自動控制原理第2章-數(shù)學基礎課件

第2章數(shù)學基礎12023/6/92.1拉普拉斯變換本章內(nèi)容2.2拉普拉斯反變換2.3Matlab運算基礎第2章數(shù)學基礎22.1拉普拉斯變換2.1.1拉普拉斯變換的定義

拉普拉斯變換可將時域函數(shù)f(t)變換為頻域函數(shù)F(s)。只要f(t)在區(qū)間[0,∞]有定義，則有2023/6/9第2章數(shù)學基礎32.1拉普拉斯變換上式是拉氏變換的定義式。由定義式可知：一個時域函數(shù)通過拉氏變換可成為一個復頻域函數(shù)。式中的e-st稱為收斂因子，收斂因子中的s=+j是一個復數(shù)形式的頻率，稱為復頻率，其實部恒為正，虛部既可為正、為負，也可為零。上式左邊的F(s)稱為復頻域函數(shù)，是時域函數(shù)f(t)的拉氏變換，F(xiàn)(s)也叫做f(t)的象函數(shù)。記作2023/6/9第2章數(shù)學基礎42.1拉普拉斯變換【例2-1】求單位階躍函數(shù)

、單位沖激函數(shù)

、指數(shù)函數(shù)

的象函數(shù)。解：2023/6/9第2章數(shù)學基礎52.1拉普拉斯變換2.1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)1．線性性質(zhì)設函數(shù)

和函數(shù)的象函數(shù)分別為和，和是兩個任意的實數(shù)，則2023/6/9第2章數(shù)學基礎62.1拉普拉斯變換2．微分性質(zhì)函數(shù)

的象函數(shù)與其導數(shù)

的象函數(shù)之間有如下關系：若：則有：2023/6/9第2章數(shù)學基礎72.1拉普拉斯變換3．積分性質(zhì)函數(shù)

的象函數(shù)與其積分

的象函數(shù)之間滿足如下關系：若：則有：2023/6/9第2章數(shù)學基礎82.1拉普拉斯變換4．延遲性質(zhì)函數(shù)

的象函數(shù)與其延遲函數(shù)

的象函數(shù)之間有如下關系：若：則有：2023/6/9第2章數(shù)學基礎92.1拉普拉斯變換5．終值定理函數(shù)

及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，則

的終值為：2023/6/9第2章數(shù)學基礎102.1拉普拉斯變換6．初值定理函數(shù)

及其一階導數(shù)都是可拉氏變換的，則

的初值為：2023/6/9第2章數(shù)學基礎112.1拉普拉斯變換7．卷積性質(zhì)卷積的定義為：若

和可以進行拉氏變換，稱積分

為和

的卷積。記為

，即2023/6/9第2章數(shù)學基礎122.1拉普拉斯變換卷積定理為：若

，，則：即，兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。卷積性質(zhì)在求解拉式反變換的時候，起著十分重要的作用。2023/6/9第2章數(shù)學基礎132.2拉普拉斯反變換2.2.1拉普拉斯反變換的定義拉式反變換的定義如下：式中σ為正的有限常數(shù)。通?？捎梅?/p>

表示對方括號里的復變函數(shù)作拉氏反變換，記作2023/6/9第2章數(shù)學基礎142.2拉普拉斯反變換2.2.2拉普拉斯反變換的部分分式展開自動控制系統(tǒng)的響應的象函數(shù)F(s)通?？梢员硎緸閮蓚€實系數(shù)的s的多項式之比，即s的一個有理分式：其中m和n為正整數(shù)，且n≥m。2023/6/9第2章數(shù)學基礎152.2拉普拉斯反變換

把上式F(s)分解成若干簡單項之和，需要對分母多項式作因式分解，求出D(s)=0的根，可以有三種情況：D(s)=0有n個單根D(s)=0有重根D(s)=0有共軛復根2023/6/9第2章數(shù)學基礎162.2拉普拉斯反變換1、D(s)=0有n個單根設n個單根分別為p1,p2，…,pn，于是F(s)可以展開為：式中，k1,k2，…,kn為待定系數(shù)。2023/6/9第2章數(shù)學基礎172.2拉普拉斯反變換待定系數(shù)確定方法：上式兩邊同乘以

，得令

，等式除右邊第一項外其余都變?yōu)榱?，即可求得同理，可求得其余的系?shù)。2023/6/9第2章數(shù)學基礎182.2拉普拉斯反變換

待定系數(shù)確定之后，對應的原函數(shù)求解公式為：2023/6/9第2章數(shù)學基礎192.2拉普拉斯反變換【例2-1】求

的原函數(shù)f(t)。解：

的兩個根為：,代入公式得2023/6/9第2章數(shù)學基礎202.2拉普拉斯反變換得到象函數(shù)為：得到原函數(shù)為：2023/6/9第2章數(shù)學基礎212.2拉普拉斯反變換2、D(s)=0有重根設p1為D(s)=0的重根，其余的全部都為單根，則F(s)可以分解為對于單根，仍然采用前面的方法計算。2023/6/9第2章數(shù)學基礎222.2拉普拉斯反變換對于和，則需要用到下式：由上式把

