新課程學案必修第一冊文件第一章

第一章[即時 ③接近5解析：①能構成集合，其中的元素需滿足三條邊相等；②③不能構成集合，因為“難題”“接近5的所有實數(shù)”你能列舉出幾個用集合表達的與數(shù)學有關的例子嗎？并例子中集合的元素是什AaAaAa∈Aa不AaAa?A.a與{a}的區(qū)別，{a}表示的是一個集合，a是集合{a}中的一個1，|x|}與{x，x2}相等，由兩集合含有相同的元素，可得{x，x2}一定含有－1這個元素，因為x2≥0x＝－1，進而求得這個集合．[即時若a2－3與1是同一個集合中的兩個元素，則a的取值范圍 A31,2，a2，B32,1,9A，B NZQR自然語言法：10的所有的自然數(shù)組成的

D＝{x∈R|x<10}D＝{x|x<10}； 解析：滿足－1<x<40,1,2,3，7 Q， R，2＋ 7答案：∈ ∈

－1，0.5組成的集合有5個元 100的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排

0.5組成的集合只有3個元素 100的自然數(shù)無論按什么順序排列，構成的集合都是同一個集合．Dx2＋1＝2x有兩個相等的實數(shù)根，x1＝x2＝1D正確． B20解析：BCD由于“高科技”A不能組成一個集合．Bx，可以明確地判斷它是不是“20的非負數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x<0x>20”，兩者必居其一，且僅居其一，故“20的非負數(shù)”能組成一個集合．Cxx2－16＝0在實數(shù)范方程

2－典例]Axx＝m＋2nmn2－(1)試分別判斷x1＝－2，x2＝ ，x3＝(1－22)2與集合A的關系 (1)x1＝－2＝0＋(－1)×2，因為0，－1∈Z，所以x1∈A；x 2＋ x 2 22－

22x3＝(1－22)2＝9－42＝9＋(－4)×2，9，－4∈Zx3∈A.(2)證明：x1，x2∈Ax1＝m1＋x2＝m2＋2n2m1，n1，m2，n2∈Z，x1·x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)＝m1m2＋＝(m1m2＋2n1n2)＋x1·x2∈A.1．已知集合A＝{x|x≤23，且x∈R}，a＝14，b＝22，則( A．a(chǎn)∈A且b?A B．a(chǎn)?A且b∈AC．a(chǎn)∈A且 D．a(chǎn)?A且 ∵集合A＝{x|x≤23，且x∈R}，a＝14，b＝22，∴由14>23，可a?A22<23

＝3＝4

＝3＝4 4＝4?k＝3，k

4k＝4?k＝16，k4

3?k＝12，k

[解 (1)解方程組

故解集可用描述法表示為 ，也可用列舉法表示為 y＝x2＋2x－10y，y＝x2＋2x－10的圖象上所有的點組成的集合中，代表元素為(x，y)，

17082,3,5,7，B＝{2,3,5,7}，有限集．

3 y＝－2x2＋xE＝{(x，y)|y＝－2x2＋x}，無限 －1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}9A. 1種有序數(shù)組．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，則a＝( B．－3或 ∵集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且∴a2＋4a＝－3a－2＝－3，a＝－1a＝－3.a＝－1時，a2＋4a＝a－2＝－3，不滿足集合中元素的互異性，舍去；a＝－3時，A＝{12，－3，－5}，符合題意． 強化探 a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋anAn元“創(chuàng)新集”． 解：(1)－1或3.(答案不唯一 a1＋a2＝a1·a2＝m，x2－mx＋m＝0的兩個實數(shù)根，Δ＞0m＜0m＞4.a1·a2＜0a1·a2＞4.[“四翼”檢價 2,3,4,3,6,26O1

異性，構成的集合為{2,3,4,6}4個元素，故(4)錯誤；在(5)中，“O的距離等1的點的全體”的對象是確定的，故(5)正確． 2∈QD正確．

∴列舉法表示為{－1，2}D正確． BB、

A．2 解析：選ACD 2020＝4×505＋0，所以2020∈A0，故A正確；若a＋b∈A3，則a∈A1，b∈A2，或a∈A2，b∈A1或a∈A0，b∈A3或a∈A3，b∈A0，故B不正確；－1＝4×(－(n－m)∈Z，故a－b∈A0，故D正確． 已知集合A＝{－1,0,1}，則集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是 解析：集合B＝{x＋y|x∈A，y∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，則集合B中元素的個數(shù)是5. B＝{1，－2,0}A＝Ba＝1.A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}A，B9，a的值．∴2a－1＝9a2＝9時，a＝±3a＝3，B＝{9，－2，－2}B不滿足元素的互異性．a(chǎn)＝－3，A＝{－4，－7,9}，a的值為－3.16

