全微分方向?qū)?shù)梯度

全微分方向?qū)?shù)梯度第一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第八章多元函數(shù)微分學(xué)本章學(xué)習(xí)要求：理解多元函數(shù)的概念。熟悉多元函數(shù)的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。知道二元函數(shù)的極限、連續(xù)性等概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。會(huì)求二元函數(shù)的極限。知道極限的“點(diǎn)函數(shù)”表示法。理解二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。了解全微分存在的必要條件和充分條件。了解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的幾何意義。熟練掌握二元和三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算方法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。能熟練求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。了解求偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的條件。理解方向?qū)?shù)的概念，并掌握它的計(jì)算方法以及它與梯度的關(guān)系。第二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二會(huì)求隱函數(shù)(包括由方程組確定的隱函數(shù))的一階、二階偏數(shù)。知道二元函數(shù)的泰勒公式形式。知道n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念及其求法。熟悉平面的方程和直線的方程及其求法。了解空間(平面)曲線的參數(shù)方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的概念,并能熟練求出它們的方程。知道曲線族的包絡(luò)的概念及其法。12.理解二元函數(shù)無(wú)約束極值的概念，能熟練求出二元函數(shù)的無(wú)約束極值。了解條件極值（有約束極值）的概念，能熟練運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。13.掌握建立與多元函數(shù)極值有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。第三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四節(jié)全微分方向?qū)?shù)梯度第四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二我們以二元函數(shù)為主,進(jìn)行講解,所得結(jié)論可容易地推廣至三元和三元以上的函數(shù)中.一.全微分第五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二回憶一元函數(shù)的微分可微可導(dǎo)第六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二運(yùn)用多元函數(shù)的全增量概念,將一元函數(shù)的微分概念推廣到多元函數(shù)中.一元函數(shù)的增量多元函數(shù)的全增量第七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二回憶一元微分的幾何意義yDyd一元:用切線上的增量近似曲線上的增量.多元:用切平面上的增量近似曲面上的增量.第八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二應(yīng)用的某一個(gè)線性函數(shù)表示二元函數(shù)的全增量第九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二元函數(shù)全微分的定義時(shí),若函數(shù)在點(diǎn)X0

處的全增量可則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)X0

處可微,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)X0處的全微分,其中,a,b是與DX內(nèi)有定義,當(dāng)獲得增量且表示為

0有關(guān)的常數(shù).無(wú)關(guān),僅與X第十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二全微分概念的極限形式其中第十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二如果函數(shù)在區(qū)域中的每一點(diǎn)均可微,則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)域上可微.函數(shù)在區(qū)域上的可微性第十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微連續(xù)可導(dǎo)???在多元函數(shù)中,三者的關(guān)系如何？第十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二連續(xù)：可微與連續(xù)的關(guān)系(可微的必要條件)可微：什么關(guān)系?第十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二函數(shù)在點(diǎn)X0

處可微,則必在點(diǎn)X0

處連續(xù).可微與連續(xù)的關(guān)系(可微的必要條件)第十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微連續(xù)可導(dǎo)?在多元函數(shù)中,可微連續(xù)第十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微與可導(dǎo)的關(guān)系(可微的必要條件)可微：定理第十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二若函數(shù)可微,則即同理,取證第十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微連續(xù)可導(dǎo)在多元函數(shù)中,可微可偏導(dǎo)第十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二可微連續(xù)可導(dǎo)在多元函數(shù)中,可微可偏導(dǎo)在多元函數(shù)中,可偏導(dǎo)可微?第二十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!例1第二十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),且有有界的偏導(dǎo)數(shù),但不可微.該例留給學(xué)生課后研討參考書(shū)：《高等數(shù)學(xué)中的反例》朱勇等編華中工學(xué)院出版社1986年p120~130第二十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二逆命題?可微連續(xù)可導(dǎo)連續(xù)可導(dǎo)連續(xù)可導(dǎo)Ok第二十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二元函數(shù)可微的充分條件定理第二十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用微分中值定理由偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性要證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)

處可微,即要證證故同理第二十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二其中為該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量.從而,函數(shù)的全增量又即函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)

處可微.故由夾逼定理,得第二十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二如果函數(shù)在區(qū)域中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)和,則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)域中的類(lèi)函數(shù),記為當(dāng)不強(qiáng)調(diào)區(qū)域時(shí),記為第二十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)第二十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二證因?yàn)闀r(shí)同理于是第三十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二不存在.第三十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二全微分的計(jì)算請(qǐng)同學(xué)自己看書(shū)!第三十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二將y,z

看成常數(shù):將x,z

看成常數(shù):例解第三十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二將x,y

看成常數(shù):故第三十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例解第三十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.第三十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二二.方向?qū)?shù)回憶一元函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù):ABC第三十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二xOyz.P0Pl.利用點(diǎn)函數(shù)推廣到第四十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二方向?qū)?shù)的定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.若點(diǎn)沿射線l趨于時(shí),極限l方向的方向?qū)?shù).記為存在,則稱(chēng)該極限值為函數(shù)在點(diǎn)處沿第四十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二比較方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的概念在方向?qū)?shù)中,分母在偏導(dǎo)數(shù)中,分母可正、可負(fù).即使l的方向與x軸,y軸的正方向一致時(shí),方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)也是兩個(gè)不同的概念.單向雙向第四十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二利用直線方程可將方向?qū)?shù)的定義表示為:射線l的方程:則故第四十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二怎么計(jì)算方向?qū)?shù)？第四十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二方向?qū)?shù)導(dǎo)計(jì)算公式若函數(shù)在點(diǎn)處可微,則函數(shù)在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且其中,各偏導(dǎo)數(shù)均為在點(diǎn)處的值.定理第四十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二例解第四十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二由點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離定義的函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)處向?qū)?shù)值都等于1:的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在,但它在該點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在,且方此例說(shuō)明:1.方向?qū)?shù)存在時(shí),偏導(dǎo)數(shù)不一定存在.2.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件,而不是必要條件.例第四十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二只與函數(shù)在點(diǎn)X0

處的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān).1第五十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二一個(gè)問(wèn)題：該問(wèn)題僅在不同時(shí)為零才有意義.在給定點(diǎn)沿什么方向增加得最快?可微函數(shù)第五十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二現(xiàn)在正式給出的定義gradu且第五十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.梯度定義設(shè)則稱(chēng)向量為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度,記為或第五十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二

梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)值的方向一致,而梯度的模就是函數(shù)在該點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值.以上結(jié)論可以推廣到二元和三元以上的函數(shù)中.第五十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二在中在中可統(tǒng)一表示為第五十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二∵∴從而例解第五十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期二設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn),在點(diǎn)處的電位為其中,為介電系數(shù),求電位v的梯