用導數研究函數的單調性，結合利用函數的單調性比較函數值的大小求解即可.二、填空題（本大題共4小題，每題<b>5<b>分，共20分）．<b>13.【答案】【解析】【解答】解：∵

，

，

∴由得，解得

∴

∴

故答案為：

【分析】根據向量的線性運算，結合向量的求模公式求解即可.14.【答案】【解析】【解答】解：如圖，

取BD中點F，連接EF，

因為E,F分別為BC，BD,的中點，則EF為△CBD的中位線，所以EF//CD，

所以∠AEF(或其補角)即為直線AE與直線CD所成的角.

因為正四面體A-BCD的棱長為2，則EF=1，在等邊△ABC與△ABD中，E,F分別為BC，BD的中點，

所以，又EF=1，

在△AEF中，，

所以

故答案為：

【分析】根據異面直線所成角的定義與解法，結合余弦定理求解即可.15.【答案】9【解析】【解答】解：由題意知，，，sin2α+cos2α=1，

則

，

當且僅當時，取得最小值，

則≥16，

解得t≥9

則t的最小值為9，

故答案為：9

【分析】根據正割與余割的定義，結合同角三角函數的基本關系及基本不等式求最值即可求解.16.【答案】【解析】【解答】解：如圖，畫出函數f(x)的圖像，

當x>0時，f(x)=2x3-6x+3，則f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，

則可知f(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，在區(qū)間(1，+∞)上單調遞增，且f(1)=-1<0；

當x<0時，f(x)=|x+3|，

又

恒過定點，

若要使y=f(r)-g(x)經過四個象限，由圖可知只需f(x)與g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別有交點即可(交點不可為(-3,0)和切點，

(1)當k>0時，在(0，+∞)上必有交點，在(-∞,0)區(qū)間內，需滿足；

(2)當k<0時，在(-∞,0)上必有交點，在(0,+∞內，只需求過定點與函數f(x)=2x3-6x+3(x>0)圖像的切線即可，設切點為(xo,2x03-6x0+3)，由解得，

則切線斜率,

所以

(3)當k=0時也符合題意

綜上可得實數

的取值范圍為

故答案為：

【分析】利用導數研究函數的單調性及極值，考查導數的幾何意義，運用數形結合思想求解即可.三、解答題（共<b>70<b>分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.【答案】（1）由知，當時，兩式相減，得即當時，故時也適合上式∴綜上：

（2）由（1）知【解析】【分析】（1）利用數列的遞推公式及an與sn的關系，結合數列的通項公式直接求解即可；（2）利用裂項相消求和直接求解即可.

18.【答案】（1）∵∴∴∴∵，∴

（2）由，及余弦定理知（當且僅當時“=”成立）故∴故面積的最大值為【解析】【分析】（1）根據立方和公式，以及余弦定理直接求解即可；（2）根據余弦定理，以及基本不等式直接求解即可.

19.【答案】（1）解：隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，且所以，隨機變量的分布列為：X0123P隨機變量的數學期望.

（2）設B為事件“抽取的3名學生中，不近視2人，近視1人”；設為事件“抽取的3名學生中，不近視1人，近視2人”，則，且與互斥，從而．【解析】【分析】（1）根據超幾何分布的概率公式，結合隨機變量的分布列與期望直接求解即可；（2）根據互斥事件的概率公式直接求解即可.20.【答案】（1）延長，交于一點