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文檔簡介
§6線性方程組解的結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)平面間位置關(guān)系的討論三元非齊次線性方程組解的幾何意義目錄下頁返回結(jié)束1在解決了線性方程組有解的判別條件之后,我們進(jìn)一步來討論線性方程組解的結(jié)構(gòu).在方程組的解是唯一的情況下,當(dāng)然沒有什么結(jié)構(gòu)問題.在有多個(gè)解的情況下,所謂解的結(jié)構(gòu)就是解與解之間的關(guān)系.下面我們將證明,雖然在這時(shí)有無窮多解但是全部的解都可以用有限多個(gè)解表示出來.這就是本節(jié)要討論的問題和要得到的主要結(jié)果.下面的討論當(dāng)然都是對于有解的情況說的,這一點(diǎn)就不再每次都說明了.首頁上頁下頁返回結(jié)束2一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)有齊次線性方程組它的解是一個(gè)n
維向量,稱之為解向量,解構(gòu)成的集合,稱之為解集.由它的所有首頁上頁下頁返回結(jié)束31.解的性質(zhì)方程組(1)有下面兩個(gè)重要性質(zhì):性質(zhì)1
兩個(gè)解的和還是方程組的解.證設(shè)(k1,k2,…,kn
)與(l1,l2,…,ln
)是方程組(1)的兩個(gè)解,則有首頁上頁下頁返回結(jié)束4把兩個(gè)解的和(k1+l1,k2+l2,…,kn
+ln
)(2)代入方程組,得這說明(2)確實(shí)是方程組的解.首頁上頁下頁返回結(jié)束5性質(zhì)2
一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.證設(shè)(k1,k2,…,kn
)是方程組(1)的一個(gè)解,c
為一常數(shù),因?yàn)樗?ck1,ck2,…,ckn
)是方程組(1)的解.推論
齊次線性方程組(1)的任意有限個(gè)解的線性組合還是該方程組的解.首頁上頁下頁返回結(jié)束62.解的性質(zhì)的幾何意義我們以3元齊次線性方程組為例來解釋這兩個(gè)性質(zhì)的幾何意義.
3元齊次線性方程組中的每個(gè)方程表示一個(gè)過原點(diǎn)的平面.于是方程組的解,也就是這些平面的交,如果不只是原點(diǎn)的話,就是一條過原點(diǎn)的直線或一個(gè)過原點(diǎn)的平面.以原點(diǎn)為起點(diǎn)而終點(diǎn)在這樣的直線或平面上的向量顯然具有上述性質(zhì).首頁上頁下頁返回結(jié)束73.解的結(jié)構(gòu)問題的提出對于齊次線性方程組,由它的兩個(gè)性質(zhì)即得,解的線性組合還是方程組的解.這個(gè)性質(zhì)說明了,如果找到了方程組的幾個(gè)解,那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個(gè)事實(shí),我們要問:齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個(gè)解的線性組合表示出來?這就是當(dāng)解不唯一時(shí),解與解之間的關(guān)系問題(即解的結(jié)構(gòu)).為此,我們引入下面的定義.首頁上頁下頁返回結(jié)束84.基礎(chǔ)解系的定義定義17
齊次線性方程組(1)的一組解1,2,…,t
稱為(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,如果
1)(1)的任一解都能表成1,2,…,t
的線性組合;
2)1,2,…,t線性無關(guān).
注:定義中的條件2)是為了保證基礎(chǔ)解系中沒有多余的解.事實(shí)上,如果1,2,…,t線性相關(guān),也就是其中有一個(gè)可以表成其他的解的線性組合,譬如說,t可以表示成1,2,…,t-1的線性組合,那么,1,2,…,t-1
顯然也具有性質(zhì)1).首頁上頁下頁返回結(jié)束95.基礎(chǔ)解系的存在性與求法齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的存在性由下面的定理給出.
