高等數(shù)學(xué)定積分及其計(jì)算教學(xué)

第一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一節(jié)定積分及其計(jì)算

一.定積分的概念與性質(zhì)二.微積分基本公式本節(jié)主要內(nèi)容:三.定積分的積分法四.反常積分第二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二一.積分的概念與性質(zhì)(一)定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.第三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積.觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.第四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系.播幻燈片75放第五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解決步驟:1)分割2)取近似

3)求和

4)取極限

第六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解決步驟:1)分割

在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)

用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)取近似

在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得第七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3)求和

4)取極限

令則曲邊梯形面積第八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

解決步驟:1)分割

2)取近似

3)求和

4)取極限

設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),上連續(xù),的路程s.已知速度在求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)第九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解決步驟:1)分割

將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)近似

得n

個(gè)小段過(guò)的路程為2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),上連續(xù),的路程s.已知速度在求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)第十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二3)求和

4)取極限第十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限第十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)定積分的概念定義5.1.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,分割:任取分點(diǎn)把區(qū)間[a,b]分割成n個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi],第i個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，記．近似:

在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)i

(i=1,2…n)求和：作和式第十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二取極限：當(dāng)0時(shí),若極限存在(這個(gè)極限值與區(qū)間[a,b]的分法及點(diǎn)i

的取法無(wú)關(guān))，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作,即

第十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和第十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二說(shuō)明：1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的;閉區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)也是可積的．2.定積分是一個(gè)確定的常數(shù)，它取決于被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]，而與積分變量使用的字母的選取無(wú)關(guān)，即有3.在定積分的定義中,有a<b

,為了今后計(jì)算方便，我們規(guī)定:第十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(三)定積分的幾何意義

:介于曲線f(x)

,x軸及兩條直線x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和設(shè)A為曲邊梯形面積,則各部分面積的代數(shù)和第十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1

利用定積分的幾何意義,證明令，顯然則由和直線x=-1,x=1,y=0所圍成的曲邊梯形是單位圓位于x軸上方的半圓.因?yàn)閱挝粓A的面積，所以半圓的面積為/2

.第十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二思考第十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(四)定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1

性質(zhì)2此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況第二十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

性質(zhì)3(積分區(qū)間的可加性):

對(duì)任意的點(diǎn)c，有不論a,b,c的相對(duì)位置如何,上式總成立.

性質(zhì)4

如果被積函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))，則特別地,當(dāng)c=1時(shí)，有第二十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二性質(zhì)5(積分的保序性):如果在區(qū)間[a,b]上,恒有f(x)g(x),則例2比較定積分與的大小.因?yàn)樵趨^(qū)間[0,1]上,有x2x3由定積分保序性質(zhì)得第二十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6(積分估值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有最大值

M和最小值m,則MM(ba)m

y=f(x)

f(x)dxm(ba)Ox

y

a

b第二十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二則

f(x)在[-1,1]上的最小值為m=1/e,最大值為M=1，由定積分的估值性質(zhì)，例3估計(jì)定積分的值.設(shè)令得駐點(diǎn)

x=0，比較

x=0及區(qū)間端點(diǎn)

x=±1的函數(shù)值，有第二十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二性質(zhì)7(積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x，使下式成立:第二十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二exit第二十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二性質(zhì)8(對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì))設(shè)f(x)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間[-a,a]上連續(xù)，①如果f(x)為奇函數(shù)，則;②如果f(x)為偶函數(shù)，則.第二十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例如

第二十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二exit第二十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.微積分基本公式在變速直線運(yùn)動(dòng)中,已知位置函數(shù)s(t)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:考慮時(shí)間間隔實(shí)際問(wèn)題變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.第三十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(一)積分上限函數(shù)

積分上限函數(shù):函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分(1)積分上限函數(shù)的自變量是上限x,與積分變量無(wú)關(guān).(2)第三十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二定理5.1.1

