2022年高考數學一輪復習平面向量的應用精練（解析版）

10.3平面向量的應用（精練）

【題組一平面向量與四心】

1.（2021?重慶市長壽中學校）在ABC中，。是三角形的外心，過點8作3GJ.AO于點G,A8=8,則

AOAG=（）

A.16B.8C.24D.32

【答案】D

【解析】如圖，

—>->->—>->—>—>—>—>

AOAG=AO（AB+BG）=AO-AB+AO-BG，

因為8G_LA0,

所以h）/7=八

又因為。是三角形的外心，

T1f

所以|AO|cosN54O=」AB|,

2

TT->->1-?1

所以AO-4G=4OA8=—|AB『=±X64=32.

22

故選：D

2.（2021?廣東高三月考）（多選）對于△A8C,其外心為。，重心為G,垂心為”，則下列結論正確

的是（）

A.OAOB=OAOC=OBOC

B.AOAB=-AB2

2

ABAC

c.向量4"與7共線

ABcosBACcosC

D.過點G的直線/分別與AB、AC交于E、F兩點，若AE=/IA8，AF=juAC,則丁+'=3

【答案】BCD

【解析】A：。為外心，則。4=0B=0C,僅當/4O8=Z4OC=ZBOC時才有QA.0B=QA0C=080C，

錯誤；

I4DI].2

B：由AOAB=|AO||A8|cos/OA5,又|AO|COS/O48=^L故=,正確；

,ABAC、ABBCACBC|A3118clcos(萬一3)

C?(1-i---------+1-----i------)-oC=?-----；-------+?-----；-------=--------i----i--------------+

,|AB|COSB|AC|COSC|AB|COSB|/4C|COSC|AB|COSB

|AC||BC|cosC?”|[D>nA8AC

—r—j~~--=-|BC|+|BC|=0,即g~-+T—j~~二與BC垂直，又AH工BC，所以4”與

LACcosCA5cos3ACcosC

ABAC

l77j-+|77|7共線，正確；

ABcosBLACcosC

D：AG=JA￡)=：(A8+AC)=+,又E,G,尸三點共線，則]+；=l，故;+，=3,正確.

333X3〃3713〃4〃

故選：BCD

3.（2021?廣東深圳市?深圳第三高中）（多選）在,ABC所在平面內有三點。，N,P,則下列說法正

確的是（）

A.滿足|=|081=|OC|,則點。是A4C的外心

B.滿足NA+N8+NC=0，則點N是ABC的重心

C.滿足月4P8=P8PC=PCPA，則點P是,ABC的垂心

D.滿足（吟+14S/BC=0,且旦.旦=!，貝IJ_A8C為等邊三角形

|AB|\AC\|A8||AC|2

【答案】ABCD

【解析】對于A,因為|Q4|=|OB|=|OC|,所以點。到qA3C的三個頂點的距離相等，所以。為-A3C的外

心，故A正確;

對于B,如圖所示，。為BC的中點，由N4+NB+NC=0得：2ND=-NA.所以|AN|:|ND|=2:1,所以N是

ABC的重心，故B正確;

對于C,由P4PB=PB-PC得：（PA-PC）-PB=O,即AC.PB=O，所以AC_LP8：同理可得：ABVPC.

所以點尸是ABC的乖心，故C正確；

ADAC

對于D,由（-+*）BC=O得：角A的平分線垂直于8C,所以AB=AC：

|AB|\AC\

&工=1cosA='，所以4=f,所以ABC為等邊三角形，故D正確.

\AB\\AC\223

故選:ABCD.

4.（2021?深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學高三月考）（多選）已知產為A8C所在平面內一點，則下列正確

的是（）

A.若PA+3尸B+2PC=0，則點尸在ABC的中位線上

B.若PA+PB+PC=O，則P為;.ABC的重心

C.若AB.AC>0,則A8C為銳角三角形

1?