a＝－4，∵16∈N8－x1,2,4,8,16，∴x∵x∈N，∴x∴162,4,8,16，

x＝0時，y＝5x＝1時，y＝3；x＝2時，y＝1， 解析：選B 因為A＝B，所以－1＝a或－1＝b，a＝－1時，b＝a2＝1，此時(ab)2021＝(－1)2021＝－1；b＝－1a2＝aa≠0，若a，b∈R，且 |b|的可能取值所組成的集合中元素的個數(shù)a

ab

ab＝ab

ab ＝{2x,0，x2＋x}，且A是對稱集合，集合B＝{1,2,3,6}，則A中的元素與B中的元素組成的 x＝－3時A＝{－6,0,6}AB中的元素組成的集合為 解析：當a＝0時，方4x＋4＝0，解得x＝－1，此時P＝{－1}，滿足題意答案：0

.2a的取值范圍是a|2≤a<.2 則＋a a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.a∈A，b∈Bm∈Ma＋b＝m.ABA?B(A?Bx∈BAABAB(BABB的任何一個元素都是集AAB相等A，B，CA?BB?CABAB中的元素，即x∈Ax∈B.例如，{0,1}?{－1,0,1}0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．集合A)，記作 B＝{1,2,4}，集合A中的元素0不屬于集合B，說明集合A不是集合B的子集，即集合A不含于集合B.＝BABAB理解真子集的概念時，需明確：ABA?B，只要滿足至少有一個元素3?A,4?AAAB.[即時1．用“? 已知集合M＝{x|x是菱形}N＝{x|x是正方形}則集合M與集合N的關系 解析：N答案：N 記作A≠?，則?0，{0}，?與{?}??與?與?是集合；0數(shù)??不含任何元素；{?}一個元素，該元素是??{?}或AB的子集． 空集．對于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在實數(shù)范圍內(nèi)無解，故集合(5)是空集．選擇適當?shù)姆?“∈”“?”“”“”“＝”) 答案：(1)＝

B＝{x|x<5}A，BAM＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}N

A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}Bn

＝0n 2．(多選)已知集合A＝{1,2,3}，Y＝{x|x?A}，則下列結論正確的是 {1}?YC.?Y

{1}∈Y，故A錯誤，B、C、D正確 集合M＝α|α＝2，k∈Z，N＝α|α＝2，k∈Z，因為k∈Z表示所有 整數(shù)，2k±1M?N. 1234A滿足{1,2}?A?{1,2,3,4,5}A 1212433874AnA2n 所有非空子集的元中出現(xiàn)4次．故所求和為(1＋3＋5)×4＝36.2．已知集合A＝{(xy)|xy＝2xyN，試寫出A的所有子集及真子∴A的子集有A的真子集有

已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求實數(shù)m[解 (1)當B≠?時，如圖所示

綜上可得，m的取值范圍是{m|m≤3}．m的取值范圍 (2)當B≠?

若本例條件“BA”改為“A?Bm解：A?B

∴mm

若A?B，則實數(shù)a的值為( B．0或C．0或 D．0或1或 a≠0時，A＝{0，a}A?B，∴a＝1a＝2，綜上所述，a＝0,12.已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1≤x≤a}．若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是( 1．(2013·卷Ⅰ改編)已知集合A＝{x|x>5或x<4}，B＝{x|－5<x<5}，則( C．A D．B 用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示．由圖知，BA.故選 解析：選D 當a＝1，b＝2時，x＝6；當a＝1，b＝3時，x＝12；a＝0，b＝2時，x＝4；a＝0，b＝3時，x＝9.M＝{4,6,9,12}．2．設集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，－b2}．若A?B，則a－b＝( C．－2或

A?B，則有

強化探3．(多選)設S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．則下列說法中正確的是( AS＝{a＋b3|a，b為整數(shù)}BS0∈SDSS?T?RT A對，任取x，y∈S，不妨設x＝a1＋b13，y＝a2＋b2∈Z)x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)3a1＋a2，b1＋b2x＋y∈S，同理可x－y∈S，xy∈S；Bx＝y(tǒng)時，0∈S；CS＝{0}時，S是封閉集，但不是無限集；DS＝{0}?T＝{0,1}S是封閉集，T不是封閉集．因此，說法正確的是(1){a1，a3}是E的第 (2)E的第211個子集 故{a1，a3}E5個子集．

