2021-2022學(xué)年湖南省湘潭市縣響塘鄉(xiāng)南谷中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省湘潭市縣響塘鄉(xiāng)南谷中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè),則“”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

參考答案：A2.將函數(shù)的圖象按向量平移所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A3.ABCD是空間四邊形，已知AB=CD，AD=BC，但AB1AD

M、N分別為對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，則(

)A.MN與AC垂直，MN與BD不垂直

B.MN與BD垂直，MN與AC不垂直C.MN與AC、BD都垂直

D.MN與AC、BD都不垂直參考答案：答案:C4.已知滿(mǎn)足不等式設(shè)，則的最大值與最小值的差為（）

A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：A略5.正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n和為Sn，已知，則=（

）A.

35

B.

36

C.

45

D.

54參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）=x2+2|x|，若f（﹣a）+f（a）≤2f（2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣4，2] D．[﹣4，4]參考答案：A考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：易知函數(shù)f（x）=x2+2|x|是偶函數(shù)，且函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；從而化為|a|≤2；從而求解．解答： 解：易知函數(shù)f（x）=x2+2|x|是偶函數(shù)，且函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；故f（﹣a）+f（a）≤2f（2）可化為f（|a|）≤f（2）；故|a|≤2；故﹣2≤a≤2；故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.若，則

（

）A．{3}

B．{－1，1，3}

C．

D．{－1}

參考答案：D略8.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，它的周期是，則（

） A．的圖象過(guò)點(diǎn) B．在上是減函數(shù)[ C．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是 D．的最大值是A參考答案：C9.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為，則dx的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令展開(kāi)式中x的指數(shù)為3求出r的值，寫(xiě)出x3的系數(shù)，求得a的值，計(jì)算dx的值．【解答】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=?x9﹣r?=??x9﹣2r，令9﹣2r=3，解得r=3；所以展開(kāi)式中x3的系數(shù)為：?=，解得a=﹣1；所以dx=（x﹣）dx=（x2﹣lnx）=（e2﹣1）﹣（﹣0）=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為_(kāi)____________.

參考答案：略12.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若27a3﹣a6=0，則=

．參考答案：28【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由已知求出公比，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案為：28．13.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊,成等比數(shù)列,當(dāng)取最大值時(shí),的最大值為

.參考答案：.14.已知下列四個(gè)命題：

①若；

②函數(shù)是奇函數(shù)；

③“”是“”的充分不必要條件；

④在△ABC中，若，則△ABC中是直角三角形。其中所有真命題的序號(hào)是

。參考答案：

略15.若n的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

.參考答案：16.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則

．參考答案：1由x2=4y得，y=，則，∴在點(diǎn)P（m，n）處的切線斜率k=，∵曲線x2=4y在點(diǎn)P（m，n）處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直，∴×（﹣2）=﹣1，解得m=1，故答案為：1．【考查方向】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，以及直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．【易錯(cuò)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線垂直關(guān)系的條件?！窘忸}思路】由x2=4y得y=，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出m的值．17.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】列出關(guān)于的方程組并解出，即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意得解得所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中的基本量，等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題往往要通過(guò)列關(guān)于的方程組來(lái)求.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均為實(shí)數(shù)，（1）求g（x）的極值；（2）設(shè)m=1，a=0，求證對(duì)|恒成立；（3）設(shè)a=2，若對(duì)?給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范圍．

參考答案：

考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析:（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值．（2）通過(guò)m=1，a=0，化簡(jiǎn)f（x）=x﹣1，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，證不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷m≤0，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)m＞0時(shí)，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，求出m的范圍，當(dāng)，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出關(guān)系式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)w（x）=2ex﹣x，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，然后推出．解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）極大值g（1）=1，無(wú)極小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函數(shù)∴，在[3，4]上是增函數(shù)設(shè)3≤x1＜x2≤4，則原不等式轉(zhuǎn)化為即…（6分）令，即證?x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h(yuǎn)′（x）=1﹣ex＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所證不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合題意當(dāng)m＞0時(shí)，要?t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由題意知f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，即得，且函數(shù)f（x）在由題意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴內(nèi)，，下面證時(shí)，f（t）≥1，取t=e﹣m，先證．令w（x）=2ex﹣x，∴內(nèi)恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2em﹣m＞0，再證f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，新函數(shù)以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查綜合分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．

19.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=a，曲線C2的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）當(dāng)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程的定義即可求得；（Ⅱ）數(shù)形結(jié)合：作出圖象，根據(jù)圖象即可求出有兩交點(diǎn)時(shí)a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲線C2的直角坐標(biāo)方程為（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），為半圓弧，如圖所示，曲線C1為一族平行于直線x+y=0的直線，當(dāng)直線C1過(guò)點(diǎn)P時(shí)，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，則a=﹣2+，當(dāng)直線C1過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)時(shí)，a=﹣1，∴由圖可知，當(dāng)﹣1≤a＜﹣2+時(shí)，曲線C1與曲線C2有兩個(gè)公共點(diǎn)．20.（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如果斜率為的直線EF與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，試判斷直線AE、AF的斜率之和是否為定值，若是請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)試求三角形AEF面積S取得最大值時(shí)，直線EF的方程.參考答案：解：（1）由題意，,….1分橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，，又，解得，，所以橢圓方程為.…………….3分

（2）設(shè)直線的方程為：，代入得：.且；….4分設(shè)，由題意，，；….5分分子為：又，，.即，直線的斜率之和是為定值.….8分（3），….9分所以，經(jīng)運(yùn)算最大….12分所以直線方程為….13分21.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BB1的中點(diǎn)．（1）求證：截面AEC1⊥側(cè)面AC1；（2）若，求B1到平面AEC1的距離參考答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）設(shè)O，分別為AC，的中點(diǎn)，與相交于F，，側(cè)面,可得側(cè)面，截面?zhèn)让?；?）求出、的面積及A到平面，由可得到平面的距離.【詳解】解：（1）設(shè)O，分別為AC，的中點(diǎn)，與相交于F．∵是正三棱柱，∴側(cè)面底面ABC．∵O是正三角形ABC邊AC的中點(diǎn)，∴．∴側(cè)面．∵，，E，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴EBOF是平行四邊形．∴，∴側(cè)面．又平面，∴截面?zhèn)让妫?）∵，則，，所以的面積為．又因?yàn)锳到平面的距離為，的面積為．設(shè)到平面的距離為d，∵，∴，∴．即，B1到平面的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直及線面垂直的判定定理及三棱錐體積的計(jì)算，屬于中檔題，注意靈活運(yùn)用三棱錐的性質(zhì)及面面垂直的判定定理解題.22.

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為24