D.若AP=-AB+-AC,則ABC與“8尸的面積比為3：2

33

【答案】ABD

【解析】對于A,設48中點為￡>,8c中點為E,

PA+3PB+2PC=O>.-.PA+PB=-2（PB+PC）,

;.2PD=-4PE，即尸￡）=2￡P，，P，D，E三點共線，

又。￡為的中位線，，點尸在，ABC的中位線上，A正確；

對于B,設A8中點為O,由尸4+尸8+/^=。得：PA+PB=-PC=CP,

CP

又PA+PB=2P。，.,.CPuZPD，二戶在中線C。上，目而=2，

;.P為,ABC的重心，B正確；

對于C,4叢AC>0,,AB與衣夾角為銳角，即A為銳角，但此時8,C有可能是直角或鈍角，故無法說

明,ABC為銳角三角形，C錯誤：

192

對于D,vAP=^AB+^AC,為線段8c上靠近C的三等分點，即BP=§BC,

???SABC：S?=BC:8P=3:2,D正確?

故選：ABI）.

5.（2021?全國高三專題練習）（多選）點。在.A8C所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.已知平面向量。4、OB'OC滿足IQA1=11=1OCI，且Q4+O8+OC=0，貝!JA8C是等邊三角形

ACBA

若or

B.、而篇卜可念=0,則點。為ABC的垂心

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,則點。為一ABC的外心

D.若OA.OB=OB-OC=OC-OA，則點。為.ABC的內心

【答案】AC

【解析】選項A,平面向量。4、OB、0C滿足I。*=|08|=OC|=r(r>0),

且OA+O8+OC=0，

:.OA+OB=-OC，OA\2+2OAOB+\OB\2=\OC\2,

即r2+2r2cos（^OA,OB^+r2=r',

cos（OA,OB'）=--,

2

OA-OB的夾角為120。，同理Q4、oc的夾角也為120。,

ABC是等邊三角形，故A正確；

選項B,向量74r,器AR分別表示在邊AC和A3上的單位向量,

\AC\"I

設為AC'和AB，，則它們的差是向量B'C'，

ACAB}

則當。4、記兩J=0,即OAJ.BC'時，點。在N8AC的平分線上,

同理由。氏黑-黑=0,知點。在NABC的平分線上,

118cl\BA\）

故。為_A8C的內心而不一定是乖心，故B錯誤;

選項c,04+0月是以。4,0B為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，

umi

而|AB|是該平行四邊形的另一條對角線，

A8-(OA+O8)=0表示對角線垂直，從而這個平行四邊形是菱形，即10Al=|O8|,

同理有|O8|=|OC|,于是。為ABC的外心，故C正確；

選項D,由OAOB=OBOC得OAOB-OBOC=0，

OB(OA-OC)=0,即OBCA=0，/.OB1CA，

同理可證0A_LC8，OC1.AB,

:.OB±CA,OALCB,OCVAB,即點。是“ABC的垂心而不一定時內心，故D錯誤.

故選：AC.

6.(2021?全國高三月考(理))在A8C中，點0為‘ABC的外心，|A8|=6,則ABAO=.

【答案】18

【解析】因為點。為,ABC的外心，

取點E為AB的中點，

則0￡_LAB,

所以A8?AO=(AE+￡O)-A8=|AE|-|A8|=18.

故答案為：18

【題組二平面向量與三角函數】

1.(2021?遼寧高三月考)在ABC中，內角所A,8,C對的邊分別為a,0,c,若4B4+e-2c)3C+cAC=0,

則.ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【解析】因為“BA+S-2c)BC+c4C=0,

所以(a-c)8A+S—c)5C=0,

所以a-c=O,b-c=O,

所以a=6=c,

故，ABC為等邊三角形.

故選：B.

2.(2021?河南高三月考(理))在；ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,。，若8=(,a+c=6,

則AC邊上的中線長的取值范圍是______.

