第4章-性能分析方法-時域分析課件

第4章分析自動控制系統(tǒng)性能常用的方法4.1時域分析法通常是用控制系統(tǒng)的響應來分析系統(tǒng)的性能?？刂葡到y(tǒng)的響應是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)和輸入信號的形式所決定的。1)對初始狀態(tài)可以作統(tǒng)一的規(guī)定，如規(guī)定為零初始狀態(tài)。2）如再將輸入信號規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式，3)則系統(tǒng)的響應將由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、

參數(shù)來確定，

因而更便于對各種系統(tǒng)進行比較和研究。

時域分析法是三大分析方法之一，在時域中研究問題，重點討論過渡過程的響應形式。時域分析法的特點：1).直觀、精確。2).比較煩瑣。

1、典型輸入信號

用于時域分析的典型輸入信號有階躍函數(shù)、

斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等。(1)單位階躍函數(shù)1(t)

(2)單位斜坡函數(shù)t·1(t)（等速度函數(shù)）

(3)單位拋物線函數(shù)（加速度函數(shù)）

(5)正弦函數(shù)sinωt(4)單位脈沖函數(shù)tr(t)實際應用究竟采用哪一種典型信號輸入，取決于系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)，同時，在所有可能的輸入信號中，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號例如：

階躍函數(shù)-----室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)以及工作狀態(tài)突然改變或突然受恒定輸入的控制系統(tǒng)；斜坡函數(shù)-----跟蹤通信衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)以及輸入信號隨時間逐漸變化的系統(tǒng)；加速度函數(shù)----宇宙飛船控制系統(tǒng)；脈沖函數(shù)---輸入信號為沖擊輸入量；正弦函數(shù)----系統(tǒng)的輸入作用具有周期性變化。如果輸入信號是變化無常的隨機信號，如定位雷達天線控制系統(tǒng)，則要用隨機過程理論分析在典型輸入信號作用下，

任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都可看成由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。

（1）、動態(tài)過程動態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，

輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。

（2）、穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時，輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應，表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，

提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。穩(wěn)態(tài)過程用穩(wěn)態(tài)性能描述。

2、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程3、性能指標（動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能）穩(wěn)：(基本要求)系統(tǒng)受脈沖擾動后能回到原來的平衡位置準：(穩(wěn)態(tài)要求)穩(wěn)態(tài)輸出與理想輸出間的誤差(穩(wěn)態(tài)誤差)要小快：(動態(tài)要求)

過渡過程要平穩(wěn)，迅速穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當動態(tài)過程收斂時，

研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。

（1）動態(tài)性能通常，在階躍函數(shù)作用下測定或計算控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認為，階躍輸入對控制系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作狀態(tài)。

如果控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么控制系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也是令人滿意的。

描述穩(wěn)定的控制系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化情況的指標，稱為動態(tài)性能指標。

2）峰值時間tp：指響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間。1）上升時間tr：指響應從終值10％上升到終值90％所需的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，為了計算的方便，亦可定義為響應從零第一次上升到終值所需的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度的一種度量。上升時間越短，響應速度越快。3）調(diào)節(jié)時間ts：

指響應到達并保持在終值±5%或±2%內(nèi)所需的最短時間。反映系統(tǒng)的快速性

4）超調(diào)量σ%：

指響應的最大峰值c(tp)與終值c(∞)的差與終值c(∞)比的百分數(shù)，即若c(tp)<c(∞)，則響應無超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。

超調(diào)量反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性（2）穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。

若時間趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。

穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。

4.1.1一階系統(tǒng)的時域分析開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù):

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)。

1、一階系統(tǒng)的單位階躍響應1)一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩；2)經(jīng)過時間T，曲線上升到0.632的高度，反過來，用實驗的方法測出響應曲線達到0.632高度點所用的時間，即是慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；T越小，響應越快。

3)經(jīng)過時間3T～4T，響應曲線已達穩(wěn)態(tài)值的95%～98％，可以認為其調(diào)整時間已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時間ts=(3～4)T；4)在t=0處，響應曲線的切線斜率為1/T。

2、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

c(t)=t-T+Te-t/T

t≥0

拉氏反變換穩(wěn)態(tài)誤差為：e(t)=r(t)-c(t)=t-［t-T+T］=T(1-e-t/T)

當時間t→∞時，e(∞)=T,故當輸入為單位斜坡函數(shù)時，一階慣性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。顯然，時間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差越小。

r(t)=t

3、當輸入為加速度函數(shù)：說明一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤。例1：下圖單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求：1）閉環(huán)傳遞函數(shù)；2）系統(tǒng)的單位階躍響應和穩(wěn)態(tài)值。單位階躍響應：閉環(huán)傳遞函數(shù)：穩(wěn)態(tài)值：例2:已知某單位負反饋系統(tǒng)的單位階躍響應為求(1).單位脈沖響應k(t);(2).閉環(huán)傳遞函數(shù)；(3).開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)。解：4.1.2二階系統(tǒng)的時域分析

用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)，從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間交換，從而引起系統(tǒng)具有往復的振蕩趨勢。當阻尼不夠充分大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，這樣的二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)