E211個子集為 [“四翼”檢價 解析：選C 示實數(shù)集，因為Z?Q，N?R，N?Q，N*?Z，所以A、B、D錯誤，C正確，故選C. A．A B．A ∵B＝x，yx＝1＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴B 解析：選B 4．(多選)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，則有( 已知集合M{4,7,8}，且M中至多有一個偶數(shù)，則這樣的集合共有 A．3 B．4C．5 D．6 {7,8}6 {1,2}，{1,3}，{2,3}7已知?{x|x2＋x＋a＝0}，則實數(shù)a的取值范圍 解析：因為?{x|x2＋x＋a＝0}x2＋x＋a＝0Δ＝1－4a≥01 答案：a| 若集合A＝{x∈N|x2<24}，B＝{a}，B?A，則a的最大值 4.G＝{x|x是對角線相等且互相平分的四邊形}，H＝{x|x是有一個內(nèi)角為直角的平行四(2)不難看出，CD1和－1C＝D.(3)EF，如圖所示：F(4)x∈Gxxx是x∈HG?H.解：A＝{4}A?B4∈B，16－8(a＋1)＋a2－1＝0，a＝1a＝7.1．設A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A?B，則m的取值范圍是( 解析：選B 因為A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A?B，將集合A，B表示在數(shù)軸上，如圖所示，所以m≥3.已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，則A與B之間最適合的關系 C．A D．A解析：選D 當k＝2m(m∈Z)時，A＝{x|x＝6m，m∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}AB. 集合A＝xx＋1∈Z，x∈Z的真子集個數(shù) 2＝－1∈Z x＝－2時，2 2＝2∈Z；當x＝1 2＝ 24－1＝15.

求的集合A的各個元和為 ∴所有滿足要求的集合A的各個元和為AC2BCA2，B2，C?{0,2,4,6,7}C?{3,4,5,7,10}，C是{4,7}的子集，C＝{4,7}或{4}或{7}．3設A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，請寫出一個滿足B?C?A的集合 (1)abA?Ba的值；若(2)A?B成立，列舉出對應的實數(shù)對(a，b)

(2)由(1)A?B

第一并集和交A＝{1,2,3}，B＝{1,2}A∪B＝{1,2,3}A∪B＝{1,1,2,2,3}，因此不能簡單A∪BAB的所有元素并在一起組成的集合． 解析：M∪NMN A∩B＝?. 并 (2)設集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，則A∪B (1)由Venn圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P.因為

已知集合A＝{1,2}B滿足AB＝{1,2,3}，則滿足條件的集合B B．3C．4 D．1解析：選C 集合B滿足A∪B＝{1,2,3}，若集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝( A．{x|x<－3或x>5} D．{x|x<－5解析：選D N＝{x|x<－5或x>5}，交[典例](1)已知集合A＝{x∈N|1≤x≤9}，B＝{x|0<x<5}，則 (2)設集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于( 則A∩B＝{1,2,3,4}．

解析：選D 求x＝3n－1＝6,8,10,12,14的整數(shù)解，x＝3n－1＝8,14有整數(shù)解，此時n＝3,5，所以A∩B＝{8,14}有2個元素，故選D. 解析：選C 集合S是由奇數(shù)組成的集合，集合T是由被4除余1的整數(shù)組成的集合，所以T?S，則S∩T＝T.故選C.

5k的取值范圍為kk≤2

數(shù)m的取值范圍是( 1A.mm≥3 C.{m|m≤0 1B.m0≤m<3

解析：選 由A∩B＝?，B＝? B≠?

1 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，則實數(shù)m構成的 且集合B中至多有一個元素，B只能為單元素集或?.22. .2m構成的集合為0，12 1．(2020·新高考卷Ⅱ)設集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2，3,5,8}，則A∩B＝( 2．(2020·新高考卷Ⅰ)設集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，則A∪B＝( 解析：選C 則A∪B＝{x|1≤x<4}，故選C. 則a＝( A＝{x|－2≤x≤2}， a

22學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是() 解析：選C設集合A為喜歡的學生，B為喜歡游泳的學生，如圖 解析：BAx2＋y2＝1上的點的集合，By＝x上的點的集合，y＝xx2＋y2＝1A∩B2.滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數(shù)是 A＝{x|x＝3nx為() A∩B∩CD集合論是德國數(shù)學家(G.Cantor)于19世紀末創(chuàng)立的．在他的集card(A)＝3.若對于任意兩個有限集合AB有數(shù)共有() 解析：選C 設參加田賽的學生組成集合A，則card(A)＝14，參加徑賽的學生組成集合B，則card(B)＝9，由題意得card(A∩B)＝5，所以高一(1)18.強化探－(M－P)＝( 解析：選A 由新定義知M－(M－P)表示由屬于M且屬于P的所有元素構成的集合，即集合M∩P.故選A. 3，，