【答案】［歲,3)

【解析】設。是4c中點，則BO=；(BA+BC),

6=畫=3BA+叫=，Q(BA+BC)2=-SIBA2+2BABC+BC2=-c2+2cacos-+a2=-y/a2+c2+ac

2222232

=g\j(a+c)2-ac=g<36-ac,

又a+c=6,所以如4段土爻=9,當且僅當。時等號成立.

4

所以0<acW9,—<&<3.

2

故答案為：［乎,3).

4

3.(2021?河南商丘?高三月考(理))在A3C中，AB^AC,tanC=-,H為.43。的垂心，且滿足

AH=mAB+nBC.則m+n=.

【答案嗎

【解析】如圖所示，。為BC的中點，不妨設AO=4m,則B￡>=3〃z.因為tan/BH￡>=tanC=M=。，則

HD3

97777(1)7721

HD='m,^\AH=-m=—AD,AH=—AD=—\AB+-BC\=—AB+—BC由此可得〃?+〃=巴.

4416161612J1632f32

21

故答案為：—.

4

4.(2021?河南商丘?高三月考(理))在ABC中，AB=AC,tanC=-,”為口ABC的垂心，且滿足

AH=mAB+nBC，則相+〃=.

【答案嘿

【解析】如圖所示，。為3c的中點，不妨設A￡>=4m,則3。=3%.因為tan/BHD=tanC=^=g,則

97777T1^7721

HD=—m,則AH=—m=—A。,AH=—4。=—AB+—BC=—AB+—BC,由此可得〃?+〃=—.

44161616(2J163232

故答案為：n.

4

5.(2021?河南商丘?高三月考(理))在ABC中，AB=AC,tanC=-,”為.ABC的垂心，且滿足

AH=mAB+nBC則加+〃=.

【答案嘿21

【解析】如圖所示，。為3c的中點，不妨設AD=4m,則3。=3切.因為tanN84O=tanC=^=g,則

97777(1)7721

HD=—m,則4"=—m=—A￡>,AH=—AD=—AB+—BC=—A3+—BC,由此可得機+〃=—.

44161616<2J163232

A

21

故答案為：—.

4

6.(2021?河南商丘?圖三月考(理))在ABC中，AB=AC9tanC=-,”為,ABC的垂心，且滿足

AH=mAB+nBC，則加+〃=.

【答案】1

【解析】如圖所示，。為BC的中點，不妨設AD=4%，則即=3%.因為tan/BH0=tanC=M=。，則

HD3

97777(1)7721

HD=—m,則AH=—m=—AD,AH=—4。=—AB+—BC=—AB+—BC,由此可得〃?+〃=一.

44161616(2J163232

21

故答案為：—.

7.（2021?浙江溫州?高三）已知.ABC中，邊3C上的高為2,〃為3C上一動點，滿足

A8-sin8+AC-sinC=AH，則AB+AC的最小值是.

【答案】8

【解析】因為AB-sin3+AC?sinC=A”，〃為8C上一動點，即反〃，。三點共線,

由共點的三個向量，終點共線的充要條件得sin"+sinC=l,

ABC中，邊3C上的高力氏2,如圖:

2222

令AFc,AOb,則sin8=—,sinC=—，則一+丁=1,

cbcb

所以A3+AC=b+c=M+c)(2+B)=4+笠+與之4+2小殳?亮=8,當且僅當6=c時取“二”，

所以當b=c時，AA+AC取最小值8.

故答案為：8.

8.(2021?上海黃浦?格致中學高三月考)已知。=(1,85工)為=($吊工,6).

(1)若o_Lb,求sinZx+cos?^的值；

(2)設〃x)=a力，將函數y=/(x)的圖像向右平移2個單位長度得到曲線C,保持C上各點的縱坐標保

持不變，將橫坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍得到g(x)的圖像，且關于％的方程g(x)-m=O在[0,自上有解，求〃，的

取值范圍.

【答案】(1)上(2)[-1,21.

