安徽六校教育研究會(huì)高三理數(shù)第一次素質(zhì)考試試卷

高三理數(shù)第一次素質(zhì)考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）．1.設(shè)集合，則（）A.

B.

C.

D.2.復(fù)數(shù)，則（）A.

B.4

C.

D.3.一個(gè)至少有3項(xiàng)的數(shù)列中，前項(xiàng)和是數(shù)列為等差數(shù)列的（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件4.下列說法正確的是（）A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是三棱錐

C.各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

D.一個(gè)三棱錐的四個(gè)面可以都為直角三角形5.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為20，則（）A.7

B.6

C.5

D.46.將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（）A.

B.

C.

D.7.已知拋物線，A和B分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦恒過定點(diǎn)，則拋物線方程為（）A.

B.

C.

D.8.七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若向此正方形丟一粒種子，則種子落入白色部分的概率為（）A.

B.

C.

D.9.把1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一列組成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先減后增，則這樣的數(shù)列共有（）A.20個(gè)

B.62個(gè)

C.63個(gè)

D.64個(gè)10.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1，2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15．如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上的數(shù)的和為，如圖三階幻方記為，那么的值為（）A.670

B.671

C.672

D.67511.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，過的直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)在第一象限），若與的內(nèi)切圓半徑之比為3：2，則直線的斜率為（）A.

B.

C.

D.12.設(shè)，，則（）A.

B.

C.

D.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）．13.已知向量，滿足，，則

．14.在棱長為2的正四面體中，是的高線，則異面直線和夾角的正弦值為

．15.正割（secant）及余割（cosecant）這兩個(gè)符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割，余割．已知，且對任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為

．16.已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．三、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)．（1）分別求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前前項(xiàng)和．18.三角形中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求；（2）若，求的面積最大值．19.近日，國家衛(wèi)健委公布了2020年9月到12月開展的全國性近視專項(xiàng)調(diào)查結(jié)果：2020年，我國兒童青少年總體近視率為．為掌握某校學(xué)生近視情況，從該校高三（1）班隨機(jī)抽取7名學(xué)生，其中4人近視、3人不近視．現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取球3人做進(jìn)一步醫(yī)學(xué)檢查．（1）用表示抽取的3人中近視的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“抽取的3人，既有近視的學(xué)生，又有不近視的學(xué)生”，求事件發(fā)生的概率．20.如圖，在多面體中，底面是等腰直角三角形，，四邊形為矩形，面，，，N為中點(diǎn)，面交于點(diǎn)．（1）求長；（2）求二面角的余弦值．21.已知橢圓的離心率為，，是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作與軸不垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，第一象限點(diǎn)在橢圓上且滿足軸，連接，，記直線，，的斜率分別為，，探索是否為定值，若是求出；若不是說明理由．22.設(shè)，滿足，證明：（1）對任意正數(shù)，有；（2）對任意正數(shù)a，b，有．

答案解析部分一、選擇題（本大題共12小題，每小題<b>5<b>分，共60分）．<b>1.【答案】C【解析】【解答】解：由題意得A={3,4,5}，由

得，解得1<x<5，則B={x|1<x<5}

∴A∩B={3,4}

故答案為：C

【分析】根據(jù)一元二次不等式及對數(shù)不等式的解法，結(jié)合交集的定義求解即可.2.【答案】A【解析】【解答】解：由題意得

，

則.

故答案為：A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的求模公式求解即可.3.【答案】C【解析】【解答】解；(1)必要性顯然成立;

(2)充分性，若

，所以當(dāng)n≥2時(shí)，，

所以2an=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)，化簡得(n-1)an-1=a1+(n-2)an①

所以當(dāng)n≥3時(shí)，(n-2)an-2=a1+(n-3)an-1②

①-②得2(n-2)an-1=(n-2)(an+an-2)，

所以2an-1=an+an-2，即數(shù)列(an)是等差數(shù)列，

∴充分性得證，

所以是數(shù)列(an)是等差數(shù)列的充要條件.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)充要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的概念求解即可.4.【答案】D【解析】【解答】解：對于A，根據(jù)平面的性質(zhì)，易知經(jīng)過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

對于B，把兩個(gè)底面全等的棱錐重合在一起，每一個(gè)面都是三角形，但這個(gè)多面體不是棱錐，故B錯(cuò)誤；

對于C，當(dāng)各側(cè)面都是正方形，但底面是菱形的棱柱不是正棱柱，故C錯(cuò)誤；

對于D，如圖所示，在直棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形，故D正確

故答案為：D

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)棱錐的幾何特征可判斷B，根據(jù)棱柱與正棱柱的幾何特征可判斷C，根據(jù)直棱錐的幾何特征可判斷D.5.【答案】B【解析】【解答】解：由題意得(x+1)n=(1+x)n展開式的通項(xiàng)公式為，

令r=3，得

的系數(shù)為，

對于A，當(dāng)n=7時(shí)，，故A錯(cuò)誤；

對于B，當(dāng)n=6時(shí)，，故B正確；

則CD錯(cuò)誤，

故答案為：B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理直接求解即可.6.【答案】A【解析】【解答】解：由題意可設(shè)點(diǎn)

角α與單位圓的交點(diǎn)，

則，

則將角α繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，

則

即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

故答案為：A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.7.【答案】B【解析】【解答】解：由題意可設(shè)點(diǎn)A為(x1,y1)，點(diǎn)B為(x2,y2)，直線AB為：x=my+4