MN的子集．如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小 1 5 解析：選 本題中定義的“長度”是語，根據(jù)這個定義，可知M的“長度 4AB1的線段，a是長度為34

是長度為1的線段，a，b3段AB上自由滑動，a，b部分的長度即為M∩N的“長度”，顯然，當a，b各3AB

1

部分最短，其值為4＋3＝12已知集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,3}，那么A∪B＝( 已知集合A＝{x|0≤x－1<3}，B＝{1,2,3,4,5}，則A∩B＝( 若集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|x2－x＝0}，則P∪Q＝( 5．(多選)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，集合B滿足A∩B＝A，則B可能為( 解析：選ACD 因為集合B滿足A∩B＝A，所以A?B，結合選項知，B可能為A、C、D中的集合．

a＝－1x2－x＋1＝3x＝－1x＝2A∪B＝{1,3，x}；若x2－x＋1＝x，即x＝1，與條件．x＝－1時，A∪B＝{1,3，－1}；x＝2時，A∪B＝{1,3,2}；x≠－1x≠2x≠0x≠1x≠3a＝1

(1)a＝1時，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x≤4}．(2)∵A∪B＝B，∴A?B，∴a≤－2a的取值范圍為{a|a≤－2}．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B,則實數(shù)m的值是 C．0或 D．0或1或 因為A∩B＝B，所以B?A，所以m＝0或m＝2，故選設集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是( 3A＝{x|2x－px＋q＝0}，B＝{x|6x＋(p＋2)x＋5＋q＝0}A∩B＝ 4242

2

，2A＝{x|2x＋7x－4＝0}＝－4，2 B＝{x|6x－5x＋1＝0}＝， 解：(1)A∪B＝BA?B 觀察數(shù)軸可知，a的取值范圍為a3≤a≤2BABA的右邊，如圖．

a的取值范圍為a0＜a≤3或a≥4B同時滿足下列三個條件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)(A∩B)a的值；若解：aA，B滿足條件，B＝{2,3}．A＝BAB.A≠B，∴AA＝{2}或{3}．A＝{2}x＝2Aa＝－3當a＝－3時，A＝{2，－5}，與A＝{2}，舍去；當a＝5時，A＝{2,3}，與A＝{2}，舍去．A＝{3}x＝3Aa2－3a－10＝0，a＝－2a＝5.當a＝－2時，A＝{3，－5}，與A＝{3}，舍去；當a＝5時，A＝{2,3}，與A＝{3}，舍去．

式為零，即[2(m＋1)]2－4(m2－3)＝0?m＝－21，所以舍去；B＝3,1}3,1是方程x22(m1)xm23＝0的兩個根，于是有

?m＝0m的取值范圍是{m|m≤－2第二補AU的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的．①AU已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，則A等于( 設U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，則?UA等于( A．{x|x≤－1或x>0}{x|x<－1{x|x≤－1解析：選A 所以?UA＝{x|x≤－1或x>0}． 解析：選 因為集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，則

(1)設集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，則?UM等于( {x|x<－2{x|x≤－2(2)U＝{x∈Z|－5≤x<－22<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，則 (1)如圖，在數(shù)軸上表示出集合M，

1．全集U＝{x|－1≤x<3}，集合A＝{x|－1≤x≤2}，則?UA＝( D．{x|x<－1解析：選B 因為全集U＝{x|－1≤x<3}， 定義法因為A＝{1,3,5,7}UA＝{2,4,6}UB＝{2,3,5,7}．

(1)全集U＝R，N＝{x|－2<x<0}，M＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合 A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)． N＝{x|－2<x<0}，

AB；UUA C．{x|0≤x≤1或 D．{x|0≤x≤1或 設全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2，4}，B＝

已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或 因為A＝{x|x≤－2或x≥3}，m≥6，滿足(?UA)∩B＝B.當B≠?時，可得m的取值范圍是