4

【解析】⑴因a=(l,cosx),b=(sinx,Q),且a_LZ>,則有sinx+Gcosx=0，即tanx=-石，

2sinxcosx4-cos2x2tanx+l_2X(->/3)4-1_l-2>/3

于是得sin2x+cos2x=

sin2x+cos2xtan2x+l-(-V3)2+l-4

所以sin2x+cos2x的值是-一冬也；

4

(2)依題意，/(x)=sinx+>/3cosx=2sin(x+y),g(x)=2sin(2x+?),

因xc[0,小，則2x+—G[--,—],有sin(2x+—)e[--,1],T是得g(x)e[-l,2],

266662

因方程g(x)—6=o在og上有解，即帆=g。)在og上有解，則

所以用的取值范圍是[-1，2].

9.(2021?安徽裕安?六安二中高三月考)己知;=("cos￡|,'Js嗚/[，f[x}=ab.

(1)將函數/(x)的圖象向左平移。個單位長度，再將各點的橫坐標縮短到原來的g倍(縱坐標不變)，得

到函數g(x)的圖象，求g")的單調遞減區(qū)間;

(2)若函數/?(x)=sin2x-(括+1卜osx,關于x的方程g(x)+/7(x)—〃?<0在0弓上有解，求加的取值范圍.

7T771

【答案】(1)m+2E,J+E,后eZ；(2)㈠,”).

66

rrxxX兀

【解析】(1)f(x)=a-h=\/3sin—+cos=2sin—+—

26

將函數f(x)的圖象向左平移:個單位長度可得

c.1l,71.71].(14

y=2sin—(%+—)+—=2sin—x+—

.1236)123

再將各點的橫坐標縮短到原來的!倍(縱坐標不變)，

可得g(x)=2sin

i_.7C7C37r_,7T__77T__

由2kit4—4x4—V-----F2kli,kGZ、-(尋：—h2kliKxW------1-2kitkeZ、

23266

.?.g(x)的單調遞減區(qū)間為：+2而,蔣+也，ZwZ；

(2)依題意，不等式”>g(x)+〃(x)在xw0g］有解，

設>=g(x)+h(x)=2sinxH—j+sin2x-(G+l)cosx

3)

c.兀

smx-cosx+2sinxcosx,

令，=sin尤一cosx=V2sin,貝!j2sinxcosx=1—產

717171

?.?xwo,-,..x---e，/.sin(x-^)G,理且

4~4,442'2

/.t￡[—1,1],

???當/=-1時，y取得最小值—i,

，心>min=T，

故實數刑的取值范圍為(-1,+8).

10.(2021■?湖北局二月考)已知向量4=(6sinx,cosx)，b=(cosx,cosx)?

(1)若；〃0且收(一肛。)，求x的值；

⑵若函數/*)=2篙一1，且求sin。%-?)的值.

【答案】(1)-3或-葛；(2)?

【解析】(1)由二〃g,得Gsinxcosx-cos?X=0,

即cosx(V3sinx-cosx)=0?

所以cosx=0或J5sinx-cosx=0.

當COSX=0時，XG(-7C,0),則x=—|；

當百sinx-cosx=(^h得tanx=^^,XG(-TT,O),則工=一年

36

綜上，X的值為-"I■或-葛.

(2)f(x)=2a-h-\=2百sinxcosx+2cos2x-1=石sin2x+cos2x

=zf—sin2x+-cos2x

2sin(2x4--^-j.

2

7

2sinfx+-^p得Ty71￡

由/

66

兀、,九、兀

.7T1兀

所以sin21一冷_=sm2x+———=-sin——2x+—cos2x+—

6jLI6j226I6

217

=2sin(x+看-l=2x--

3618

【題組三平面向量與數列】

1.（2021?全國高三專題練習）設數列｛￡｝的各項都為正數且*=1,ABC內的點%5wN*）均滿足△々A8

與△々AC的面積比為2:1,若E,A+；x,“上8+（2x.+l）E,C=0,則毛的值為一.