1、二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)若令

(稱為系統(tǒng)特征方程),則兩個特征根（也稱極點）為當ζ取值不同時，兩個特征根的類型也不一樣。

2、分類1）零阻尼

反拉氏變換故c(t)為等幅自由振蕩(又稱為無阻尼振蕩)。其振蕩頻率為ωn，ωn稱為無阻尼自然振蕩頻率。其響應曲線如圖所示，系統(tǒng)為無阻尼等幅振蕩。該種情況實際系統(tǒng)不能用。

ξ=0：當時，稱為欠阻尼。此時，由式中：

稱為阻尼振蕩頻率

2)欠阻尼該二階系統(tǒng)的極點一定是一對共扼復根，其傳遞函數(shù)可表示為：當r(t)=1(t)時，有：對上式進行拉氏反變換，得

當0<ζ<1時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是以ωd為角頻率的衰減振蕩過程，其響應曲線如圖所示，由圖可見，隨著ζ的減小，其振蕩幅度值加大。實際工程中的控制系統(tǒng)，大多數(shù)都是衰減振蕩過程。

二階振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應曲線1當ζ=1時，稱為臨界阻尼。此時，二階系統(tǒng)的極點是兩個重根，其傳遞函數(shù)可表示為當r(t)=1(t)時，有3)臨界阻尼則有對上式進行拉氏反變換，得

其響應曲線如圖所示，由圖可見，系統(tǒng)沒有超調(diào)。臨界阻尼情況工程上不常用。

臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線當ζ>1時，稱為過阻尼。此時，二階系統(tǒng)的極點是兩個負實根，其傳遞函數(shù)可表示為當r(t)=1(t)時，有4)過阻尼則對上式進行拉氏反變換，得過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應，隨著阻尼比ζ的不同，表現(xiàn)出不同的動態(tài)響應過程，從圖中不難發(fā)現(xiàn)，二階振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應曲線c(t)的振蕩過程劇烈程度隨阻尼比ζ值的變化而變化，ζ值越小，振蕩越強烈。對于欠阻尼系統(tǒng)，為了提高系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，可以

增加系統(tǒng)的阻尼比1）當ζ=0時，響應c(t)為等幅振蕩過程；2）當0<ζ<1時，響應c(t)為衰減振蕩過程，它是過程控制中常常采用的形式；3）當ζ≥1時，響應c(t)為單調(diào)（非振蕩）上升過程，當對被控變量要求超調(diào)量為零時，采用此過渡過程形式,其中,ζ=1時是臨界振蕩過程。

二階系統(tǒng)階躍響應曲線:在欠阻尼的狀態(tài)下,當0.4＜ζ＜0.8時,過渡過程時間比臨界阻尼時更短,而且振蕩也不嚴重。因此在控制工程中,除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外,通常都希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼狀態(tài)。二階系統(tǒng)當阻尼ζ>1時，其極點為兩個負實數(shù)，利用部分分式展開，可將傳遞函數(shù)分解成兩個一階慣性環(huán)節(jié)的疊加。因此，研究二階系統(tǒng)最重要的是研究0<ζ<1，即欠阻尼的情況，該種情況也是實際控制系統(tǒng)中最常用的。3、指標計算:

1）峰值時間由

得：

由于下面推導欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)各項性能指標的計算公式。該式表明峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半，或者說峰值時間與閉環(huán)極點的虛部數(shù)值成反比，當阻尼比一定時，閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠，系統(tǒng)的峰值時間越短2）超調(diào)量

表：不同阻尼比時的最大超調(diào)量由上升時間tr的定義知，對于有振蕩的系統(tǒng)，tr為c(t)響應從零第一次上升到終值所需的時間。將c(tr)=1代入上式得3)求上升時間tr因為

所以4)求調(diào)節(jié)時間ts則曲線為其包絡(luò)線，如圖所示。二階系統(tǒng)單位階躍響應包絡(luò)線按進入5%誤差帶計算，有

則當ζ較小時，有經(jīng)過調(diào)節(jié)時間ts后，欠阻尼的二階系統(tǒng)進入±5%的誤差范圍。同理可得，欲使欠阻尼的二階系統(tǒng)進入±2%的誤差范圍，則變化時動態(tài)性能的變化規(guī)律：

【例3】

某二階系統(tǒng)如圖所示,其中系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ=0.6,ωn=5rad/s。輸入信號為階躍函數(shù),求性能指標tr、tp、ts、σp的數(shù)值。

解根據(jù)給定的參數(shù)可以得出所以4.4穩(wěn)定性分析1、系統(tǒng)的穩(wěn)定性(Stability)：

是指自動控制系統(tǒng)在受到擾動作用使平衡狀態(tài)破壞后，經(jīng)過調(diào)節(jié)，能重新達到平衡狀態(tài)的性能。穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)2、不穩(wěn)定的物理原因

系統(tǒng)存在慣性或延遲環(huán)節(jié)

閉環(huán)極點全部落在復平面虛軸左邊。即系統(tǒng)特征方程的所有根的實部必須是負數(shù)。3、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件特征方程：例4：分析穩(wěn)定性Matlab程序1：Gp=tf([1],[120]);G=feedback(Gp,1);eig(G)或Matlab程序1：den=[121];roots(den)Matla