則實數(shù)m的取值范圍為 數(shù)m的取值范圍為 解析：當B＝?m的取值范圍為{m|m≤－9答案：{m|m≤－9

則實數(shù)a的取值范圍為 a的取值范圍是)) 解析：選A 選A.s算數(shù)1．(多選)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，則 B．A∩(?UB)＝{x|1≤x＜25≤x＜6}解析：選 由?UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}知選項A錯誤；由{x|1≤x≤34＜x＜6}∩{x|x＜2x≥5}＝{x|1≤x＜25≤x＜6}B正確；由∪B＝{x|x＜13＜x≤4x≥6}∪{x|2≤x＜5}＝{x|x＜12≤x＜5x≥6}知選項C錯誤；由?U(?UB)＝B＝{x|2≤x＜5}D正確．2設集合M＝{x|－1≤x＜2}N＝{x|x＋k≥0}若(?RM)?(?RN)則k的取值范圍是 解析：選B 由(?RM)?(?RN)可得M?N，解得k≥1，則k的取值范圍為{k|k≥1}．兩科均未取得優(yōu)秀的有card(U(AB＝card(U){card(A∩B＋card[AUB設全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，則?UP等于( A．{x|0≤x<1或 C．{x|x<1或 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)等于( 解析：選D 因為A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故選D. 解析：選D 如圖已知全集＝R集合＝{|＜－1或x＞}B＝{|－≤x≤3}，那么陰影部分表示的集合為( ) B．{x|x≤3 解析：選D 由題意得，陰影部分所表示的集合為(?UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－) 2 ∵M?UPM＝?，M≠?①M≠?時，如圖可得

②M＝?時，應有

≤－2或1．(多選)設A，B，I均為非空集合，且滿足A?B?I，則下列各式中正確的是( 法一：∵A，B，IA?B?IVenn圖，VennA、C、D都是正確的．法二：A，B，IA＝{1}，B＝{1,2}，I＝{1,2,3}A?B?I.?，則 A．k<0或 ∵A＝{x|x≤1或k＋1≤1k≥3k≤0k≥3，B∩(?UA)≠? 00 x2111 x0 x01由A∩B≠? 1 B＝1B＝－1

設U為全集，對集合X，Y，定義運算“*”X*Y＝U(X∩Y)．對于集合 U＝RA＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0x≥4}都是U的子集．若?U(A∪B)?Caa的取值范圍；若不①若?U(A∪B)＝?，則2222

a 3aa的取值范圍是aa≤－2ppqqppqqpp?qpq的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是p?qqpq的充分條件，qp的必要條件．[即時用符號“?”與“”填空 (2)a，b都是偶 a＋b是偶數(shù)x2>1x>1.(2)命題“a，ba＋b是偶數(shù)”a，b都是偶數(shù)?a＋b答案：(1)pqp

下列哪些命題中p是q的充分條件在△ABC (1)在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分條件x＝1?(x－1)(x－2)＝0，pq的充分條件．法一：x>1?/x>2，pq的充分條件B?Apq

pqpqp?qB，A?Bpq的充分條件． 解析：選A b＝0時，直線y＝kx過原點，故選A.2.(多選)使0＜x＜3成立的一個充分條件是( 解析：選D從集合觀點看，求0＜x＜3成立的一個充分條件，就是從、B、、D中選出集合x|＜＜3}的子集．由于x|＜≤2}?{x0＜＜3，{x1＜x＜}?{x0＜x＜3}，故選、 下列哪些命題中q是p的必要條件？ 所以q是p的必要條件．p?qqpp?qqp

只有x>1?x>0，其他選項均不可由x>1推出 p：a0的整數(shù)，q：a5pq 條件；q是p的 解析：因為p?q，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件．答案：充分必要

[典例] (1)集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠?”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是( 則實數(shù)a的取值范圍為 (2)pA＝{x|x<－2x>10}，qB＝{x|x<1＋a∵q：x<1＋a∵pq

(2)求解步驟：p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建pqa解：p：3a<x<aA＝{x|3a<x<a}．p?qA?B，

a的取值范圍是 pxa<x<3aa>0，qx滿足－2≤x≤3.pq的必要a的取值范圍．解：p：a<x<3aA＝{x|a<x<3a}．q?pB?A，

若p是q的充分條件，則q是p的( 因為p是q的充分條件，所以p?q，所以q是p的必要條件 一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的() 已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是

BAM是平面上任意一點，請從“充分”“必要”中選出適當“點M在圓B內(nèi)”是“點M在圓A內(nèi)” “點M在圓A外”是“點M在圓B外” 解析：BAABA′，B′，則有B′A′.′B內(nèi)”是“MA內(nèi)”′′MB外”答案：(1)充分(2)[“四翼”檢價1．x＝－1是|x|＝1的( 是|x|＝1 A、C、Dab>0若集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的( ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，即∴“a＝3”是“A?B”4．(多選)下列命題中，p是q的充分條件的是( A．p：a是無理數(shù)，q：a2是無理數(shù)解析：BCA中，a＝2是無理數(shù)，a2＝2pq的充分條件；Bpq的充分條件；C中，x>2?x≥1pq的充分條件；Dc＝0ac2＝bc2pq的充分條件．5．若x>2m2－3是－1<x<4的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為( B．m≤－3或m≥3C．m≤－1或 解析選D 解析：x>2?x2>4x>2x2>4 由于答案：必要 下列命題中，pq的什么條件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；解：(1)∵x2＝2x＋1?x＝x＝∴pq(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，a＋b＝0?a2＋b2＝0，∴pq(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0?/(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴pqp：－1<x<3，若－a<x－1<apa>b依題意，得{x|－1<x<3}?{x|1－a<x<1＋a}，所以