【答案】31

延長其匕，交8C于￡>,

因為△2484△24C的面積比為2:1,故8到P?A的距離為C到P?A的距離的兩倍,

故BD=2DC,故PnD-P?B=2（P?C-P?D）即P?D=1^,B+|P?C,

E,A+gx“+比B+（2x“+/C=0，，匕4=-（2匕+1沅。-；/止B，

12

因為與。=§匕B+§EC且EQ,匕A共線，匕為三角形內部的點，

故存在非零常數t，使得一（2%+DEC-；玉,/,8=r（g與8+1匕C）,

_2玉-1=124+1

所以12‘故￥一,

卜/廣于2

故2%+1=加,即2（七+1）=%+1+1,又玉=1,故怎+1。0,

Y-4-1

所以矢7=2,即｛占+1）是以2為首項，以2為公比的等比數列，

Xn+1

n

故xn+l=2,xn=2",故％5=31,

故答案為：31.

2.（2021?全國高三專題練習）在3ABe中，。是BC上一點，且8D=-gf>C,點列月,（"€2*）在線段AC

上，且滿足2A=a,+/,B+q,2。，若q=l,則數列｛q｝的通項〃“=

【答案】（-2）”一

【解析】

山題可知［An/IB+a/。，q=l,BPDA=a2P,H,

又BD=-gz）C,故點。在線段CB的延長線上艮B為AC的中點,

故加=2片8,故々=-2,

又點列B,（〃eN*）在線段AC上，

故/,A共線,

[fi]P]A=a2PXB+a｝P｛D,P2A=ayP2B+a2P2D.......,

所以§=F==白=-2,故數列｛%｝為等比數列，所以通項?！?(-2尸，

Cl\a2an-\

故答案為：(-2)1.

3.(2021?全國高三專題練習(理))已知5“為數列｛4｝的前"項和，4=%=1,平面內三個不共線的向

量04，0B，OC，滿足OC=(%T+a“+jQ4+(l-%)O8,n>2,〃GN*,若A,13,C在同一直線上，

貝U$2021=-

【答案】0

【解析】設AC=2AB，所以AO+OC=/IAO+；IO3，所以OC=(1—九)。4+/1。8,

f6F?+^7,1=1—A

所以2，所以41+%+|+1-a,=1，所以%T+*="”，

[1-4=2

所以4+%+2=%+1,所以a?_,+a?+l+/+2=4+1>所以*+%+2=0，

所以?！?4+3=。,所以。3+?！?6=0,所以心6=%，所以｛%｝是周期為6的周期數列，

因為q=%=1，所以％=%一6=0,4=/一/=_1，%=4-/=T，4=%一%=0，

所以4+%+。3+。4+。5+。6=°，

所以s2m=$6*3珈5=336X0+S5=1+1+0+(—1)+(—1)=0,

故答案為：0.

4.(2021?全國高三專題練習)設%,%,…勺…是一組向量，若4=(-2018,2018),且q—nwN*

且?guī)?2,則〃0218=—

【答案】(-14)

【解析】設?！?區(qū)，”)，則”T),

由an-an_x=(1,-1),N*且?guī)?2,

?,?t-加=1,X-Jn-l=-1，

.?.”N=1,MF=T，

七一占=1,%-%=一1，

累加可得玉-玉=〃T,K=1-〃，

..xn=^+n-\=n-2019,乂=1一〃+y=2019—〃，

二.4二(〃-2019,2019-〃)，

。2018=（7，1），

故答案為：（-1/）

【題組四平面向量與其他知識】

22

1（2021?四川高三（理））設橢圓C:三+匯=1的左，右焦點分別為九F2,過鳥的直線/與C交于A,

95

B兩點（點A在X軸上方），且滿足4鳥=3乙8,則直線/的斜率為.

【答案】6

【解析】方法1：設A（X［，x）,8（W,%），

由題意可設直線I的方程為x=。+2（/>0）.

由用B，得（2_內,一%）=3（々_2,%），

則有-2%=%.①

x=ty+2,

由工2V2消去x，得（5*+94+20）-25=0.

