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2022-2023學(xué)年福建省福州市音西中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.若某圓柱體的上部挖掉一個(gè)半球,下部挖掉一個(gè)圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,則此幾何體的表面積是() A.24π B. C. D.32π參考答案:C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積. 【專(zhuān)題】計(jì)算題;數(shù)形結(jié)合;空間位置關(guān)系與距離. 【分析】幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積與半個(gè)求的表面積、圓錐的側(cè)面積的和. 【解答】解:圓柱的側(cè)面積為S1=2π×2×4=16π,半球的表面積為, 圓錐的側(cè)面積為, 所以幾何體的表面積為; 故選C. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖以及表面積的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題. 2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C.7 D.14參考答案:B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可知:該幾何體為三棱臺(tái).【解答】解:由三視圖可知:該幾何體為三棱臺(tái),S上==1,S下==4.∴該幾何體的體積V==.故選:B.3.函數(shù)的反函數(shù)是
(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:答案:D4.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足,且,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則不等式的解集是()A. B.(0,e) C. D.參考答案:B【考點(diǎn)】6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;63:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算;67:定積分.【分析】根據(jù)題意,令g(x)=xf(x),分析可得g′(x)=[xf(x)]′=,對(duì)g(x)求積分可得g(x)的解析式,進(jìn)而可得f(x)的解析式,再令h(x)=f(x)﹣x,對(duì)其求導(dǎo)可得h′(x)=f′(x)﹣1<0,分析可得函數(shù)h(x)=f(x)﹣x在(0,+∞)上遞減,將不等式變形可得f(x)﹣x>﹣e=f(e)﹣e,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,令g(x)=xf(x),則有g(shù)′(x)=[xf(x)]′=,則g(x)=(lnx)2+C,即xf(x)=(lnx)2+C,則有f(x)=(lnx)2+,又由,即f(e)=+=,解可得C=,故f(x)=(lnx)2+,令h(x)=f(x)﹣x,則h′(x)=f′(x)﹣1=<0,故函數(shù)h(x)=f(x)﹣x在(0,+∞)上遞減,不等式,即f(x)﹣x>﹣e=f(e)﹣e,則有0<x<e,即不等式的解集為(0,e);故選:B.5.下列函數(shù)中,在定義域內(nèi)是增函數(shù)的是(
)
A.y=()x
B.y=
C.
D.y=lgx參考答案:D略6.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出的值為(
)
A.102
B.410
C.614
D.1638參考答案:B略7.如下圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,且體積是,則該幾何體的俯視圖可以是參考答案:C若俯視圖為A,則幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體,所以體積為1,不滿足條件;若為B,則該幾何體為底面直徑為1,高為1的圓柱,此時(shí)體積為,不滿足條件;若為D,幾何體為底面半徑為1,高為1的圓柱的部分,此時(shí)體積為,不滿足條件,若為C,該幾何體為底面是直角三角形且兩直角邊為1,高為1的三棱柱,所以體積為,滿足條件,所以選C.
8.若為第一象限角,且,則的值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B9.在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條,則這兩條棱是一對(duì)異面直線的概率為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:C10.“”是“”成立的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案:A【分析】根本充分條件和必要條件定義,結(jié)合對(duì)數(shù)單調(diào)性,即可求得答案.【詳解】,可得由在定義域是單調(diào)遞增函數(shù)故由“”可以推出“”“”是“”充分條件由,可得,解得故由“”不能推出“”“”是“”非必要條件綜上所述,“”是“”充分不必要條件故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷充分不必要條件,解題關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義,及其對(duì)數(shù)的單調(diào)性,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題命題是的(
)條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)。參考答案:充分不必要12.______________.參考答案:略13.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,則常數(shù)項(xiàng)等于
.參考答案:本題主要考查二項(xiàng)式定理.由題意可得2n=4096,則n=12.則通項(xiàng),令得r=3,所以常數(shù)項(xiàng)為14.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x+2)=f(x+1)﹣f(x),如果f(1)=lg,f(2)=lg15,則f(2017)=
.參考答案:﹣1【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.【專(zhuān)題】計(jì)算題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】由已知條件推導(dǎo)出f(x)是一個(gè)周期為6的函數(shù),所以f=f(6×336+0)=f(0),利用已知條件求解即可.【解答】解:(1)f(1)=lg,f(2)=lg15,∴f(3)=f(2)﹣f(1)=lg15﹣(lg3﹣lg2)=lg5+lg2=1,f(4)=f(3)﹣f(2)=1﹣lg15,f(5)=f(4)﹣f(3)=1﹣lg15﹣1=﹣lg15,f(6)=f(5)﹣f(4)=﹣lg15﹣(1﹣lg15)=﹣1,f(7)=f(6)﹣f(5)=﹣1+lg15=lg,∴f(x)是一個(gè)周期為6的函數(shù),∴f(2017)=f(6×336+1)=f(0),f(2)=f(1)﹣f(0),∴f(0)=f(1)﹣f(2)=lg﹣lg15=lg=﹣1,故答案為:﹣1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.15.若是一個(gè)集合,是一個(gè)以的某些子集為元素的集合,且滿足:①屬于,空集屬于;②中任意多個(gè)元素的并集屬于;③中任意多個(gè)元素的交集屬于.則稱(chēng)是集合上的一個(gè)拓?fù)?已知集合,對(duì)于下面給出的四個(gè)集合:①;②;③;④其中是集合上的一個(gè)拓?fù)涞募系乃行蛱?hào)是
