考點53-離散型隨機變量的分布列、期望與方差課件

53離散型隨機變量的分布列、期望與方差1．離散型隨機變量的分布列(1)定義設離散型隨機變量X可能取的值為x1，x2，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表為隨機變量X的概率分布．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)性質(i)pi≥0(i＝1，2，…，n)．2．兩點分布如果隨機變量X的分布列為其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從參數為p的兩點分布．X01P1－pp3．超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝①_________，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此時稱隨機變量X服從超幾何分布．4．離散型隨機變量的期望與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)稱E(X)＝②____________________________為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn(3)均值與方差的性質(i)E(aX＋b)＝③_________(a，b為常數)；(ii)D(aX＋b)＝④_______(a，b為常數)．(4)兩點分布與二項分布的均值與方差(i)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝⑤______，D(X)＝⑥________．(ii)若隨機變量X～B(n，p)，則E(X)＝⑦______，D(X)＝⑧_________．aE(X)＋ba2D(X)pp(1－p)npnp(1－p)考向1離散型隨機變量的分布列與期望、方差

離散型隨機變量的分布列、期望與方差是高考中?？嫉念}型，主要在解答題中呈現，分值一般12分或13分，題目屬于中檔題．例1(2017·山東，18，12分)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用．現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.因此X的分布列為X01234P1．求隨機變量及其分布列的一般步驟(1)明確隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；(2)利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率；(3)按規(guī)范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質驗證．2．求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ)．(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數學期望EX.解：(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”,記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”．(2)由題意，隨機變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6.由事件的獨立性與互斥性，得X012346P考向2離散型隨機變量期望與方差的應用

離散型隨機變量的期望與方差的應用，是高考的重要考點，不僅考查學生的理解能力與數學計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力，以解答題為主，難度中等．例2(2014·福建，18，13分)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額．(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望；(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為X1元，則X1的分布列為X12060100P對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為X2元，則X2的分布列為由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.X2406080P

解離散型隨機變量的期望和方差應用問題的方法(1)求離散型隨機變量的期望與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用期望、方差公式進行計算．(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的期望與方差公式計算，則更為簡單．(3)在實際問題中，若兩個隨機變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度．即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案．變式訓練

(2018·遼寧沈陽模擬，19，12分)某商場計劃銷售某種產品，現邀請生產該產品的甲、乙兩個廠家進場試銷10天，兩個廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返利70元，且每賣出一件產品廠家再返利2元；乙廠家無固定返利，賣出40件以內(含40件)的產品，每件產品廠家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．經統(tǒng)計，兩個廠家10天的試銷情況莖葉圖如下：(1)現從甲廠家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大于40的概率；(2)若將頻率視作概率，回答以下問題：①記乙廠家的日返利額為X(單位：元)，求X的分布列和數學期望；②商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為商場做出選擇，并說明理由．解：(1)記“抽取的兩天銷售量都大于40”為事件A，(2)①設乙廠家的日銷售量為a，則當a＝38時，X＝38×4＝152；當a＝39時，X＝39×4＝156；當a＝40時，X＝40×4＝160；當a＝41時，X＝40×4＋1×6＝166；當a＝42時，X＝40×4＋2×6＝172.∴X的所有可能取值為15