195

門?20/25

則,十力=一齊百'②；/必=一戶.③

由①?得%=篇，%=券代入③得產=;即"乎,

則/的斜率為G.

方法2：設A（A,，X）,磯々,必）,

22

貝ij=Q—ex[=3--%],\BF2\=a-ex2=3--x2.

由得（2-%,一弘）=；（82—2,%）,即2藥+電=6,①

由M國=1優(yōu)邳，得3-1=；（3-艮，即4%一2々=9.②

?口2121I，X；15y/3

由①②得占=工，x,=—,y1=51--->

OOVIVJ6

則月嶼=6,則直線/傾斜角為60°.

方法3：如圖，設直線/的傾斜角為。，〃7：X=]9為橢圓的右準線,

過點A作44,機交，"于點A，過點A作AA?垂直于x軸，且交x軸于點兒,

過點B作交加于點用，過點8作〃與垂直于x軸，且交x軸于點層,

35

則有|4周+|AA|=|A周cose+5k用=5,

535

即卜丹不：忸周一忸鳴卜5忸周一忸用cos'=w，

4v/vzOCxI乙乙

5

即忸周=

3—2cos。

而48=；乃8,則忸E|=2|Ag|,

510,解得cose=L

即

3-2cos63+2cos，2

貝1J直線/的斜率為JL

故答案為：>/3

2.（2021?四川高三（文））設橢圓C:1+y=l的左，右焦點分別為"，鳥，過尸2作傾斜角為45°的直

線/與C交于A,8兩點（點A在x軸上方），且傷=468（0</1<1）,則兀=.

【答案】j

【解析】設A&,），3以孫為），

由題意知直線/的方程為y=x-i.

由AF2=AF2B，

得（If，一以卜義仁一1,%）,

則有-%=幾必.①

y=x-\,

由4丁,消去》,得3y2+2y-l=0.

y+r=1

所以M=g，%=T，代入①得2=g.

故答案為：!

22

3.（2021?廣東廣州市?高三月考）已知橢圓予+方=1（。＞6＞0）的左焦點為凡過點尸且傾斜角為45°

的直線,與橢圓交于46兩點（點6在x軸上方），且尸8=2A尸，則橢圓的離心率為

【答案】立

3

【解析】設尸（-c,O）,c＞。，由題意知，/的斜率為tan45°=l,則直線方程為V=x+J

y=x+c

設A&,y）,8（x,,y,）,聯(lián)立直線和橢圓的方程得丁丁，

KU

C

整理得（〃+〃）y2-2cb2y+c&-a%2=o,則y+y?=,,，y、y，=丫；?,

a+b-~a-\-b~

且耳8=2曲，可得%=-2y,則_）,=學f，-2y；=叫一管,

1'a2+h2a-+b-

所以-2（孚"一%：U”可得9c2=2后,所以e=￡=也

a-+ba+b~a3

故答案為：立

4.(2021?沙坪壩?重慶一中高三月考)已知雙曲線<7:￡-[=1(。>0乃>0)的左、右焦點分別為耳，鳥，過

a-b

「作直線/垂直于雙曲線的一條漸近線，直線/與雙曲線的兩條漸近線分別交于4占兩點，若A耳=2耳8,

且4>2,則雙曲線「的離心率e的取值范圍為.

由題意，雙曲線「的漸近線為y=±2x,若過耳作直線/垂直y=2x于8,交y=-^x于4耳(―c,O).

aaa

V麗=片5且4>2,

6在A、8之間，如上圖不，令/：y=—：(x+c),

即行

Aababca2-b22a2-c2

J>2,故（3。2-4）（。2-2）<0,得&</<2,又e>l,

【題組五最值（范圍）】

1.（2021?全國（文））己知一ABC是等腰直角三角形，ZA=9O°,AB^AC=4,S是平面ABC內一點,

貝I]SA-（SB+SC）的最小值為（）

A.-4D.-6

【答案】A

【解析】如圖建立坐標系，則A（0,2⑹聞-2也0）,42夜,0）,設S（x,y）

SA=",2夜-y),SB+SC=(-2>/2-x,-y)+(2忘一x,-y)=(-2x,-2y),

SA(SB+SC)=2x2+2y2-4夜y=2x2+2(y->/2)2-4>-4

dB+SC)最小值為-4,

故選：A.

