高考福建理科數(shù)試題及答案(word解析)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2014年福建，理1，5分】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)，得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．（2）【2014年福建，理2，5分】某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）（A）圓柱（B）圓錐（C）四面體（D）三棱柱【答案】A【解析】由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是三角形，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎(chǔ)題．（3）【2014年福建，理3，5分】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）（A）8（B）10（C）12（D）14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，解得，則，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題．（4）【2014年福建，理4，5分】若函數(shù)的圖像如右圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由函數(shù)的圖像過點(diǎn)，得．選項(xiàng)A中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)B中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像正確；選項(xiàng)C中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)為，則其函數(shù)圖像不正確，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及冪函數(shù)的圖象，屬基礎(chǔ)題．（5）【2014年福建，理5，5分】閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的得值等于（） （A）18（B）20（C）21（D）40【答案】B【解析】輸入，，第一次循環(huán)，，；第二次循環(huán)，，；第三次循環(huán)，，，滿足，結(jié)束循環(huán)，，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵．（6）【2014年福建，理6，5分】直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由直線與圓相交，得圓心到直線l的距離，解得．當(dāng)時(shí)，，，則的面積為；當(dāng)時(shí)，同理可得的面積為，則“”是“的面積為”的充分不必要條件，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．（7）【2014年福建，理7，5分】已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）（A）是偶函數(shù)（B）是增函數(shù)（C）是周期函數(shù)（D）的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】由函數(shù)的解析式知，，，，則不是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，則在區(qū)間上是增函數(shù)，且函數(shù)值；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值；∴函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域?yàn)?，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．（8）【2014年福建，理8，5分】在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由向量共線定理，選項(xiàng)A，C，D中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項(xiàng)B中的向量組不共線，可以作為基底，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)列出方程解方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．（9）【2014年福建，理9，5分】設(shè)分別為和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大距離是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)圓心為點(diǎn)，則圓的圓心為，半徑．設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，即，∴，當(dāng)時(shí)，有最大值，則，兩點(diǎn)間的最大距離為，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．（10）【2014年福建，理10，5分】用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)籃球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個(gè)球都不?。啊北硎救〕鲆粋€(gè)紅球，而“”則表示把紅球和籃球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球．5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為；從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，由所有的藍(lán)球．（1）求雙曲線的離心率；（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由．解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為和．所以,從而雙曲線E的離心率．（2）由（1）知，雙曲線E的方程為．設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以．此時(shí)雙曲線的方程為．若存在滿足條件的雙曲線，則的方程只能為．以下證明:當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，雙曲線：也滿足條件．設(shè)直線的方程為，依題意,得或．則，記．由，得，同理得．由得：即．由得，．因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕磁c雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．因此，存在總與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線，且的方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想．（20）【2014年福建，理20，14分】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為．（1）求的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)，恒有．解：解法一：（1）由，得．又,得．所以．令，得．當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值,且極小值為無極大值．（2）令，則．由（1）得，故在R上單調(diào)遞增，，因此，當(dāng)時(shí)，，即．（3）①若，則．又由（2）知，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，．取，當(dāng)時(shí)，恒有．②若，令，要使不等式成立，只要成立．而要使成立，則只要，只要成立．令，則．所以當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增．取，所以在內(nèi)單調(diào)遞增．又．易知．所以．即存在，當(dāng)時(shí)，恒有．綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）對(duì)任意給定的正數(shù)，取，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，因此，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞、存在量詞等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想．屬難題．本題設(shè)有三個(gè)選考題，每題7分，請考生任選2題作答．滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右邊的方框涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．（21）【2014年福建，理21（1），7分】（選修4-2：矩陣與變換）已知矩陣的逆矩陣．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．解：（1）因?yàn)榫仃囀蔷仃嚨哪婢仃?且，所以．（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，得矩陣的特征值為或，所以是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量．是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（21）【2014年福建，理21（2），7分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．（1）求直線和圓的普通方程；（2）若直線與圓有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）直線的普通方程為．圓的普通方程為．（2）因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，故圓的圓心到直線的距離，解得．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