定理8
在齊次線性方程組有非零解的情形下,它有基礎(chǔ)解系,并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于n-
r,這里r
表示系數(shù)矩陣的秩(n
-
r也就是自由未知量的個(gè)數(shù)).證設(shè)方程組(1)的系數(shù)矩陣A的秩為r,不妨設(shè)A的左上角的r
級子式不等于零.于是按上一節(jié)最后的分析,方程組(1)可以改寫成首頁上頁下頁返回結(jié)束10如果r=n,那么方程組沒有自由未知量,方程組(3)的右端全為零.這時(shí)方程組只有零解,當(dāng)然也就不存在基礎(chǔ)解系.以下設(shè)r<n.我們知道,把自由未知量的任意一組值(cr+1,cr+2,…,cn)代入(3),就唯一地決定了方程(3)-也就是方程組(1)的一個(gè)解.換句話說,方程組(1)首頁上頁下頁返回結(jié)束11的任意兩個(gè)解,只要自由未知量的值一樣,這兩個(gè)解就完全一樣.特別地,如果在一個(gè)解中,自由未知量的值全為零,那么這個(gè)解一定是零解.因此,為了求方程組(1)的
n
-
r
個(gè)不同的解,在(3)中,令自由未知量xr+1,xr+2,…,xn
取下列n
-r
組數(shù):首頁上頁下頁返回結(jié)束12于是就得出方程組(3),也就是方程組(1)的n
-
r
個(gè)解:下證,(5)就是一個(gè)基礎(chǔ)解系.首先證明1,2,…,n-r
線性無關(guān).事實(shí)上,如果k11+k22+…+kn-rn-r=0,即首頁上頁下頁返回結(jié)束13k11+k22+…+kn-
rn-r=(*,…,*,k1,k2,…,kn-
r
)=(0,…,0,0,0,…,0).比較最后
n
-
r
個(gè)分量,得k1=k2=…=kn
-
r
=0.因此,1,2,…,n-r
線性無關(guān).再證明方程組(1)的任意一個(gè)解都可以由1,2,…,n-r
線性表出.設(shè)
=(c1,…,cr
,cr+1,cr+2,…,cn)(6)首頁上頁下頁返回結(jié)束14是方程組(1)的一個(gè)解.由于1,2,…,n-r
是(1)的解,所以線性組合cr+11+cr+22+…+cnn-r也是(1)的一個(gè)解.比較(7)和(6)的最后n
-
r
個(gè)分量得知,自由未知量有相同的值,從而這兩解完全一樣,即=(*,…,*
,cr+1,cr+2,…,cn)(7)
=cr+11+cr+22+…+cnn-r(8)這就是說,任意一個(gè)解都能表成1,2,…,n-r
首頁上頁下頁返回結(jié)束15的線性組合.綜合以上兩點(diǎn),我們就證明了1,2,…,n-r
確為方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,因而齊次線性方程組(1)的確有基礎(chǔ)解系.證明中具體給出的這個(gè)基礎(chǔ)解系是由n
-r
個(gè)解組成.至于其它的基礎(chǔ)解系,由定義,一定與這個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià),同時(shí)它們又都是線性無關(guān)的,因而有相同個(gè)數(shù)的向量.定理的證明事實(shí)上就是一個(gè)具體找基礎(chǔ)解系的方法.首頁上頁下頁返回結(jié)束16任何一個(gè)線性無關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組都是基礎(chǔ)解系.證設(shè)1,2,…,n-r
是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,向量組1,2,…,t
線性無關(guān)且與1,2,…,n-r等價(jià).由基礎(chǔ)解系的定義,可得出下面重要結(jié)論:首頁上頁下頁返回結(jié)束17下面來證明1,2,…,t是方程組(1)的基礎(chǔ)解系.因?yàn)?,2,…,t與1,2,…,n-r等價(jià)且它們都是線性無關(guān)的,所以有1)t=n
-
r;2)1,2,…,t可經(jīng)1,2,…,n-r線性表出.由2)可得i=c11+c22+…+cn-
rn-r(i=1,2,…,t)于是1,2,…,t
也是方程組(1)線性無關(guān)的解.首頁上頁下頁返回結(jié)束18
=k11+k22+…+kn
-rn-r
設(shè)1,2,…,n-r
是齊次線性方程組(1)的基礎(chǔ)解系,則稱是齊次線性方程組(1)的一般解.齊次線性方程組的一般解首頁上頁下頁返回結(jié)束19例1
求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.解系數(shù)矩陣作初等行變換首頁上頁下頁返回結(jié)束20于是原方程組與同解.將此方程組變形為首頁上頁下頁返回結(jié)束21分別令得首頁上頁下頁返回結(jié)束22總結(jié)上述討論,求解齊次線性方程組可按下列步驟進(jìn)行:
1)將方程組(1)的系數(shù)矩陣A用初等行變換(必要時(shí)可用交換兩列的變換)化為首頁上頁下頁返回結(jié)束23從而得到與原方程組同解的齊次線性方程組首頁上頁下頁返回結(jié)束243)寫出方程組的通解(一般解)首頁上頁下頁返回結(jié)束25二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.非齊次線性方程組與其導(dǎo)出組設(shè)有非齊次線性方程組若令b1=b2=…=bs