2.（2021?天津南開?高三）在直角梯形ABC。中，AD±AB,CD//AB,AB=2AD=2DC=2,E為BC近

上一點，BC=3EC，尸為直線AE上一點，則CF-FB的最大值為（）

A.色B,-AC,2D.-2

13132020

【答案】C

【解析】以A為原點，AB,所在的直線分別為x、V軸建立如圖所示的平面直角坐標系，

所以A（0,0）,B（2,0）,C（l,l）,0（0,1）,

設則3c=（—1,1）,EC=（l-x0,l-%）,因為BC=3EC，

所以=解得與=：,%=',噌

所以直線AE所在的宜線方程為y=設尸（X,y）,

CF=(x-l,y-l),FB=(2-x,-y),

ly.CF-FB=(x-l,y-l)-(2-x,-y)=(x-1)(2-

--fx--Y+—.因為F為直線AE上一點，

415J20

79

所以當x=m時C/./IB有最大值，為疝，

故選：C.

3（2021?全國高三專題練習）已知4B是圓x2+V=4上的兩個動點，且滿足|明=26,點P（G,旬,

則P4PB的最小值為（）

A.gB.—C.1D.7-2"

22

【答案】C

[解析】設例中點為M,則OM_LAB,且10叫=看-（我2=1,

所以M在以。為圓心，1為半徑的圓上，

所以P4PB=（PM+MA）.（PM+MB）=（PM+MA）.（PM-MA）

=向2TM4『=向2_3,

又”的軌跡方程為：x2+y2=],

所以〃到也軌跡的圓心的距離d=J（6-0）2+（6-0）2=3，

所以忖⑼的最小值為d-?3T=2,

所以PAP3=|PM1-3的最小值為”一3=1.

故選：c

4.（2021?江西上饒?高三（理））如圖，AB是圓。的一條直徑且AB=2,EF是圓。的一條弦，且痔=1,

點尸在線段EF上，則RVP8的最小值是（）

【答案】B

【解析】由題意可得，

=（尸O+OA）?（尸O+OB）=（尸O+OA）?（尸O—OA）=|PO『一|OA『=|PO『一1,

為使10Pl最小，只需OP_LEF,根據圓的性質可得，此時尸為EF中點時；

乂所=1,因此凡「^^當，

所以PA?P3的最小值為-.

4

故選：B.

5.（2021?全國高三專題練習）已知向量a,b,同=咽=2,若對任意單位向量g,均有|“避+卜卜遙，

則”出的最大值是.

【答案】y

【解析】由向量三角不等式的關系|（。+6”閆。q+卜44指，

又對任意單位向量e,|（。+力＞4=|"+匕|^|e|^|cos＜a+》,e＞仁卜+司，當且僅當4+5與。共線時等號成立

.卜y/6

又a-b=；[（a+b）2_2a2_2Z?2+（a+b）2]=（[2（a+6）2_10]4；

則d石的最大值是3?

故答案為：;

6.(2021?浙江省富陽中學)在平面內，若有1可=。2=1,卜卜2,(c-a).(2c-a-8)=0,則c/的最大

值為.

［答案］212^

4

【解析】根據條件，〃山=|a||b|cosva,r>=2cosva,力>=1；

,1

/.cos<a,b>=—；

2

<a,h>=￡,如圖，作OA=a,OB=b,則NAOB=f,連接ABAB的中點D,連接OD,則OD=^-：

332

由(c-〃).(2c-4-〃)=0得，(c-a)*(c-"+”)-0:

2

?./?(c-aX)I-/L(c-。+-力-)、；

2

作OC=e，連接AC，CD,則AC=c-a,￡)C=c■-孚；