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文檔簡介
第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則~
鏈?zhǔn)椒▌t二 全微分形式不變性1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形定理1如果函數(shù)u
=j
(t)及v
=y
(t)都在點(diǎn)t
可導(dǎo)，函數(shù)z
=f
(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z
=f
[j
(t),y
(t)]在對應(yīng)點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算dz
=
?z du
+
?z
dvdt
?u
dt
?v
dt一、鏈?zhǔn)椒▌t?u
?v1
2Dz
=
?z
Du
+
?z
Dv
+
e
Du
+
e
Dv當(dāng)Du
fi
0,
Dv
fi
0
時，e1
fi
0,
e2
fi
0Dz
=
?z
Du
+
?z
Dv
+
e
Du
+
e
DvDt
?u
Dt
?v
Dt
1
Dt
2
Dt當(dāng)Dt
fi
0時，Du
fi
0,Dv
fi
0證:設(shè)t
獲得增量DtDu
=
j
(t
+
Dt
)
-j
(t
)，Dv
=y
(t
+
Dt
)
-y
(t
)由于函數(shù)z
=f
(u,v)在點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)dt
?u
dt
?v
dtDt
fi
0
Dtdz
=
lim
Dz
=
?z如上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況dz
=
?z
du
+
?z
dv
+
?z
dwdt
?u
dt
?v
dt
?w
dtuv
twzDt
dtDu
fiDt
dtdu
+
?z
dvdu
,
Dv
fi
dv全導(dǎo)數(shù)解：dz
=
?z du
+
?z dv
+
?z
dtdt
?u
dt
?v
dt
?t
dt=
vet
-
usin
t
+
cos
t=
e
t
cos
t
-
e
t
sin
t
+
cos
t=
e
t
(cos
t
-
sin
t
)
+
cos
t例1設(shè)z
=uv
+sin
t,求全導(dǎo)數(shù)v
=
cos
tu
=
e
t
,dtdzz
=
f
[f(
x,
y),y
(
x,
y)]2.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形定理2如果u
=j
(x,y)及v=y
(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對x
和y
的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)z
=f
(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z
=f
[j
(x,y),y
(x,y)]在對應(yīng)點(diǎn)(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示?z
=
?z
?u
+
?z
?v?x
?u
?x
?v
?x?z
=
?z
?u
+
?z
?v?y
?u
?y
?v
?yzuvwxy?w
?y+=
+?y
?u
?y
?v
?y?w
?x?z
?w?x
?u
?x
?v
?x?z
?z
?u
?z
?v?z
=
?z
?u
+
?z
?v
+
?z
?w類似地再推廣，設(shè)u
=j
(x,y)，v
=y
(x,y)w
=w
(x,y)都在點(diǎn)(x,y)具有對x
和y的偏導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)z
=f
[j
(x,y),y
(x,y),w
(x,y)]在對應(yīng)點(diǎn)(x,y)兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算解:例2設(shè)z
=eu
sin
v
，u
=xy
，v
=x
+y求?z
，?z?x?y?x
?u
?x
?v
?x=
eu
sin
v y
+
eu
cos
v
1=
e
xy
[
y
sin(
x
+
y)
+
cos(
x
+
y)]?z
=
?z
?u
+
?z
?v?z
=
?z
?u
+
?z
?v?y
?u
?y
?v
?y=
eu
sin
v x
+
eu
cos
v
1=
e
xy
[
x
sin(
x
+
y)
+
cos(
x
+
y)]?f?x?z
=
?f
?u
+?x
?u
?x?f?y?u
?y=
?f
?u
+?z?y即
z
=
f
[f(
x,
y),
x,
y]
令v
=
x
，w
=
y?x?v
=
1
,?x?w
=
0
,?y?v
=
0
,?y?w
=
1把復(fù)合函數(shù)z
=f
[f(x,y),x,y]中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)把z
=f
(u,x
,y
)中的u
及y
看作不變而對x
的偏導(dǎo)數(shù)兩者的區(qū)別區(qū)別類似特殊地z
=f
(u,x,y)其中u
=f(x,y)解：
?u
=
?f?x
?x?(
xyz
)
?xdx
?(
2
x
-
y
)?f
?(
xyz
)?x?(
2
x
-
y
)dx
+
?f+例3
設(shè)u
=
f
(
x,2
x
-
y,
xyz)求?x?u=
f1
+
2
f2
+
yzf3解：令u
=x
+y
+z
,v
=
xyz記,?f
(u,
v)f1￠=?u?u?v?2
f
(u,
v)f1￠2￠=f22同理有f2
,
f11
,?u
+
?f?w
=
?f?x?u
?x
?v
?x21?v
=
f
+
yzf例4設(shè)w
=f
(x
+y
+z,xyz)，f
具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和?x
?x?z?w
?2
w=?x?z?2
w?z??z?f?z?f(
f1￠+
yzf2￠)
=
1
+
yf2￠+
yz
2?f1
=
?f1?z
?u?v
=
f?u
+
?f1?z
?v
?z?u
+
?f21211+
xyf?f2
=
?f2?z?2
w?u
?z
?v
?z?v
=
f2221+
xyf=
f11
+
xyf12
+
yf2
+
yz(f21
+
xyf22
)2=
f11
+
y(
x
+
z)
f12
+
xy
zf22
+
yf2?x?z二、全微分形式不變性設(shè)函數(shù)z
=f
(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分dz
=?z
du
+?z
dv
，當(dāng)u
=j
(x,y)?u
?vv
=y
(x,y)時，有dz
=?z
dx
+?z
dy?x
?y全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)無論z
是自變量(x,y)的函數(shù)或中間變量(u,v)的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的。
?u
?x
?v
?x
dz
=
?z
dx
+
?z
dy?x
?y?u
+
?z
?v
dy
?u
?y
?v
?y=
?z
?u
+
?z
?v
dx
+
?z
?u
?x
?y
?y?v
?x=
?z
?u
dx
+
?u
dy
+
?z
?v
dx
+
?v
dy=
?z
du
+
?z
dv?u
?v?z?x
=
e
z
-
2?zye
-
xy
xe-
xy?y
=
ez
-
2例5求
和?x
?y解：
d
(e-
xy
-
2z
+
ez
)
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