.參考答案:②④16.已知函數(shù)y=cosx的圖象與直線x=,x=以及x軸所圍成的圖形的面積為a,則(x﹣)(2x﹣)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答).參考答案:﹣200【考點(diǎn)】67:定積分.【分析】求定積分可得a值,然后求出二項(xiàng)式(2x﹣)5的通項(xiàng),得到(2x﹣)5的展開(kāi)式中含x及的項(xiàng),分別與(x﹣)中的項(xiàng)相乘求得答案.【解答】解:由題意,a=||=||=||=2.故(x﹣)(2x﹣)5=(x﹣)(2x﹣)5.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)由(2x﹣)5中含x的項(xiàng)乘以再加上含的項(xiàng)乘以x得到的.∵(2x﹣)5展開(kāi)式的通項(xiàng)?x5﹣2r.令5﹣2r=1,得r=2,因此(2x﹣)5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為.令5﹣2r=﹣1,得r=3,因此(2x﹣)5的展開(kāi)式中的系數(shù)為.∴(x﹣)(2x﹣)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80×(﹣2)﹣40=﹣200.故答案為:﹣200.17.展開(kāi)式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為
.參考答案:0采用賦值法,令x=1得:系數(shù)和為1,減去項(xiàng)系數(shù)即為所求,故答案為0.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān),隨機(jī)抽取了55名市民,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡不喜歡合計(jì)大于40歲2052520歲至40歲102030合計(jì)302555(Ⅰ)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)?(Ⅱ)用分層抽樣的方法從喜歡“人文景觀”景點(diǎn)的市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查,將這6位市民作為一個(gè)樣本,從中任選2人,求恰有1位“大于40歲”的市民和1位“20歲至40歲”的市民的概率.下面的臨界值表供參考:50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式:,其中)參考答案:解:(1)由公式所以有的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)
……5分(2)設(shè)所抽樣本中有個(gè)“大于40歲”市民,則,得人所以樣本中有4個(gè)“大于40歲”的市民,2個(gè)“20歲至40歲”的市民,分別記作,從中任選2人的基本事件有共15個(gè)
……………9分其中恰有1名“大于40歲”和1名“20歲至40歲”之間的市民的事件有共8個(gè)所以恰有1名“大于40歲”和1名“20歲至40歲”之間的市民的概率為…………12分
略19.選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(I)解不等式.(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案:(I)不等式可化為.當(dāng)時(shí),解得即;當(dāng)時(shí),解得即:當(dāng)時(shí),解得即;綜上所述:不等式的解集為或.(Ⅱ)由不等式可得,,即解得或故實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
20.已知,函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為.(1)求的值及函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心;(2)已知a,b,c分別為ΔABC中角A,B,C的對(duì)邊,且滿足,求ΔABC周長(zhǎng)l的最大值.參考答案:(1),;(2)【分析】(1)由已知利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式由題意可知其周期為π,利用周期公式可求ω,即可得解函數(shù)解析式,再利用對(duì)稱(chēng)中心公式即可求得答案(2)由解得A,結(jié)合已知由余弦定理得,利用基本不等式得的最大值,則周長(zhǎng)的最大值得解.【詳解】(1).因?yàn)槠鋱D象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為,所以,即,所以.所以.令,即時(shí),所以函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(2)由得.因?yàn)?所以,.由余弦定理得:.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.即ΔABC為等邊三角形時(shí),周長(zhǎng)最大為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),余弦定理,基本不等式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.21.如圖,已知直平行六面體中,,(I)求證:;(Ⅱ)求二面角的大小.參考答案:解法一:(Ⅰ)在直平行六面體-中,
又
(Ⅱ)如圖,連
易證
,又為中點(diǎn),
,
取中點(diǎn),連,則,
作由三垂線定理知:,則
是二面角的平面角,中,易求得中,
則二面角的大小為
解法二:(Ⅰ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線為軸,建立如圖所示坐標(biāo)為,依題設(shè),
,又
.(Ⅱ)由
由(1)知平面的一個(gè)法向量為=取,
.
略22.在第十五次全國(guó)國(guó)民閱讀調(diào)查中,某地區(qū)調(diào)查組獲得一個(gè)容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民150人,農(nóng)村居民50人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民100人,農(nóng)村居民24人.(1)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為,經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?
城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10024
不經(jīng)常閱讀
合計(jì)
200
(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出6人,參加一次閱讀交流活動(dòng),若活動(dòng)主辦方從這6位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.
參考答案:(1)見(jiàn)詳解;(2).【分析】(1)由題意填寫(xiě)列聯(lián)表,由公式計(jì)算并結(jié)合臨
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