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則變上限積分函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo)，且它的導(dǎo)數(shù)是f(x),即第三十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二思考以下積分上限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題:第三十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4計(jì)算例5計(jì)算例6計(jì)算第三十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例4計(jì)算例5計(jì)算例6計(jì)算第三十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二說(shuō)明：1.解決了原函數(shù)的存在性問(wèn)題:[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),且(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)這一基本結(jié)論.為尋找定積分的計(jì)算方法提供了理論依據(jù),第三十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)

微積分基本公式(牛頓—萊布尼茲公式)定理5.1.2

設(shè)

f(x)在[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)原函數(shù),則在計(jì)算定積分時(shí),我們只要先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),再求這個(gè)原函數(shù)在積分上、下限的函數(shù)值之差即可.第三十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例11計(jì)算例7計(jì)算例8

計(jì)算例9計(jì)算例10設(shè)求

第三十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7計(jì)算例8

計(jì)算第三十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例9計(jì)算第四十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例10設(shè)求第四十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例11計(jì)算第四十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二練一練第四十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.定積分的積分法(一)定積分的換元積分法

定理5.1.2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),并且滿(mǎn)足下列條件:(1)x=(t),其值域含于[a,b],且a=(),b=();(2)(t)在區(qū)間[,

]或[,

]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t);則有第四十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二說(shuō)明：第四十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例12計(jì)算例13計(jì)算例14計(jì)算例15計(jì)算例16計(jì)算例17計(jì)算第四十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例12計(jì)算法一設(shè)t=cosx,則dt=-sinxdx法二第四十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例13計(jì)算例14計(jì)算設(shè)

,則x=t2-1,dx=2tdt第四十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例15計(jì)算第四十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例16計(jì)算第五十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例17計(jì)算原式第五十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例18設(shè)f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù),證明:(1)如果f(x)為奇函數(shù),則;(2)如果f(x)為偶函數(shù),則第五十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例19

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù),證明:設(shè)第五十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例20求下列定積分:(1)第五十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例21求定積分:奇函數(shù)原式偶函數(shù)單位圓的面積第五十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二練一練第五十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)分部積分法定理5.1.4

設(shè)函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則有:第五十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例26求

例22求

例23求

例24求

例25求

第五十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例22求

第六十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例23求

第六十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例24求

令則第六十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例25求第六十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例26求

第六十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例27

證明第六十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二解得In的遞推公式,,繼續(xù)使用遞推公式知道I1和I0,得第六十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例28求

例29求

第六十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二四.廣義積分(一)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分——無(wú)窮積分

定義5.1.2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+)上連續(xù),取b>a，若極限存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在[a,+)上的廣義積分,記作，即此時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂;如果上述極限不存在,就稱(chēng)發(fā)散.第六十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類(lèi)似可定義:只要有一個(gè)極限不存在,就稱(chēng)發(fā)散.第六十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二引入記號(hào)則有類(lèi)似N–L公式的計(jì)算表達(dá)式:第七十頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例30求

例31

討論

的斂散性.例32

求例33

求第七十一頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例30求

第七十二頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例31

討論

的斂散性.第七十三頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例32

求第七十四頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例33

求第七十五頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)無(wú)界函數(shù)的廣義積分——瑕積分定義5.1.3

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)且.取A>a,如果極限

存在,則稱(chēng)此極限為函數(shù)

f(x)在

(a,b]上的廣義積分,記作即此時(shí)也稱(chēng)廣義積分收斂,否則就稱(chēng)廣義積分

發(fā)散.A稱(chēng)為瑕點(diǎn)

.第七十六頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二類(lèi)似可定義:（1）x=b為f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)時(shí):（2）無(wú)窮間斷點(diǎn)x=c位于區(qū)間(a,b)內(nèi):第七十七頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二若瑕點(diǎn)的計(jì)算表達(dá)式:則也有類(lèi)似牛–萊公式的若b

為瑕點(diǎn),則若a

為瑕點(diǎn),則若a,b

都為瑕點(diǎn),則則當(dāng)上式右邊兩個(gè)廣義積分都收斂,稱(chēng)廣義積分收斂.第七十八頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例34

求所以廣義積分發(fā)散.第七十九頁(yè)，共九十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例35

討論

的斂散