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數(shù)學(xué)模型第一章第一頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三既然學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是應(yīng)用,那么,作為高等教育中的數(shù)學(xué)教育就應(yīng)該講怎樣用數(shù)學(xué).我們這門(mén)課程的教學(xué)目的正是如此.我們應(yīng)該將這門(mén)課程當(dāng)作一門(mén)技術(shù)課程而不是理論知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)理論是枯燥的,數(shù)學(xué)結(jié)論是完美的,數(shù)學(xué)應(yīng)用是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會(huì)發(fā)展所必須的.馬克思曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“一門(mén)科學(xué)只有成功地運(yùn)用了數(shù)學(xué)時(shí),才算達(dá)到了完善的地步.”事實(shí)上,在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天特別是信息技術(shù)無(wú)處不在的時(shí)代,那么,數(shù)學(xué)就會(huì)無(wú)處不在.第二頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三從科學(xué)研究到工程技術(shù),從工業(yè)生產(chǎn)到農(nóng)業(yè)發(fā)展,從醫(yī)藥衛(wèi)生到文化體育,從經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)到政策法律,從環(huán)境保護(hù)到社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展等等,數(shù)學(xué)隨同計(jì)算機(jī)滲透到整個(gè)社會(huì)的方方面面.學(xué)好數(shù)學(xué),用好數(shù)學(xué),將成為當(dāng)代大學(xué)生的必要條件之一.本課程的教材為:《數(shù)學(xué)模型》:姜啟源編,高等教育出版社本課程的參考書(shū):
《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》:蕭樹(shù)鐵等,高等教育出版社《運(yùn)籌學(xué)》:李維錚等編寫(xiě),清華大學(xué)出版社《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》:章棟恩等編,高等教育出版社第三頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》:M.H.College編,白峰杉等譯,高等教育出版社,Springer出版社《數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐》:美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)(COMAP)組織編寫(xiě),申大維等翻譯,高等教育出版社,Springer出版社《Mathematica應(yīng)用指南》:楊玨等編,人民郵電出版社第四頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三思維模型物理模型直觀模型理想(抽象)模型物質(zhì)(形象,實(shí)物)模型數(shù)學(xué)模型符號(hào)模型模型的分類(lèi)二、數(shù)學(xué)模型第五頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三或者描述為:對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定問(wèn)題,為了一個(gè)特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling):是指對(duì)一個(gè)特定的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的獲得、求解這一模型、用其解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、最終應(yīng)用于實(shí)踐的整個(gè)過(guò)程.數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel):是由數(shù)字、字母、數(shù)學(xué)符號(hào)組成的,用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形、算法.第六頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三1.應(yīng)用領(lǐng)域分類(lèi):如人口、交通、資源、經(jīng)濟(jì)等模型;2.數(shù)學(xué)方法分類(lèi):如初等、幾何、優(yōu)化、圖論等模型;3.建模目的分類(lèi):如分析、預(yù)報(bào)、決策、控制的模型;4.對(duì)模型的了解程度分類(lèi):白箱、黑箱、灰箱模型;5.模型的數(shù)學(xué)特性分類(lèi):確定性模型和隨機(jī)性模型;靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型;線性模型和非線性模型;離散模型和連續(xù)模型.數(shù)學(xué)模型的分類(lèi):第七頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三航行問(wèn)題:甲乙兩地相距750公里,船從甲地到乙地順?biāo)叫行枰?0小時(shí),從乙地到甲地逆水航行需要50小時(shí),問(wèn)船速和水流速各是多少?用x,y分別表示船速和水流速,依據(jù)問(wèn)題的描述可以用二元一次方程組來(lái)描述,即此式就是航行問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,它將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題.其解法是大家熟知的,即x=20(公里/小時(shí)),y=5(公里/小時(shí)),這就是航行問(wèn)題的答案.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型第八頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三在高等數(shù)學(xué)的微分方程內(nèi)容中我們介紹了兩個(gè)實(shí)例,即物體的自由振蕩問(wèn)題和串聯(lián)電路的振蕩問(wèn)題,分別得到了它們的微分方程模型:從實(shí)際(物理)意義上看,這是兩個(gè)完全不同的問(wèn)題,但是從它們的數(shù)學(xué)模型來(lái)看,都是二階常系數(shù)線性微分方程,數(shù)學(xué)意義上沒(méi)有區(qū)別.第九頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三1.模型的逼真性和可行性;2.模型的強(qiáng)健性(穩(wěn)定性);3.模型的可推廣性(可轉(zhuǎn)移性);4.模型的非預(yù)制性;5.模型的局限性;6.建立模型的條理性;7.建立模型的漸進(jìn)性;8.建立模型的技藝性.數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn):第十頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三
