第九節(jié)連續(xù)函數(shù)運算與初等

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)內(nèi)容四則運算的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)重點初等函數(shù)的連續(xù)性本節(jié)要求了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性1第一章第九節(jié)一、四則運算的連續(xù)性定理1若函數(shù)

f

(

x),

g(

x)在點

x0處連續(xù),2第一章第九節(jié)0g(

x)則

f

(

x)

g(

x),

f

(

x)

g(

x),

f

(

x)

(

g(

x

)

0)在點x0處也連續(xù).例如,sin

x,cos

x在(,)內(nèi)連續(xù),故tan

x,cot

x,sec

x,csc

x

在其定義域內(nèi)連續(xù).二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例如,2

2y

sin

x在[

,

]上單調(diào)增加且連續(xù),故y

arcsin

x

在[1,1]上也是單調(diào)增加且連續(xù).同理y

arccos

x

在[1,1]上單調(diào)減少且連續(xù);y

arctan

x,y

arc

cot

x

在[,]上單調(diào)且連續(xù).反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理2

如果函數(shù)y

f

x在區(qū)間Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)x

f

1

y也在對應(yīng)的區(qū)間I

y

y

f

x,xIx上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。y3第一章第九節(jié)

時,xx0對于

0,

0,

使當

0

x

x0定理3設(shè)函數(shù)y

f

g

x由函數(shù)u

g

x與函數(shù)y

f

u

xx0xx0

uu0在u

u0連續(xù)，則lim

f

g

x

lim

f

u

f

u0

證

f

(u)在點u

u0連續(xù),復(fù)合而成，U

x0

Df

g

.若lim

g

x

u0

,而函數(shù)y

f

u

0,

0,

使當u

u0恒有

f

(u)

f

(u0

)

成立.4第一章第九節(jié)

時,又lim

g(x)

u0

,恒有g(shù)(x)u0

uu0

成立.xx05第一章第九節(jié)xx0將上兩步合起來:

0,

0,

使當0

x

x0

時,f

(u)

f

(u0)

f

[g(x)]

f

(u0)

成立.

lim

f

[g(x)]

f

(u0

)

f

[limg(x)].6第一章第九節(jié)意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;2.變量代換(u

g(x))的理論依據(jù)設(shè)函數(shù)

u

(

x

)在點

x

x0連續(xù),

且定理4(

x0

)

u0

,

而函數(shù)

y

f

(u)在點

u

u0

連續(xù),則復(fù)合函數(shù)

y

f

[(

x

)]在點

x

x0也連續(xù).注意

定理4是定理3的特殊情況.7第一章第九節(jié)三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理5

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★指數(shù)函數(shù)

y

a

x

(a

0,

a

1)在(,)內(nèi)單調(diào)且連續(xù);★對數(shù)函數(shù)y

loga

x(a

0,

a

1)在(0,)內(nèi)單調(diào)且連續(xù);★y

x

a

loga

xy

au

,

u

log

x.a討論不同值,在(0,

)內(nèi)連續(xù),(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理6

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.8第一章第九節(jié)1.

初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),

在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,y

cos

x

1,D

:

x

0,2,4,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.y

x

2

(

x

1)3

,9第一章第九節(jié)D

:x

0,

及x

1,在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.函數(shù)在區(qū)間[1,)上連續(xù).注意

2.

初等函數(shù)求極限的方法代入法.注意10第一章第九節(jié)四

連續(xù)在極限運算中的應(yīng)用理論依據(jù)：在u

u0連續(xù)，則lim

f

g

x

lim

f

u

f

u0

xx0

uu0將結(jié)論的形式改變則有：x

x0定理3

設(shè)函數(shù)y

f

g

x由函數(shù)u

g

x與函數(shù)y

f

u

復(fù)合而成，U

x0

Df

g

.若lim

g

x

u0

,而函數(shù)y

f

u

xx0xx0

lim

f

[g(x)]

f

[lim

g(x)].這一公式給計算極限帶來方便。log1

xa

0且a

1a

0且a

1x0試證1lim

a

1ln

ax12limx0

ln

aaxx3lim1

x

1

為實數(shù)11第一章第九節(jié)x0x例題1一般地，對于形如u

xvx

u

x

0,u

x

1的函數(shù)常稱為冪指函數(shù)。若limu

x

a

0,limv

x

b,則limu

xv

x

ab

.若u

xv

x

呈現(xiàn)為1

,00

,0

,在求這一類冪指函數(shù)極限時的基本思路是通過對數(shù)恒等變換，將其變?yōu)??，進lim

vx

lnuxxx0

xx0limu

xvx

limevxlnux

exx00

12第一章第九節(jié)0

而化為或者

來求解，即：xa

xa特別地，lim

u

x

1,lim

v

x

,則:

lim

ux

ax

av

xx

e

lim

u

x

1

v

x例題

a,

b,

c

013第一章第九節(jié)1x12

xx01)

lim

1

3x;

2)

limx013xx

ax3)

lim

x0

bx

cx

xx

e144)

lim31

2

cos

x

x3

x0

x

1

考研題31

xx

ln

2cos

x3x0原式

lim

e2limx0ln

2

cos

x3x3x0ln

1

cos

x

-1

x

2x

0

lim

lim

3

cos

x

-1x221

12x第一章第九節(jié)x2x03

lim

解：

x

1在點x

1x

1例題3

設(shè)f

Ax

B

x

連續(xù)，試確定A，B。3x

1

x

3