考點(diǎn)26-等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件

26等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列①__________________________________________________________，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的②______，通常用字母③____表示．2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)an＝④____________；a1＋(n－1)d從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得d公差的差都等于同一個(gè)常數(shù)3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋⑦_(dá)________(n，m∈N*)．(2)若{an}是等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則⑧_____________；k＋l＝2m?⑨___________(k，l，m∈N*)．(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}(p，q∈N*)也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為⑩_______的等差數(shù)列．(n－m)dak＋al＝am＋anak＋al＝2ammd4．與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)(2)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．(3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)考向1等差數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算

等差數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算是高考中的常考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的第一問中，分值大約為5分，屬容易題．例1(1)(2014·課標(biāo)Ⅱ文，5)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝ (

)【答案】

(1)A

(2)201．等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法變式訓(xùn)練1．(2018·遼寧大連二十四中月考，6)在等差數(shù)列{an}中，a1＋4a8＋a15＝120，則a10－2a9的值為 (

) A．－22 B．－20C．20 D．22 【解析】因?yàn)閍1＋a15＝2a8，且a1＋4a8＋a15＝120，所以6a8＝120，所以a8＝20，所以a10－2a9＝a10－(a8＋a10)＝－a8＝－20.B27考向2等差數(shù)列的判定與證明

等差數(shù)列的判定與證明是高考中常見題型，其基本方法是利用等差數(shù)列定義，即證明an＋1－an＝常數(shù)(與n無關(guān))，題型既有小題又有大題，但多以解答題的第一問為主，難度不大．例2(2014·課標(biāo)Ⅰ，17，12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．(1)證明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．【解析】

(1)證明：由題設(shè)，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

等差數(shù)列的判定方法(1)證明一個(gè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的基本方法有兩種：①利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an＋1－an＝d(n∈N*)；②利用等差中項(xiàng)證明，即證明an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．(2)解選擇題、填空題時(shí)，也可用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式直接判斷：①通項(xiàng)法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列．②前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以化為Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}是等差數(shù)列．(3)若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需說明某連續(xù)3項(xiàng)(如前三項(xiàng))不是等差數(shù)列即可．變式訓(xùn)練

(2018·山東濟(jì)南一中月考，17，12分)在數(shù)列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)證明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，考向3等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題

公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和的最值在高考中常出現(xiàn)，題型既有小題又有大題，難度不大．復(fù)習(xí)時(shí)，弄清等差數(shù)列前n項(xiàng)和存在最值的條件，從等差數(shù)列前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系及數(shù)列單調(diào)性兩個(gè)方面把握．例3(1)(2014·北京，12)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．(2)(2014·江西文，13)在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．【解析】

(1)∵a7＋a8＋a9>0，a7＋a9＝2a8，∴3a8>0，即a8>0.又∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0，∴