a>bb的取值范圍是 充分條件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙?/綜上，有丙?甲，但甲?/丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必設x，y是兩個實數(shù)，命題：“x，y中至少有一個數(shù)大于1”的充分條件是( 設命題p：k>5，b<5，命題q：一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖象交y軸于負半軸，交x軸于正半軸，則p是q的 條件；q是p的 的充分條件，qp的必要條件．答案：充分(1)AB(2)AB亮的什么條件？5．(1)m2x＋m<0x<－1x>3(2)m2x＋m<0x<－1x>3 m (2)2x＋m<0x<－1x>3的必要條件，則只要{x|x<－1x>3}?xx<2 ?pp?q，此時，pqqpq的充分pqqpp?qq若p?q，但qp，則p是q的充分不必要條件；若q?p，但pq，則p是q的必不充分條件；若p?q且q?p，則p是q的充要條件；若pq且q p，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件，簡稱p是q的既不充分也不必要條件．[即時 解析：選B 由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，則當x＝5時，x2－4x－5＝0成立，x2－4x－5＝0時，x＝5 △ABC是銳角三角形是∠ABC為銳角 解析：若△ABC是銳角三角形，則其三個角都是銳角；若∠ABC為銳角，則△ABC可

[典例] 下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條(2)p：a6整除，q：a3整除； (1)p：x2>0，則x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分條件p：a632整除，q：a3pq的充分不必要pq的必要不充分條件．傳遞法：p1?p2?…?pnp1?pn；充要 解析：選B 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. A．x2>4x3<－8解析：ADAx3<－8?x<－2?x2>4x2>4?x<－2x>2?x3<－8角形，但在直角△ABCAB?a2＋b2≠0D

已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－ 3∵ab≠0，a－ab＋b＝－2＋4b在以下兩種說法中，充分性和必要性分別是：(1)pq的充要條件，p?q?p是必要性；(2)AB：B?A是充分性，A?Bxax2＋bx＋c＝0有一個根為－1∴x＝－1ax2＋bx＋c＝0∴a－b＋c＝0xax2＋bx＋c＝0有一個根為－1a－b＋c＝0，∴a－b＋c＝0xax2＋bx＋c＝0有一個根為－1

若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍. 設p代表的集合為A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合為B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，因為p是q的必要不充分條件，所以BA，

若本例中“pq的必要不充分條件”改為“pq的充分不必要條件”，其他條m的取值范圍．解：pA，qB，pqAB.

m的取值范圍是p，qmpqm的值；mpq

∵{a|a<－1}{a|a<0} 由|x－1|<1可得所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必 解析：選A 由x3＞8?x＞2?|x|＞2，反之不成立，1．(多選)有限集合S中元素的個數(shù)記作card(S)．設A，B都為有限集合，則下列命題 B．A?Bcard(A)≤card(B)C．A?Bcard(A)≤card(B)D．A＝Bcard(A)＝card(B)解析：選ABcard(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．A∩B＝?，也就是集元素，B是真命題；A?BABAB中的元素的個數(shù)，C是假命題；A＝BA中的元素D是假命題．若a，b∈R，則“a＋b＝0”是“a3＋a2b－a2－ab＋a＋b＝0”的(

a∈R，a－a＋1＝－2p：{x|x＋2≥0x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m>0}pq條件，則實數(shù)m的值是

已知“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值 解析：選 若“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要不充分條件，

[“四翼”檢價已知條件p：x>1，條件q：x≥2，則p是q的 因為{x|x>1}{x|x≥2}，所以p是q的必要不充分條件．故選條件甲：a>1是條件乙：a>a的 充分性：∵a>1，∴a>1，∴a·a>a，即a>a>a(a－1)>0)a>1.∴B. 1，則q是p的 x 由q：1≤1，得到x≥1或x＜0，由于p/?q，q/?p，故q是p的既不x4．(多選)已知四邊形ABCD，則“A，B，C，D四點共圓”成立的充要條件是( 解析：選AC 若四邊形ABCD的對角互補，則A，B，C，D四點共圓，反之也成立，所以選A、C.5．(多選)設U是全集，A，B是U的兩個子集，則“A∩B＝A”的充要條件是( 解析：選AC 由A∩B＝A可知A?B，反過來A?B，則A∩B＝A，對C來說，實際上也是A?B.已知a，b是實數(shù)，則“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的 解析：a>0b>0?a＋b>0ab>0，a＋b>0ab>0?a>0b>0

