數(shù)學(xué)家與函數(shù)

數(shù)學(xué)家與函數(shù)第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三實驗中學(xué)2013屆八班數(shù)學(xué)研究性課題組長：張巖副組長：張宇翔圖片收集：張齡予、買云婷文字收集：沈志明、羅大偉感受總結(jié)：李佳奇修改：陳濮第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

目錄contents

什么是函數(shù)：中國數(shù)學(xué)家：祖沖之李善蘭華羅庚外國數(shù)學(xué)家：笛卡爾萊布尼茨歐拉柯西狄利克雷大家的感受：張巖張宇翔買云婷張齡予沈志明羅大偉李佳奇陳濮總的感受老師的評價：函數(shù)之美：葉形線箕舌線雙紐線李薩茹曲線薔薇線阿基米德線耐克線星形線其他函數(shù)之美的調(diào)查：第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三什么是函數(shù)函數(shù)（function）表示每個輸入值對應(yīng)唯一輸出值的一種對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)f中對應(yīng)輸入值的輸出值x的標(biāo)準(zhǔn)符號為f(x)。包含某個函數(shù)所有的輸入值的集合被稱作這個函數(shù)的定義域，包含所有的輸出值的集合被稱作值域。若先定義映射的概念，可以簡單定義函數(shù)為，定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種對應(yīng)關(guān)系，是從非空數(shù)集A到實數(shù)集B的對應(yīng)。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數(shù)。精確地說，設(shè)X是一個非空集合，Y是非空數(shù)集，f是個對應(yīng)法則，若對X中的每個x，按對應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應(yīng)，就稱對應(yīng)法則f是X上的一個函數(shù)，記作y＝f（x），稱X為函數(shù)f（x）的定義域，集合{y|y=f（x），x∈R}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習(xí)慣上也說y是x的函數(shù)。對應(yīng)法則和定義域是函數(shù)的兩個要素。

返回目錄第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三祖沖之他寫的《綴術(shù)》一書，被收入著名的《算經(jīng)十書》中，作為唐代國子監(jiān)算數(shù)課本，可惜后來失傳了?！端鍟ぢ蓞栔尽妨粝乱恍《侮P(guān)于圓周率（π）的記載，祖沖之算出π的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.1415926，成為當(dāng)時世界上最先進的成就。祖沖之入選中國世界記錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計算到小數(shù)第7位的科學(xué)家，創(chuàng)造了中國紀(jì)協(xié)世界之最。這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西打破。祖沖之還給出π的兩個分?jǐn)?shù)形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)。祖沖之還和兒子祖暅一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計算問題，得到正確的球體積公式。我們的看法：祖沖之不僅是我國歷史上杰出的科學(xué)家，而且在世界科學(xué)發(fā)展史上也有崇高的地位。祖沖之創(chuàng)造“密率”，是世界聞名的。我們應(yīng)該紀(jì)念像祖沖之這樣的科學(xué)家，珍視他們的寶貴遺產(chǎn)。

返回目錄第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三李善蘭李善蘭,原名李心蘭,字竟芳,號秋紉,別號壬叔.生于1811年1月2日,浙江海寧人,是近代著名的數(shù)學(xué),天文學(xué),力學(xué)和植物學(xué)家，創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式,各種三角函數(shù),反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式,這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就。自幼喜好數(shù)學(xué)，后以諸生應(yīng)試杭州，得元代著名數(shù)學(xué)家李冶撰《測圓海鏡》，據(jù)以鉆研，造詣日深。道光間，陸續(xù)撰成《四元解》、《麟德術(shù)解》、《弧矢啟秘》、《方圓闡幽》及《對數(shù)探源》等，聲名大起。我們的看法：李善蘭創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式,各種三角函數(shù),反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式,這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就。返回目錄第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三華羅庚

已故數(shù)學(xué)大師華羅庚院士是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的創(chuàng)始人。他關(guān)于典型域上多元復(fù)變數(shù)函數(shù)論的研究，于1956年獲得第一屆國家自然科學(xué)獎一等獎。

華羅庚1958年在科學(xué)出版社出版了《多復(fù)變函數(shù)論中典型域上的調(diào)和分析》一書。此書的初稿完成于1954年，是申請一等獎的依據(jù)。此書一出版就引起了國際上的高度重視。首先是蘇聯(lián)科學(xué)院Steklov數(shù)學(xué)研究所于同年來函要求將此書翻譯成俄文出版（但由于蘇聯(lián)人同時精通中文及數(shù)學(xué)的不多，請華羅庚先譯成英文，再由他們譯成俄文出版）。英文版是1963年從俄文版再翻譯成英文，由美國數(shù)學(xué)會出版的。英文版出版后，此書受到國際數(shù)學(xué)界的普遍關(guān)注和高度評價，成為該領(lǐng)域研究的必然要引用的書籍。丘成桐教授（菲爾茲獎、瑞典科學(xué)院卡拉夫獎、美國國家科學(xué)獎獲得者）說，華羅庚這方面的研究成果領(lǐng)先世界十年。