單獨分離出來，可得：再對式上中的s求一階導數(shù)，分離，得2023/6/9第2章數(shù)學基礎232.2拉普拉斯反變換如果D(s)=0具有q階重根時，其余為單根時的分解式為式中 ……2023/6/9第2章數(shù)學基礎242.2拉普拉斯反變換【例2-2】求

的原函數(shù)f(t)解：令=0重根為p1=0，單根為p2=-22023/6/9第2章數(shù)學基礎252.2拉普拉斯反變換2023/6/9第2章數(shù)學基礎262.2拉普拉斯反變換得到象函數(shù)為：得到原函數(shù)為：2023/6/9第2章數(shù)學基礎272.2拉普拉斯反變換3、D(s)=0有共軛復根設共軛復根為

，則2023/6/9第2章數(shù)學基礎282.2拉普拉斯反變換由于F(s)是實系數(shù)多項式之比，故k1和k2也為共軛復數(shù)。設，則，有2023/6/9第2章數(shù)學基礎292.2拉普拉斯反變換【例2-3】求

的原函數(shù)f(t)解：求得兩共軛復根為2023/6/9第2章數(shù)學基礎302.2拉普拉斯反變換2023/6/9第2章數(shù)學基礎312.3MATLAB運算基礎2.3.1矩陣運算1．矩陣的建立

矩陣是以“[”為開始，以“]”為結束，矩陣同一行之間以空格或者逗號分隔，行和行之間以分號或者回車符分隔。建立矩陣的方法有直接輸入矩陣的元素、在現(xiàn)有矩陣中添加或者刪除元素、采用現(xiàn)有的矩陣組合、矩陣轉(zhuǎn)向、矩陣移位及直接通過函數(shù)建立矩陣等。2023/6/9第2章數(shù)學基礎322.3MATLAB運算基礎2．矩陣的函數(shù)建立（1）單位矩陣

單位矩陣可以用函數(shù)“eye(m,n)”實現(xiàn)，其中：m是要生成的矩陣的行數(shù)，n是要生成的矩陣的列數(shù)。（2）全為1的矩陣

全部元素為1的矩陣可以用函數(shù)“ones(m,n)”來生成，其中：m是要生成的矩陣的行數(shù)，n是要生成的矩陣的列數(shù)。2023/6/9第2章數(shù)學基礎332.3MATLAB運算基礎（3）全為0的矩陣

元素全部為0的矩陣可以用函數(shù)“zeros(m,n)”來生成，其中：m是要生成的矩陣的行數(shù)，n是要生成的矩陣的列數(shù)。（4）魔方矩陣

魔方矩陣可以用函數(shù)“magic(m)”來生成，其中：m是要生成的矩陣的維數(shù)。2023/6/9第2章數(shù)學基礎342.3MATLAB運算基礎（5）隨機矩陣

隨機矩陣可由函數(shù)“rand(m,n)”或者“randn(m,n)”來實現(xiàn)，它們分別表示生成的元素服從0~1間的均勻分布的隨機矩陣，元素服從均值為0和方差為1的正態(tài)分布的隨機矩陣。3．矩陣的基本運算

矩陣之間可以進行加“+”、減“-”、乘“*”、除“/”、“\”、冪“^”、對數(shù)“l(fā)ogm”、和指數(shù)“expm”運算。在進行左除“/”和右除“\”時，兩個矩陣的維數(shù)必須相同。2023/6/9第2章數(shù)學基礎352.3MATLAB運算基礎4．矩陣的函數(shù)運算（1）矩陣的行列式和轉(zhuǎn)置

矩陣的行列式的值可以用函數(shù)“det()”來計算；轉(zhuǎn)置矩陣是矩陣元素的轉(zhuǎn)換，可用函數(shù)“rot90”、“fliplr”等來實現(xiàn)。（2）矩陣的特征值和特征向量

矩陣的特征值和特征向量的運算可用函數(shù)“eig()”或者“eigs()”來實現(xiàn)。（3）矩陣的秩和跡

矩陣的秩可用函數(shù)“rank()”來實現(xiàn)，矩陣的跡可用函數(shù)“trace()”來實現(xiàn)。2023/6/9第2章數(shù)學基礎362.3MATLAB運算基礎2.3.2符號運算1、符號對象的創(chuàng)建和使用符號對象的創(chuàng)建可由函數(shù)“sym()”和“syms()”完成2、符號表達式的操作MATLAB符號表達式的操作涉及符號運算中的因式分解、展開、化簡等，它們在符號運算中非常重要，其相關的一些函數(shù)操作命令及功能如下表2023/6/9第2章數(shù)學基礎372.3MATLAB運算基礎2023/6/9第2章數(shù)學基礎382.3MATLAB運算基礎2.3.3關系運算和邏輯運算在MATLAB中，關系運算和邏輯運算有其規(guī)定的關系運算符號和邏輯運算符號，其符號和功能如表2023/6/9第2章數(shù)學基礎39關系運算符邏輯運算符2.3MATLAB運算基礎此外MATLAB還提供了幾個關系和邏輯函數(shù)這些函數(shù)有：xor(x,y)，該函數(shù)表示邏輯異或，如果x或者y