隨機過程的發(fā)展

隨機過程的發(fā)展隨時間推進的隨機現(xiàn)象的數(shù)學抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受許多隨機因素的影響，它本身具有隨機性，因此兇『=1,2,...｝便是一個隨機過程。類似地，森林中某種動物的頭數(shù)，液體中受分子碰撞而作布朗運動的粒子位置，百貨公司每天的顧客數(shù)，等等，都隨時間變化而形成隨機過程。嚴格說來，現(xiàn)實中大多數(shù)過程都具有程度不同的隨機性。氣體分子運動時，由于相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度,其運動的過程是隨機的。人們希望知道，運動的軌道有什么性質（是否連續(xù)、可微等等）？分子從一點出發(fā)能達到某區(qū)域的概率有多大？如果有兩類分子同時運動，由于擴散而互相滲透，那么擴散是如何進行的,要經(jīng)過多久其混合才會變得均勻？又如，在一定時間內(nèi)，放射性物質中有多少原子會分裂或轉化？電話交換臺將收到多少次呼喚？機器會出現(xiàn)多少次故障？物價如何波動？這些實際問題的數(shù)學抽象為隨機過程論提供了研究的課題。一些特殊的隨機過程早已引起注意，例如1907年前后，A.A.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）；又如1923年N.維納給出了布朗運動的數(shù)學定義（后人也稱數(shù)學上的布朗運動為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始于30年代。1931年，A.H.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》；三年后，A.只.辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程奠定了理論基礎。稍后，P.萊維出版了關于布朗運動與可加過程的兩本書，其中蘊含著豐富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。1951年伊藤清建立了關于布朗運動的隨機微分方程的理論（見隨機積分），為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路；近年來由于鞅論的進展，人們討論了關于半鞅的隨機微分方程；而流形上的隨機微分方程的理論，正方興未艾。60年代，法國學派基于馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發(fā)展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩(wěn)過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。研究隨機過程的方法是多樣的，主要可分為兩大類：一是概率方法，其中用到軌道性質、停時、隨機微分方程等；另一是分析方法，工具是測度論、微分方程、半群理論、函數(shù)論、希爾伯特空間等。但許多重要結果往往是由兩者并用而取得的。此外，組合方法、代數(shù)方法在某些特殊隨機過程的研究中也起一定的作用。研究的主要課題有：多指標隨機過程、流形上的隨機過程與隨機微分方程以及它們與微分幾何的關系、無窮質點馬爾可夫過程、概率與位勢、各種特殊過程的專題討論等。隨機過程論的強大生命力來源于理論本身的內(nèi)部，來源于其他數(shù)學分支如位勢論、微分方程、力學、復變函數(shù)論等與隨機過程論的相互滲透和彼此促進，而更重要的是來源于生產(chǎn)活動、科學研究和工程技術中的大量實際問題所提出的要求。目前隨機過程論已得到廣泛的應用，特別是對統(tǒng)計物理、放射性問題、原子反應、天體物理、化學反應、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊論、信息論、可靠性、經(jīng)濟數(shù)學以及自動控制、無線電技術等的作用更為顯著。隨機過程的定義設（Q,F,p）為概率空間（見概率），T為指標t的集合（通常視t為時間），如果對每個tET,有定義在Q上的實隨機變量x(t)與之對應，就稱隨機變量族x=｛x(t),tET｝為一隨機過程(簡稱過程)。研究得最多的是T為實數(shù)集R=(-8,呵的子集的情形；如果T為整數(shù)n的集，也稱｛xn｝為隨機序列。如果T是d維歐幾里得空間Rd(d為大于1的正整數(shù))的子集，則稱x為多指標隨機過程。過程x實際上是兩個變元(t,3)(tET,3①)的函數(shù)，當t固定時，它是一個隨機變量；當3固定時，它是t的函數(shù)，稱此函數(shù)為隨機過程(對應于3)的軌道或樣本函數(shù)。