已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一個充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是 解析：x∈Ax∈BABm＋1>2p：x<－2x>3，q：4x＋m<0pqm的取 pqBA，m的取值范圍為x2＋kx＋1＝0，

k＝－x2－x，代入①得，x3＝1x＝1

k＝－2時，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0x1＝x2＝1；x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0x＝1x＝－21.k＝－2.1．(多選)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正數(shù)解的充分不必要條件可以是( x2＋4x＋n＝002＋4×0＋n<0n<0，x2＋4x＋n＝0B、C、D. 解析：選ACD AB2＋AC2＝BC2B錯誤．a(chǎn)2＋b2≠0?a，b0a，b0?a2＋b2≠0C正確．x2為無理數(shù)時，xDA、C、D.)

a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1a2－b2＝1a4－b4－2b2＝1a4－(b2＋1)2＝0，a，ba2＋b2＋1≠0，a2－b2－1＝0a2－b2＝1.在點P使∠APD＝90°的充要條件是 解析：AD

a>b時，即a>2b時，圓與線段BC有兩個交點M，N，當P點與M，N2如圖(3)：當a<ba<2bBC無共點，則∠APD<90°.故使∠APD＝90°a≥2b.2解：“a－b＋c＝0”是“ax2＋bx＋c＝0有一根為－1”的充要條件．a(chǎn)，b，c∈R，a≠0時，?從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質(zhì)題．注意：全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由具體的條件而定．?Mx，p(x)成立(說明：Mx的取值范圍一個存在量詞命題可以包括多個變量，如“?a，b∈R，使 答案：①②③命題p?x∈Rx2＋2x＋5＝0是 答案：存在量詞命題

(2)存在量詞命題．?

(1)?x∈R，x2＋1≥2;(2)x軸有交點； 所以“?x∈R，x2＋1≥2”(2)xx軸無交點，

[典例]p：?x∈R，x2＋4x－1>m恒成立．m的取值范圍． 因為?x∈Rx2＋4x－1>mm<－5m的取值m的取值范圍．為?x∈R，－x2＋4x－1>mmym的取值范把本例中的條件“?x∈R”改為“?x≥1m解：令y＝x2＋4x－1，x≥1，則y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4，因為?x≥1，不等式x2＋4x－1>mm<4m的取值范圍是{m|m<4}．對于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式恒成立問y的最大值(或最小值)a>ymax(a<ymin)．對于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問題，實質(zhì)就是不等式能成立問y的最小值(或最大值)a>ymin(a<ymax)．pb的取值范圍．解：y＝2x＋b的圖象不經(jīng)過第四象限，b≥0. ③?x∈{x|x是無理數(shù)}，x2 x＝45，x2＝5 A．p真q B．p真qC．p假q D．p假q x＝1時，x2－x＋1＝1≥0p是真命題；q，(－2)2<(－3)2，但－2<－3不成立，q

＋2＋4>0B

已知命題p：?x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命題p是假命題則實數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a>4} B．{a|a<4}C．{a|a≥4}D．{a|a≤4}解析：選A∵p是假命題，∴方程x2＋4x＋a＝0沒有實數(shù)根，即 解析：對于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)于a，所以[“四翼”檢價 A．任何一個實數(shù)乘以0都等于0 y＝x2－ax－1x④?x∈R，y∈R 下列命題不是“?x∈R，x2>3”的表述方法的是 解析：選C C選項是全稱量詞命題，而題中題是存在量詞命題，故選C. C．?x∈R，使 ?x∈R，使 “所有”是全稱量詞，故錯誤；C.“?” A．?n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命題B．?n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命?n∈N*,2n2＋5n＋22?n∈N*,2n2＋5n＋22

0 當n＝1時，2n2＋5n＋2不能被2整除，當n＝2時，2n2＋5n＋2能2A、B、D錯誤，C x＝y(tǒng)＝0時，x2＋y2＝0，所以是假命題． 答案：①②③④ 用量詞符號“?”“?2xx2＋x＋1>02 1x＋1是有理數(shù)3

(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命題．a(chǎn)＝0，b＝0時，該方程的解有無數(shù)個．

22

x∈Rx2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2x2＋2x＋3＝0x不存在，命題p：“?x∈{x|1≤x≤2},2x2－x－m>0”是真命題則實數(shù)m的取值范圍是( 解析：選 由命題p：“?x∈{x|1≤x≤2},2x2－x－m>0”為真命題，即對于③?x∈R， ③

