直接開平方法 人教版九年級數(shù)學上冊

21.2.1直接開平方法人教版九年級上冊知識回顧一2整式教學目標1．掌握形如x2=p(p≥0)型方程的解法．2．掌握形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)型方程的解法．新知導入問題：求出或表示出下列各數(shù)的平方根．121；(2)25；(3)0.81；

(4)0；(5)3；(6)

.（1）121的平方根為±11；（2）25的平方根為±5；（3）0.81的平方根為±0.9；（4）0的平方根為0；

新知探究問題1:一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，即x1=5，x2=－5.∵棱長不能是負值.由此可得x2=25開平方得x=±5，∴正方體的棱長為5dm．新知探究對照上面方法，怎樣解方程（x+3）2=5解：我們知道，=5，由此想到:當（x+3)2=5，得于是，方程（x+3）2=5的兩個根為一元二次方程降次轉(zhuǎn)化思想一元一次方程新知小結(jié)(2)當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根

；(3)當p<0時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(I)

無實數(shù)根

.一般的，對于可化為方程x2=p,(I)(1)當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數(shù)根

，

；=0知識點一可化為x2=p（p≥0）型方程的解法新知小結(jié)

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.解一元二次方程的思路

把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程新知探究解方程：例1(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.分析：用直接開平方法解一元二次方程，先將方程化成x2＝p

(p≥0)的形式，再根據(jù)平方根的意義求解．新知探究(1)x2－36＝0解：移項，得x2=36.直接開平方，得x=±6，∴x1=6,x2=－6.(2)2y2＝100解：系數(shù)化1，得y2＝50直接開平方，得y=

，∴y1=,

y2=

.新知探究(3)16p2－5＝0解：移項，得16p2=5.直接開平方，得∴p1=,p2=

.系數(shù)化1，得用直接開平方法解一元二次方程時，首先將方程化成左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，然后根據(jù)平方根的定義求解．當整理后右邊為0時，方程有兩個相等的實數(shù)根．新知練習1.解下列方程：（2）36x2-1=0．（1）4x2=81；

解：

解：新知探究∴(x+3)2

=5，

（1）解方程：(x+3)2=5得x+3=，

一元二次方程降次轉(zhuǎn)化思想一元一次方程例2∵方程x2=25得x=±5.新知探究(2)解方程：2(2x－1)2－10＝0；解：移項，得2（2x-1）2=10二次項系數(shù)化為1，得（2x-1）2=5開平方，得即或所以例2新知小結(jié)如何解形式為(x+m)2=n(其中m，n

是常數(shù))的一元二次方程呢？

知識點二形如方程（mx+n）2=p（p≥0）的解法新知練習2.解下列方程：（1）(x+5)2=25；（2）4(x-3)2-32=0．

解：

解：新知典例解方程：y2－4y+4＝8；例3歸納：解形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程時，先將方程利用平方根性質(zhì)降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再求解.解：整理，得（y-2）2=8開平方，得即

或所以完全平方公式新知練習3.解方程（1）4x2﹣4x+1=4（2）25x2﹣10x+1=9

解：整理，得（2x-1）2=4開平方，得2x-1=±2即2x-1=2或

2x-1=﹣2∴x1=1.5或x2=﹣0.5解：整理，得（5x-1）2=9開平方，得5x-1=±3即5x-1=3或

5x-1=﹣3

新知典例解方程：4（3x-1）2-9（3x+1）2＝0；例4解：整理，得4（3x-1）2=9（3x+1）2兩邊開平方，得2（3x-1）=±3（3x+1）∴即2（3x-1）=3（3x+1），或2（3x-1）=﹣3（3x+1）6x-2=9x+3，或6x-2=﹣9x﹣3∴整體思想{新知練習4.解方程4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.解：整理，得4（2x-1）2=9（2x+1）2兩邊開平方，得2（2x-1）=±3（2x+1）即2（2x-1）=3（2x+1），或2（2x-1）=﹣3（2x+1）∴4x-2=6x+3，或4x-2=﹣6x﹣3

課堂總結(jié)開方求解變形將方程化為含未知數(shù)的完全平方式＝非負常數(shù)的形式；利用平方根的定義，將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．1．直接開平方法解一元二次方程的步驟：2．兩種數(shù)學思想：整體思想、轉(zhuǎn)化思想．課堂練習1．方程x2－16＝0的根為(

)A．x＝4

B．x＝16C．x＝±4D．x＝±82．方程x2＋m＝0有實數(shù)根的條件是(

)A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0

C

D

課堂練習3.解方程(2)2x2＋4＝12；