=0,就得到齊次方程組(1).方程組(1)稱為方程組(9)的導(dǎo)出組.首頁上頁下頁返回結(jié)束262.解的性質(zhì)方程組(9)的解與它的導(dǎo)出組(1)的解之間有密切的關(guān)系:1)
線性方程組(9)的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組(1)的解.證設(shè)(k1,k2,…,kn
)與(l1,l2,…,ln
)是方程組(9)的兩個(gè)解,則有首頁上頁下頁返回結(jié)束27它們的差是(k1-
l1,k2-
l2,…,kn-
ln
).顯然有這就是說,(k1-
l1,k2-
l2,…,kn-
ln
)是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解.2)
線性方程組(9)的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的一個(gè)解.證設(shè)(k1,k2,…,kn
)是方程組(9)的一個(gè)解,即首頁上頁下頁返回結(jié)束28又設(shè)(l1,l2,…,ln
)是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解,即顯然這就是說,(k1+l1,k2+l2,…,kn+ln
)是(9)的一個(gè)解.首頁上頁下頁返回結(jié)束293.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理9
如果0
是方程組(9)的一個(gè)特解,那么方程組(9)的任一個(gè)解都可以表成=0+
,(10)其中是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解.因此,對于方程組(9)的任一個(gè)特解0,當(dāng)取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí),
(10)就給出(9)的全部解.首頁上頁下頁返回結(jié)束30證顯然=0+(-0),
由上面的1),-0
是導(dǎo)出組(1)的一個(gè)解,令-0=,就得到定理的結(jié)論.既然(9)的任一個(gè)解都能表成(10)的形式,由2)在取遍(1)的全部解的時(shí)候,=0+就取遍(9)的全部解.首頁上頁下頁返回結(jié)束31非齊次線性方程組的一般解
=0+k11+k22+…+kn
-rn-r
設(shè)0
是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,1,2,…,n-r
是它的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則它的任一個(gè)解可表示為稱之為非齊次線性方程組的一般解
.由定理9容易得出以下推論:首頁上頁下頁返回結(jié)束32推論在非齊次線性方程組有解的條件下,解是唯一的充分必要條件是它的導(dǎo)出組只有零解.證充分性如果方程組(9)有兩個(gè)不同的解,那么它的差就是導(dǎo)出組的一個(gè)非零解.因此,如果導(dǎo)出組只有零解,那么方程組(9)有唯一解.必要性如果導(dǎo)出組有非零解,那么這個(gè)解與方程組(9)的一個(gè)解(因?yàn)樗薪?的和就是(9)的另一個(gè)解,也就是說,(9)不止一個(gè)解.因之,如果方程(9)有唯一解,那么它的導(dǎo)出組只有零解.首頁上頁下頁返回結(jié)束33例2
求解非齊次線性方程組解增廣矩陣首頁上頁下頁返回結(jié)束34首頁上頁下頁返回結(jié)束35由得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系于是原方程組同解于方程組首頁上頁下頁返回結(jié)束36于是原方程組的通解為首頁上頁下頁返回結(jié)束37例3
設(shè)線性方程組討論方程組的解的情況與參數(shù)a,b
的關(guān)系,有解時(shí)求其解.解系數(shù)行列式首頁上頁下頁返回結(jié)束38故方程組無解.首頁上頁下頁返回結(jié)束39首頁上頁下頁返回結(jié)束40方程組有無窮多解,通解為故方程組無解.首頁上頁下頁返回結(jié)束41三、平面間位置關(guān)系的討論由于平面在直角坐標(biāo)系下的方程,是三元線性方程a1x1+a2x2+a3x3=b,而直線在直角坐標(biāo)系下的方程是兩個(gè)三元線性方程組成的方程組,因此,討論它們之間的位置關(guān)系(如平行、重合、相交等),可用線性方程組的解的理論闡明.兩個(gè)平面間的位置關(guān)系有:平行、重合、相交三種情況.首頁上頁下頁返回結(jié)束42設(shè)有兩個(gè)平面1,2
,其方程如下:1:a11x1+a12x2+a13x3=b1,2:a21x1+a22x2+a23x3=b2
則平面1,2
間的位置關(guān)系可由線性方程組的解的情況來確定.為方便起見,用A
表示所討論的方程組的系數(shù)矩陣,
表示所討論的方程組的增廣矩陣,R(A)表示矩陣A
的秩.首頁上頁下頁返回結(jié)束43這時(shí)方程組有無窮多組解,其一般解中含有一個(gè)任意常數(shù),即兩平面相交為一直線.這時(shí)增廣矩陣的兩個(gè)行向
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