則由得y2-2pmx-8p=0，

∴y1y2=-8p，，

∵

即OA⊥OB

∴x1x2+y1y2=0

即

∴

解得p=2

則拋物線方程為

故答案為：B

【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理以及直線垂直的充要條件求解即可.8.【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)正方形的邊長為2，則根據(jù)幾何概型的概率公式得

故答案為：C

【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式直接求解即可.9.【答案】B【解析】【解答】解：該數(shù)列恰先增后減，則數(shù)字7一定是分界點(diǎn)，且前面的順序和后面的順序都只有一種，

當(dāng)7前有1個(gè)數(shù)字時(shí)，有=6種，

當(dāng)7前有2個(gè)數(shù)字時(shí)，有=15種，

當(dāng)7前有3個(gè)數(shù)字時(shí)，有=20種，

當(dāng)7前有4個(gè)數(shù)字時(shí)，有=15種，

當(dāng)7前有5個(gè)數(shù)字時(shí)，有=6種，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有6+15+20+15+6=62種，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算直接求解即可.10.【答案】B【解析】【解答】解：由

階幻方的定義知，每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，

則由得

故答案為：B

【分析】運(yùn)用類比推理，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可.11.【答案】B【解析】【解答】解：記

與

的內(nèi)切圓分別為圓O1與圓O2，半徑分別為R1，R2，

設(shè)圓O1與△MF1F2的三邊的切點(diǎn)分別為A，B，C，如圖

令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，

根據(jù)雙曲線的定義可得，可得n=a+c，

由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x軸于B，同理O2B⊥x軸于B，

∴O1O2⊥x軸

過圓心O2作CO1的垂線，垂足為D

易知直線l的傾斜角θ與∠O2O1D大小相等

不妨設(shè)R1=4，R2=1，則O2O1=5，O1D=1，

所以根據(jù)勾股定理，，

所以

故答案為：B

【分析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)以及正切函數(shù)的定義求解即可.12.【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)，則

因?yàn)?，所以?dāng)1<x<e時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)>0.

所以f(x)在(1,e)單調(diào)遞減，在(e,+∞)單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(2)=f(4)，且，

所以，

即

a>b>c.

故答案為：D.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小求解即可.二、填空題（本大題共4小題，每題<b>5<b>分，共20分）．<b>13.【答案】【解析】【解答】解：∵

，

，

∴由得，解得

∴

∴

故答案為：

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量的求模公式求解即可.14.【答案】【解析】【解答】解：如圖，

取BD中點(diǎn)F，連接EF，

因?yàn)镋,F分別為BC，BD,的中點(diǎn)，則EF為△CBD的中位線，所以EF//CD，

所以∠AEF(或其補(bǔ)角)即為直線AE與直線CD所成的角.

因?yàn)檎拿骟wA-BCD的棱長為2，則EF=1，在等邊△ABC與△ABD中，E,F分別為BC，BD的中點(diǎn)，

所以，又EF=1，

在△AEF中，，

所以

故答案為：

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義與解法，結(jié)合余弦定理求解即可.15.【答案】9【解析】【解答】解：由題意知，，，sin2α+cos2α=1，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，

則≥16，

解得t≥9

則t的最小值為9，

故答案為：9

【分析】根據(jù)正割與余割的定義，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及基本不等式求最值即可求解.16.【答案】【解析】【解答】解：如圖，畫出函數(shù)f(x)的圖像，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x3-6x+3，則f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，

則可知f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=-1<0；

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=|x+3|，

又

恒過定點(diǎn)，

若要使y=f(r)-g(x)經(jīng)過四個(gè)象限，由圖可知只需f(x)與g(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別有交點(diǎn)即可(交點(diǎn)不可為(-3,0)和切點(diǎn)，

(1)當(dāng)k>0時(shí)，在(0，+∞)上必有交點(diǎn)，在(-∞,0)區(qū)間內(nèi)，需滿足；

(2)當(dāng)k<0時(shí)，在(-∞,0)上必有交點(diǎn)，在(0,+∞內(nèi)，只需求過定點(diǎn)與函數(shù)f(x)=2x3-6x+3(x>0)圖像的切線即可，設(shè)切點(diǎn)為(xo,2x03-6x0+3)，由解得，

則切線斜率,

所以

(3)當(dāng)k=0時(shí)也符合題意

綜上可得實(shí)數(shù)

的取值范圍為

故答案為：

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.三、解答題（共<b>70<b>分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.【答案】（1）由知，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得即當(dāng)時(shí)，故時(shí)也適合上式∴綜上：

（2）由（1）知【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的遞推公式及an與sn的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消求和直接求解即可.

18.【答案】（1）∵∴∴∴∵，∴

（2）由，及余弦定理知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立）故∴故面積的最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)立方和公式，以及余弦定理直接求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，以及基本不等式直接求解即可.

19.【答案】（1）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，且所以，隨機(jī)變量的分布列為：X0123P隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.

（2）設(shè)B為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近視2人，近視1人”；設(shè)為事件“抽取的3名學(xué)生中，不近視1人，近視2人”，則，且與互斥，從而．【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式，結(jié)合隨機(jī)變量的分布列與期望直接求解即可；（2）根據(jù)互斥事件的概率公式直接求解即可.20.【答案】（1）延長，交于一點(diǎn)