數(shù)學(xué)建模的具體過(guò)程為:從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā),對(duì)其進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化,建立符合該現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,并利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解,進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出解釋,反復(fù)此過(guò)程,直到對(duì)問(wèn)題的解答滿意后,再進(jìn)行推廣應(yīng)用于與此問(wèn)題相關(guān)的一類(lèi)問(wèn)題.這一點(diǎn)將在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中詳細(xì)介紹.由于推廣的需要,有時(shí)需要對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,即,由于參數(shù)的變化模型對(duì)解的穩(wěn)定性,這也是模型優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一.三、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和方法第十一頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型求解計(jì)算應(yīng)用于實(shí)踐抽象簡(jiǎn)化否結(jié)束解釋實(shí)際問(wèn)題類(lèi)型方法是結(jié)果分析分析預(yù)報(bào)決策控制數(shù)學(xué)建模過(guò)程框圖第十二頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三建立數(shù)學(xué)模型的步驟模型準(zhǔn)備:了解背景,明確目的,搜集信息,弄清對(duì)象的特征,了解有關(guān)的專業(yè)知識(shí).
模型假設(shè):根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的,進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化,用精確的相關(guān)專業(yè)語(yǔ)言作出假設(shè).發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力,辨別主次因素.
模型構(gòu)成:根據(jù)假設(shè),分析因果關(guān)系,利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和數(shù)學(xué)工具,構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系和(或)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具,便于應(yīng)用和推廣.第十三頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三
模型求解:采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法,特別是計(jì)算機(jī)技術(shù).模型分析:對(duì)模型的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,分析變(常)量間的依賴關(guān)系和穩(wěn)定狀況,有時(shí)需要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策、預(yù)報(bào)或控制.要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析或靈敏性分析.
模型檢驗(yàn):把數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯回實(shí)際問(wèn)題,與實(shí)際的現(xiàn)象或數(shù)據(jù)相比較,檢驗(yàn)?zāi)P偷暮侠硇院瓦m用性.
模型應(yīng)用:它取決于問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的.第十四頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三建立數(shù)學(xué)模型的方法機(jī)理分析:根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí),分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律.由此建立的數(shù)學(xué)模型常有明確的現(xiàn)實(shí)意義.測(cè)試分析:將研究對(duì)象視為“黑箱”系統(tǒng),不直接尋求內(nèi)部機(jī)理,利用測(cè)試系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析的方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類(lèi)模型中選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.這種方法也稱為系統(tǒng)識(shí)別.往往這兩種方法同時(shí)使用:用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)識(shí)別確定模型的參數(shù).第十五頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三1.有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力,如微積分、解析幾何、(常)微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、運(yùn)籌學(xué)等,及其相關(guān)的解(算)法.2.有嚴(yán)密的邏輯思維和推理能力;3.充分發(fā)揮想象力和洞察力;4.掌握科學(xué)的方法:如類(lèi)比法、遞歸法、理想化方法等;5.具有一定的直覺(jué)和靈感.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力:第十六頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三與數(shù)學(xué)建模密切相關(guān)的問(wèn)題是數(shù)學(xué)模擬,由于這種模擬是以計(jì)算機(jī)為重要工具進(jìn)行的,所以又稱為計(jì)算機(jī)模擬(ComputerSimulation)
.隨著計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)的發(fā)展,特別是微型計(jì)算機(jī)的普及,數(shù)學(xué)教育工作者們發(fā)現(xiàn),沿著定義→假設(shè)→證明→推論這么一條演繹的道路進(jìn)行的數(shù)學(xué)教育完全可以從一條用歸納方法和實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行,即,實(shí)例→上機(jī)實(shí)驗(yàn)→發(fā)現(xiàn)規(guī)律→提出猜想→論證證明→應(yīng)用于實(shí)踐這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).四、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第十七頁(yè),共十八頁(yè),編輯于2023年,星期三數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是新的教育思想的產(chǎn)物.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程在國(guó)外有二十多年的
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