能夠說明“設a，b，c是任意實數(shù)．若a>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為 (2)xm－(x2－2x＋5)>0m的取值范圍．解：(1)m＋x2－2x＋5>0可化為122125y1＝x2，y＝－2x－m，若對?x∈{x|－1≤x≤3}，?x∈{x|0≤x≤2}12212解：x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，又因為對?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得m≥－4，m的取值范圍為?x∈M?x∈M要否定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”Mxp(x)不成立，也就是命題“?x∈M，p(x)”成立；立，也就是命題“?x∈M，p(x)”成立．1．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 解析：選C

x5x－12＝0 px5x－12＝0p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M， 解析：選C 的否定為“?x∈R，x2－x＋1≠0”． 解析：選 命題“對任意的x∈R，x3－2x＋1≤0”的否定是“存在

?x，y∈Z，使得 命題的否定是“?x，y∈Z，x＝0，y＝3時，2x＋y＝3

p：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，p(x)．命題“存在x∈R，使得x2＋2x<1”的否定是( A．對任意x∈R，都有x2＋2x>1解析：選B 意x∈R，都有x2＋2x≥1. 1<2，則p的否定為 a

1<2的否定為

1 已知命題p：?x∈R，x＋2x＋a＝0，命題

，xpqa 若命題p：?x∈R，x2＋2x＋a＝0為真命題，則 1

q：?x∈x0≤x≤2，x－a≤0a≥xa≥(x∴p，q均為假命題時

∴p，qaR.p：?x∈{x|－3≤x≤2}x∈{x|a－4≤x≤a＋5}p是假命題，求實a的取值范圍．解：因為pp

a的取值范圍是設命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為 解析：選C 將“?”改寫成“?”，“>”改寫為“≤”即可，故選C.2．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得解析選D 將“?”改寫為“?”“?”改寫為“?”再否定結論可得命題的定為“?x∈R，?∈N，使得x”．故選 解析：∵命題?x∈R，x2－4x＋a≠0∴?x∈R，x2－4x＋a＝0：： 設x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則( A．綈p：?x∈A,2x∈B B．綈p：?x?A,2x?BC．綈 D．綈 命題p：?x∈A,2x∈B是一個全稱量詞命題，命題p的否定應為 解析：選C 方程x2＋mx＋1＝0無實數(shù)根． C．ppD．pp 命題p：“?x∈R，x2＋1≠0”的否定是“?x∈R，x2＋1＝0”．所以 p：?n∈N,2n≤100；p解析：選ABD “所有的三角形都不是正三角形”，故選項C錯誤． 解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將“存在”改為“任意”，“＝”已知命題p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命題綈p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍 9393解：(1)p：“mx2＋x－m＝0有實數(shù)根”，其否定形式是p：“mx2＋x－m＝0沒有實數(shù)根”．

p何知識知r是一個假命題．

1

∵命題“?x∈R，使 4 4李略加思索，反手給了一道題：若命題“?x∈R，函數(shù)y＝x2＋2x＋m的圖象在x軸的xmm的取值范圍是否一 解析：∵命題“?x∈Ry＝x2＋2x＋mx軸的下方”的否定是“?x∈R，y＝x2＋2x＋mxx軸上”．而命題“?x∈Ry＝x2＋2x＋mx軸的下方”是假命題，則其否定∈Ry＝x2＋2x＋mxx軸上”p：?x＞0，x＋a－1＝0a解：p：?x＞0，x＋a－1＝0所以p：?x＞0，x＋a－1≠0x≠1－a，1－a≤0a≥1.a的取值范圍為(1)p

bpqm的取值范圍．m的取值范圍為{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．pq的條件關系，可以轉化為集合之間的 題型一

x∈Rx＋1 解析：選ABD 對于A，∵1是整數(shù)，∴1∈Z，故A正確．對于B，∵x＝|x|，∴x≥0，∵1>0，∴B正確．∴C D，∵x∈Rx≤0＝{x∈R|－1<x≤1}，1是集合中的元素，∴D 當x＝0，y＝0時x＝0，y＝1時，x－y＝－1x＝0，y＝2時，x－y＝－2；x＝1，y＝0時，x－y＝1x＝1，y＝1時，x－y＝0；B0，－1，－2,1,25 解析：m＋2＝5時，m＝3，M＝{1,5,13}，符合題意；m2＋4＝5時，m＝1m＝－1.答案：31題型二 的集合C的個數(shù)為 解析：選D 滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 已知A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x的值 異性相．綜上所述，x＝－2或x＝0.答案：0題型三1．(多選)設全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，則( 已知集合P＝{x|2<x<4}，Q＝{x|1<x<3}，則(?RP)∩Q＝( B．{x|x≤2或 D．{x|x≤1 A．2 B．3C．4 解析：選B 由題意，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}＝{x∈Z|0≤