我們的看法：治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家，科學(xué)成就斐然。在美國過著優(yōu)越的生活，但是心系祖國，新中國成立后，他毅然拋棄優(yōu)厚的待遇回國支援國家建設(shè)，并帶動起一批海外人才的歸國熱潮，是當(dāng)代知識分子的榜樣。返回目錄

第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三笛卡爾笛卡爾最杰出的成就是在數(shù)學(xué)發(fā)展上創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。在笛卡兒時代，代數(shù)還是一個比較新的學(xué)科，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的研究，于1637年，在創(chuàng)立了坐標(biāo)系后，成功地創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。解析幾何直到現(xiàn)在仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一。笛卡爾不僅提出了解析幾何學(xué)的主要思想方法，還指明了其發(fā)展方向。他在《幾何學(xué)》中，將邏輯，幾何，代數(shù)方法結(jié)合起來，通過討論作圖問題，勾勒出解析幾何的新方法，從此，數(shù)和形就走到了一起，數(shù)軸是數(shù)和形的第一次接觸。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上一次劃時代的轉(zhuǎn)折。而平面直角坐標(biāo)系的建立正是解析幾何得以創(chuàng)立的基礎(chǔ)。直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念可以用代數(shù)形式來表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來表示，于是代數(shù)和幾何就這樣合為一家人了。我們的看法：笛卡爾在哲學(xué)上是二元論者，并把上帝看作造物主。但笛卡兒在自然科學(xué)范圍內(nèi)卻是一個機械論者，這在當(dāng)時是有進步意義的。笛卡爾堪稱17世紀(jì)及其后的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學(xué)的始祖”。返回目錄第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三萊布尼茨戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（GottfriedWilhelmvonLeibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分的創(chuàng)建人。最早提出函數(shù)（function）概念的，是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪，如y=kx+b都叫函數(shù)。以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。 萊布尼茨曾討論過負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出復(fù)數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復(fù)數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結(jié)論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學(xué)的基本概念。我們的看法：萊布尼茨在數(shù)學(xué)方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。他的一系列重要數(shù)學(xué)理論的提出，為后來的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。返回目錄

第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三歐拉萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被一些數(shù)學(xué)史學(xué)者稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個使用“函數(shù)”一詞來描述包含各種參數(shù)的表達式的人，例如：y=F(x)(函數(shù)的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一。歐拉的數(shù)學(xué)生涯開始于牛頓(Newton)去世的那一年。對于歐拉這樣一個天才人物，不可能選擇到一個更有利的時代了。解析幾何(1637年問世)已經(jīng)應(yīng)用了90年，微積分大約50年，牛頓(Newton)萬有引力定律這把物理天文學(xué)的鑰匙，擺到數(shù)學(xué)界人們面前已40年。在這每一個領(lǐng)域之中，都已解決了大量孤立的問題，同時在各處做了進行統(tǒng)一的明顯嘗試。但是還沒有像后來做的那樣，對整個數(shù)學(xué)，純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，進行任何有系統(tǒng)的研究。特別是笛卡兒(Descrates)、牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)強有力的分析方法還沒有像后來那樣被充分運用，尤其在力學(xué)和幾何學(xué)中更是如此。我們的看法：歐拉的天才使純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域都得到了充實，他的數(shù)學(xué)物理成果有著無限廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。

返回目錄第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三柯西柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。當(dāng)時有些數(shù)學(xué)家對于不用公式來表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有的數(shù)學(xué)家甚至抱懷疑態(tài)度。他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。1821年，法國數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞。我們的看法：人總是要死的，但是，他們的功績永存。返回目錄第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三狄利克雷

德國數(shù)學(xué)家。對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學(xué)時曾受教于物理學(xué)家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學(xué)，深受J.-B.-J.傅里葉的影響?；貒笙群笤诓祭姿箘诖髮W(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教27年，對德國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學(xué)教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！边@個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應(yīng)用提供了方便。因此，這個定義曾被比較長期的使用著。我們的看法：狄利克雷是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的真正遠祖，他是頭一個在數(shù)學(xué)中重視概念，并有意識地“以概念來代替運算”的人。返回目錄

第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄葉形線

其解析式為：x3+y3=3axy

第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄箕舌線

其解析式為y(x2+4a2)=8a3第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄雙紐線

解析式：(x2+y2)2=2a2(x2?y2)