如不限于實值情況，可將隨機變量與隨機過程的概念作如下一般化:設(EQ為可測空間(即E為任意非空集,￡為E的某些子集組成的。域)，稱X=(X(3),3EQ)為取值于E的隨機元，如果對任一B巨,｛3：x(3)EB｝EF。特別,如果為Rd中全體波萊爾集所成的。域(稱波萊爾域)，則取值于Rd中的隨機元即d維隨機向量。如果其中RT為全體實值函數(shù)了=(六t),tET)的集,而為包含一切RT中有限維柱集的最小。域，則取值于E的隨機元x即為上述的(實值)隨機過程。如對每個tET，有取值于E的隨機元x(t)與之對應，則稱｛x(t),tET｝為取值于E的隨機過程。以下如無特別聲明，只討論取值于(R1,B1)的隨機過程。有窮維分布族一維分布函數(shù)描述了隨機變量取值的概率規(guī)律(見概率分布)，對隨機過程x=｛x(t),tET｝起類似作用的是它的全體有窮維分布函數(shù)：對任意n個tjET,i=1,2,.”n,考慮的聯(lián)合分布函數(shù)，，全體聯(lián)合分布稱為x的有窮維分布族,它顯然滿足下列相容性條件①對(1,2,...，n)的任一排列(入1,入2,...，入n)，②若m<n，則。反之有著名的柯爾莫哥洛夫定理：設已給T及一族分布函數(shù)如果它滿足①②則必存在概率空間(Q,F,p)及定義于其上的隨機過程x，而且x的有窮維分布族重合于F。從測度論的觀點看，每一隨機過程x=｛x(t),tET｝在(RT,BT)上產(chǎn)生一概率測度PX，稱為x的分布，它在上述柱集上的值就是正態(tài)過程有窮維分布都是正態(tài)分布的隨機過程,又稱高斯過程。就象一維正態(tài)分布被它的均值(見數(shù)學期望)和方差所確定一樣，正態(tài)過程｛x(t),tET｝被它的均值函數(shù)m(t)=Ex(t)和協(xié)方差函數(shù)A(s,t)=Ex(s)x(t)-m(s)m(t)所確定，其中A(s，t)是對稱非負定函數(shù)，即A(s，t)=A(t,s)，而且對任意的tjET及實數(shù)aj，1<i<n，有反之，對任給的有限實值函數(shù)m(t)和對稱非負定函數(shù)A(s,t)，由柯爾莫哥洛夫定理可證，存在一個正態(tài)過程，以m(t)為其均值函數(shù)，以A(s,t)為其協(xié)方差函數(shù)。根據(jù)中心極限定理，許多實際問題中出現(xiàn)的隨機過程可近似地視為正態(tài)過程。此外，正態(tài)過程有一系列的好性質，如它的最佳線性估計重合于條件期望,這一點在應用上是很方便的，既準確又便于計算。因此正態(tài)過程在實際中有廣泛的應用，在無線電通訊及自動控制中尤為重要。為方便計，設m(t)啪0。任取tj,teT,用L(x(t1),x(t2),...,x(tn))表示由x(t1),x(t2),.”x(tn)的線性組合所構成的希爾伯特空間，x(t)在此空間上的投影記作稱為x(t)關于x(t1),x(t2),...，x(tn)的最佳線性估計,即線性最小均方誤差估計;條件期望E(x(t)|x(t1),x(t2),...，x(tn))則是非線性的最小均方誤差估計。對正態(tài)過程來講，這兩種估計以概率1相等?？煞中栽OF是p-完備的，即F包含任何概率為零的集的一切子集。在隨機過程的研究中,Q的某些重要的子集并不能由事件(即F中的元素)經(jīng)可列次集運算而得到。例如對一切若T不可列，則作為不可列多個事件的交,A未必是一個事件，也就談不上它的概率。為了解決這類問題，杜布引進了隨機過程可分性的概念。稱過程x關于T的某一可列稠集Q可分(或簡稱可分)，是指除了一個概率為零的集N外,x在每一teT處的值，可以用限于Q的x在t附近的值來任意逼近；即任給不屬于N的3,存在｛rj｝eQ，使得rj^t,且x(rj,3)一x(t,3)。所謂Q為T的稠集，是指T的每一點必是Q中某個點列的極限。如果x關于Q可分，則可以證明上述的A是一個事件，而且有p(A)=p((w:|x(r,w)|<a,對一切reQ｝)。如果過程x關于T的任一可列稠集都可分，則稱x完全可分。設x=｛x(t)，teT｝與Y=｛Y(t),teT｝為定義在概率空間(Q，F(xiàn)，p),上的兩個隨機過程，如果對任何teT,p(x(t)=Y(t))=1,則稱x與Y等價(x與Y互為修正);這時，x和Y有相同的有窮維分布族。雖然任給的過程x未必可分，但杜布證明了下列重要結果：對任一過程x,必存在與它等價的可分過程Y。因此在討論僅與有窮維分布有關的性質時，可取一可分過程Y來代替x。過程x稱為隨機連續(xù)，如果對任一t0eT，在依概率收斂的意義下(見概率論中的收斂)有，對隨機連續(xù)的過程x，必存在一個完全可分過程Y與之等價?？蓽y性為了研究樣本函數(shù)對t的積分等問題，需要x(t,3)關于兩個變量(t,3)的可測性。設T是R中某區(qū)間，B(T)是T中全體波萊爾集所成的。域,B(T)xF表示乘積。域,p=LxP表示勒貝格測度L(見測度論)與p的乘積測度，表示B(T)xF關于p的完備化。