數(shù)值分析 插值法

數(shù)值分析插值法第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三22.1引言

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點(diǎn)

上的值，函數(shù)，若存在一簡單使成立，就稱為的插值函數(shù)，點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)的方法稱為插值法.第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三3

若是次數(shù)不超過的代數(shù)多項(xiàng)式，其中為實(shí)數(shù)，就稱為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值.

若為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值.

若為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值.即稱為多項(xiàng)式插值.第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三4

從幾何上看，插值法就是確定曲線，使其通過給定的個(gè)點(diǎn)，并用它近似已知曲線

.圖2-1見圖2-1.第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三5

本章主要研究如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)；

討論插值多項(xiàng)式的存在唯一性、收斂性及誤差估計(jì)等.第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三6

2.2多項(xiàng)式插值設(shè)在[a,b]上給定n+1個(gè)點(diǎn)

上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,…n),求次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)，滿足P(xi)=yi,(i=0,…n),

既滿足線性方程組第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三7

因?yàn)榫€性方程組的系數(shù)行列式

所以線性方程組的解存在且唯一。第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三8

在次數(shù)不超過的多項(xiàng)式集合中，滿足條件的插值多項(xiàng)式是存在唯一的.定理1第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三9

1.線性插值

對給定的插值點(diǎn)，可以用多種不同的方法求得插值多項(xiàng)式.

先討論的簡單情形.問題：給定區(qū)間及端點(diǎn)函數(shù)值，要求線性插值多項(xiàng)式，2.3拉格朗日插值使它滿足第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三10

其幾何意義就是通過兩點(diǎn)的直線.圖2-2如圖2-2.第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三11由的幾何意義可得到表達(dá)式（點(diǎn)斜式），（兩點(diǎn)式），

由兩點(diǎn)式看出，是由兩個(gè)線性函數(shù)的線性組合得到，其系數(shù)分別為及，即第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三12稱及為線性插值基函數(shù)，顯然，及也是線性插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)及上滿足條件圖形見圖2-3.第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三13圖2-3第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三14

根據(jù)插值的定義應(yīng)滿足先定義次插值基函數(shù).

為構(gòu)造，2.n次插值多項(xiàng)式第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三15

定義1就稱這個(gè)次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)上的次插值基函數(shù).

若次多項(xiàng)式在個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三16顯然它滿足條件.

于是，滿足條件的插值多項(xiàng)式Ln(x)可表示為

與前面的推導(dǎo)類似，次插值基函數(shù)為第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三17由的定義，知容易求得

若引入記號(hào)稱為拉格郎日（Lagrange)插值多項(xiàng)式而線性插值與拋物線插值是n=1和n=2的特殊情形第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三18于是上述公式可改寫成

注意:

次插值多項(xiàng)式通常是次數(shù)為的多項(xiàng)式，特殊情況下次數(shù)可能小于.

關(guān)于插值多項(xiàng)式存在唯一性有以下定理.第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三193.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)

設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)是滿足條件的插值多項(xiàng)式，則對任何，插值余項(xiàng)

若在上用近似，則其截?cái)嗾`差為也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng).定理2.第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三20

由給定條件知在節(jié)點(diǎn)上為零，即，其中是與有關(guān)的待定函數(shù).

現(xiàn)把看成上的一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)插值條件及余項(xiàng)定義，可知在點(diǎn)及處均為零，故在上有個(gè)零點(diǎn).證明于是第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三21根據(jù)羅爾定理，在的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn).

對再應(yīng)用羅爾定理，可知在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn).

依此類推，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為，使第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三22于是將它代入，

余項(xiàng)表達(dá)式只有在的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用.

但在內(nèi)的具體位置通常不可能給出，如果可以求出那么插值多項(xiàng)式逼近的截?cái)嗾`差限是且依賴于就得到余項(xiàng)表達(dá)式.第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三23當(dāng)時(shí)，線性插值余項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，拋物插值余項(xiàng)為第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三24若取，則

根據(jù)定理2，可得若令它可用來檢驗(yàn)函數(shù)組的正確性.第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三25由題意,取

用線性插值計(jì)算，例1已知的值并估計(jì)截?cái)嗾`差.用線性插值及拋物插值計(jì)算解取由點(diǎn)斜式公式（點(diǎn)斜式），第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三26第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三27

其截?cái)嗾`差其中于是第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三28

用拋物插值計(jì)算，由公式得第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三29

其中于是這個(gè)結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了.截?cái)嗾`差限第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三30第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三312.4.差商與牛頓插值公式

1.差商

利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化.第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三32其中為待定系數(shù)，確定.

為了克服這一缺點(diǎn)，可把插值多項(xiàng)式表示為如下便于計(jì)算的形式:可由個(gè)插值條件第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三33

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，依此遞推可得到.

當(dāng)時(shí)，推得推得由，由第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三34

稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的一階差商.稱為的二階差商.定義2第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三35

一般地，稱為的階差商.第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三36

第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三37差商有如下的基本性質(zhì)：

1°階差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)。稱為差商的對稱性.即第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三38

證：設(shè)由n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,…,xn和函數(shù)值yi=f(xi)（i=0,…,n)建立的Newton插值多項(xiàng)式為對上述節(jié)點(diǎn)任意調(diào)整次序，設(shè)為xk0,…,xkn和函數(shù)值yki=f(xki)（i=0,…,n)建立的Newton插值多項(xiàng)式為第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三39

根據(jù)插值多項(xiàng)式的唯一性，第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三402°由性質(zhì)1°與差商的定義證：由定義第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三41差商計(jì)算可列表如下（表2-1）.第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三42

首先根據(jù)給定函數(shù)表造出差商表.

給出的函數(shù)表（見表2-2），求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算的近似值.例2第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三43

從差商表看到4階差商近似常數(shù)，5階差商近似為0.

故取4次插值多項(xiàng)式做近似即可.于是

按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三443°若在上存在階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)

則階差商與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三45

第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三462.差分與等距節(jié)點(diǎn)插值

實(shí)際應(yīng)用時(shí)經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)的情形，這時(shí)插值公式可以進(jìn)一步簡化，計(jì)算也簡單得多.

1差分及其性質(zhì)

設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為已知，這里為常數(shù)，稱為步長.

為了得到等距節(jié)點(diǎn)的插值公式，先介紹差分的概念.第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三47記號(hào)定義3分別稱為在處以為步長的向前差分，向后差分及中心差分.

符號(hào)，，分別稱為向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三48

利用一階差分可定義二階差分為一般地可定義階差分為

第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三49

除了已引入的差分算子外，常用的算子符還有不變算子和移位算子定義如下：于是，由第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三50

差分基本性質(zhì).

性質(zhì)1其中為二項(xiàng)式展開系數(shù).例如各階差分均可用函數(shù)值表示.

第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三51

性質(zhì)2

例如，可用向前差分表示，所以可用各階差分表示函數(shù)值.因?yàn)榈谖迨豁摚擦?，編輯?023年，星期三52

性質(zhì)3

例如，對向前差分，差商與差分有密切關(guān)系.由定義第五十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三53

差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系又可得到其中，一般地有這就是差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.第五十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期三54

計(jì)算差分時(shí)可列差分表（見表2-3），表中