第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三其中，返回目錄李薩茹曲線第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三其別名很多，如玫瑰曲線等返回目錄薔薇線

薔薇線是使用了極坐標(biāo)系的三角函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)形式為：

第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三這是一個三葉薔薇曲線，其極坐標(biāo)解析式為：第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三這是一個四葉薔薇曲線，其極坐標(biāo)解析式為：返回目錄第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄阿基米德線

第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄耐克線第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄星形線第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三

第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三返回目錄

第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三張巖、張宇翔的感受：現(xiàn)實世界是數(shù)學(xué)的豐富源泉,數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,日用之繁,無處不用數(shù)學(xué)。這是對數(shù)學(xué)與生活的精彩描述。這次活動，讓我們體會到了數(shù)學(xué)的魅力。并深深愛上了這門偉大的學(xué)科。許多許多的石頭堆積起來可以變成一座巨大的高山；許多許多的磚頭壘筑起來，可以砌成萬里長城。螞蟻雖小，但許多螞蟻團結(jié)在一起，能拖動一根很大的骨頭；一個人的力量雖小，但許多微弱的力量匯合在一起，就能排山倒海，戰(zhàn)勝一切！正是因為我們8個人一起努力，一起學(xué)習(xí)，才完成了我們這次的課題學(xué)習(xí)，我們在快樂中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中享受快樂。我們在探究中不光學(xué)到了知識，還學(xué)會了團結(jié)，學(xué)會了享受學(xué)習(xí)。返回目錄

第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三張齡予、買云婷的感受：通過這次數(shù)學(xué)函數(shù)與科學(xué)家的課題學(xué)習(xí)，我們了解了很多知識。數(shù)學(xué)家們將自己的人生奉獻于數(shù)學(xué)的海洋中。我們應(yīng)學(xué)習(xí)他們堅持不懈的精神。在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這些知識一定會有很大的幫助。這次活動中，我深刻體會到數(shù)學(xué)源于生活，又反過來應(yīng)用于生活。數(shù)學(xué)最大的價值在于其應(yīng)用價值。馬克思曾說過：“一種科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到完善的地步?！睌?shù)學(xué)的應(yīng)用是廣泛的。從日常生活，到工業(yè)生產(chǎn)、商貿(mào)交易、天文地理、科學(xué)研究……數(shù)學(xué)的應(yīng)用無處不在。所以說，學(xué)好數(shù)學(xué)不光是為了考試，在實際生活當(dāng)中對我們也有極大的好處。這次活動，我們受益匪淺。返回目錄第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三沈志明、羅大偉的感受：

絢麗多彩的函數(shù)圖像，坎坷曲折的人生故事，源遠流長的發(fā)展歷程，構(gòu)成了生活中不可或缺的元素——數(shù)學(xué)。在這知識與知識的碰撞中給了我很多感悟，中外數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻，有的人不惜獻出生命，體現(xiàn)了他們偉大的科學(xué)探索精神，為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了飛躍的契機。美麗的函數(shù)圖像更加反映了人們的思想結(jié)晶。數(shù)學(xué)的殿堂以為我們敞開，讓我們乘著騰飛的翅膀去感悟多彩的數(shù)學(xué)世界吧！通過這次數(shù)學(xué)探究課題的學(xué)習(xí)，使我對數(shù)學(xué)這門學(xué)科更加了解，同時也讓我對于高中的數(shù)學(xué)有了一個新的認(rèn)識，相信通過這次課題的學(xué)習(xí)，會更有助于我對日后在學(xué)習(xí)上的幫助，理解，并且通過這次課題的學(xué)習(xí)，使我對數(shù)學(xué)這門學(xué)科更有興趣。讓我學(xué)習(xí)到了在平時課堂上都很難了解到的知識，這對我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有了很大的幫助。返回目錄第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三李佳奇、陳濮的感受：通過這次的制作數(shù)學(xué)課體活動，我了解到了許多有關(guān)于函數(shù)的歷史、來歷，以及那些為了數(shù)學(xué)的發(fā)展所做了巨大貢獻的數(shù)學(xué)家們和他們?yōu)榱诉@些成果所付出的努力。看過他們的故事后，我覺得我也應(yīng)該具有向他們那樣的吃苦耐勞，不怕苦，不怕累的精神。通過這次課題活動，我了解到了數(shù)學(xué)的來之不易，他是經(jīng)過古代的數(shù)學(xué)家不斷研究，幸苦付出，乃至付出了生命才得到了現(xiàn)在的成果，他們不畏艱難，廢寢忘食，是我們的數(shù)學(xué)有了如此巨大的發(fā)展，我們必須努力的學(xué)習(xí)