域。稱隨機過程x為可測的，如果對任一實數(shù)a，有：稱隨機過程x為波萊爾可測的，如果對任一實數(shù)a，有。如果過程x隨機連續(xù)，則必存在與x等價的、可測而且完全可分的過程Y。有時還需要更強的可測性。設給了F的一族子。域｛，teT｝，其中T=R+=【0，-)，滿足：①單調(diào)性，對s<t，嶅；仞右連續(xù)性，③完備性，F(xiàn)0包含F(xiàn)的一切概率為零的集。稱x為｛｝-適應的，如果對任一t，xt為可測；稱xt為｛卜循序可測的，如果對任一teT及實數(shù)a，有｛(s,3)：x(s,3)<a,s<t)(【0,t】)x0循序可測過程一定是適應的而且是波萊爾可測的，但逆之不然，除非樣本函數(shù)性質較好。例如所有樣本函數(shù)都右連續(xù)的適應過程一定是循序可測。使一切樣本函數(shù)右連續(xù)的適應過程都可測的TxQ上的最小。域，稱為可選Z域，關于可選z域可測的過程稱為可選過程?？梢?，可選可測性是比循序可測性更強的一種可測性。進一步,使一切樣本函數(shù)連續(xù)的適應過程都可測的TxQ上的最小。域，稱為可料Z域，關于可料z域可測的過程稱為可料過程。這又是一種比可選可測性更強的可測性?？梢宰C明，樣本函數(shù)左連續(xù)的適應過程都是可料過程。軌道性質當人們觀察物體作隨機運動時，最感興趣的問題之一是它的軌道性狀，因此隨機過程論中一個重要問題是研究軌道性質，例如探討在什么條件下，過程的軌道x(t,3),a<t<b,以概率1有界，或無第二類斷點，或是階梯函數(shù)，或是連續(xù)函數(shù)，等等。函數(shù)了(t)在【a,b】上無第二類斷點是指：對每一個t0e(a,b)，存在左、右極限及而在a、b)處，則存在單側極限。設過程｛x(t),圮【a,b】｝可分，而且存在常數(shù)a>0,￡>0,c>0，使得對任意的te[a,b],t+Ate【a,b】，有,則過程的軌道以概率1在【a,b】上一致連續(xù)。設可分過程｛x(t),te【a,b】｝隨機連續(xù)，而且存在常數(shù)p>0,q>0,r>0,c>0,使得對任意的。勺1勺2勺3企，有則過程的軌道以概率1無第二類斷點。正態(tài)過程的軌道性質有更好的結果對均值函數(shù)m(t)啪0的可分正態(tài)過程｛x(t),te【a,b】｝,只要存在c>0,a>0,使得x的軌道就以概率1連續(xù)。停時這一概念的引進是隨機過程論發(fā)展史中的一件大事，它帶來了許多新的研究課題，而且擴大了理論的應用范圍。早在1945年，J.L.杜布關于馬爾可夫鏈的文章中已經(jīng)有了停時的思想。60年代杜布、E.5.登金(又譯鄧肯)、R.M.布盧門塔爾等應用停時于鞅及強馬爾可夫過程的研究；70年代，由于法國概率論學派的工作而使停時的理論更加完善。直觀上，停時是描述某種隨機現(xiàn)象發(fā)生的時刻，它是普通時間變量t的隨機化。例如，燈泡的壽命、一場球賽持續(xù)的時間都可看成是停時。又如，作隨機運動的粒子首次到達某集A的時刻T,T(3)=inf｛t>0,x(t,3)eA｝,且約定inf==8，當x的軌道連續(xù)而且A是一個閉集時，t就是一個停時，它是一個隨機變量，而且對任何t>0,｛T<t｝so｛x(u),u<t｝o一般地，設在可測空間(Q,F)中已給F的一族單調(diào)、右連續(xù)、完備的子。域族｛,teR+｝,稱定義在Q上的非負可測函數(shù)t=t(w)(可取+8為值)為停時，如果對任意t>0,總有｛T<t｝e。這一定義的直觀背景是：把理解為到t為止的全部信息，一個可觀測的隨機現(xiàn)象發(fā)生的時刻T是否不遲于t這一信息應包含在之中。類似于，對停時t可以定義。域，其中為包含一切的最小。域。Ft可理解為過程到t為止的全部信息。停時有許多好的性質，例如，若t1、t2是停時，則t1Vt2、t1At2也是停時，其中,;還有，這里表示包含、的最小。域；進一步，若｛Tn｝是一列停時，則也是停時。更細致地研究停時，需要對其進行分類，重要的類型有可料時、絕不可及時等。二階過程均值和方差都有限的實值或復值隨機過程稱為二階過程。二階過程理論的重要結果之一是它的積分表示。設F是可測空間(人A)上的有限測度，如果對每一AeA,有一復值隨機變量Z(A)與它對應,且滿足：?|Z(A)|2<8②則稱Z=｛Z(A),AeA｝為(A,A)上的正交隨機測度。定義在八上、關于A可測而且關于F平方可積的函數(shù)全體記為L2(AA,F)。給了一個正交隨機測度乙一族函數(shù),，就可以產(chǎn)生一個二階過程，滿足(1)它的二階矩為。(2)反之，對給定的二階過程，只要它的二階矩有積分表示(2),就一定存在一個正交隨機測度乙使過程本身有積分表示(1)。(1)和(2)分別稱為過程x和它的二階矩的譜表示。對均方連續(xù)的實二階過程｛x(t),t￡【a,b)】｝,則有級數(shù)展開