數(shù)學(xué)思想方法介紹

數(shù)學(xué)思想方法介紹第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)容一.前言二.中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法三.幾類常用的數(shù)學(xué)思想方法介紹

1.演繹法或公理化方法2.類比法3.歸納法與數(shù)學(xué)歸納法4.數(shù)學(xué)構(gòu)造法5.化歸法6.數(shù)學(xué)模型方法附：參考文獻第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三一.前言☆數(shù)學(xué)思想---對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認識，它是從某些具體數(shù)學(xué)認識過程中提煉和概括，而在后繼的認識活動中被反復(fù)證實其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識?！顢?shù)學(xué)方法---以數(shù)學(xué)為工具進行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)的語言表達事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運算與分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法?！疃哧P(guān)系---數(shù)學(xué)思想直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想具體化的反映。簡言之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)行為，數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起指導(dǎo)作用。第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三◆數(shù)學(xué)方法具有三個基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精確性，即邏輯的嚴密性及結(jié)論的確定性；（3）應(yīng)用的普遍性和可操作性?！魯?shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：（1）提供簡潔精確的形式化語言；（2）提供數(shù)量分析及計算的方法；（3）提供邏輯推理的工具。第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)研究的基本方法◆數(shù)學(xué)抽象方法◆數(shù)學(xué)模型方法◆數(shù)學(xué)研究活動的一般方法

數(shù)學(xué)中的邏輯方法◆數(shù)學(xué)定義方法◆邏輯劃分方法◆數(shù)學(xué)公理化方法數(shù)學(xué)解題的思維方法◆數(shù)學(xué)推理方法（演繹法、歸納法、類比法）◆分析法與綜合法◆數(shù)學(xué)實驗方法◆數(shù)形結(jié)合方法◆關(guān)系影射反演原則（換元法、初等變換方法）

二.中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)證明的重要方法◆反證法與同一法◆數(shù)學(xué)歸納法中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常用的具體方法◆待定系數(shù)法◆配方法◆基本量法◆遞推法第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三有人這樣給數(shù)學(xué)思想方法分類：1.操作性思想方法例如：換元法、配方法、待定系數(shù)法、割補法、構(gòu)造法等；2.邏輯性思想方法例如：抽象、概括、分析、綜合、演繹等；3.策略性思想方法例如：方程與函數(shù)、化歸、猜想、數(shù)形結(jié)合、整體與系統(tǒng)等。事實上，數(shù)學(xué)思想方法是有層次的。操作性思想方法、邏輯性思想方法、策略性思想方法，從思維的角度上看，層次是逐漸上升的。三.幾類常用的數(shù)學(xué)思想方法介紹第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三1.演繹法或公理化方法（邏輯思維方法）☆演繹法是由一般到特殊的推理，它在邏輯上的依據(jù)是三段論?！钛堇[法的重要性：1）數(shù)學(xué)理論都是用演繹推理組織起來的；2）它能超越技術(shù)與儀器的限制?！钛堇[法的基本構(gòu)件：定義（概念）、公理和定理。☆公理化方法的例子：歐幾里德《幾何原本》，希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》柯爾莫哥洛夫《概率論基礎(chǔ)》ZFC《公理化集合論》第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三2.類比法（數(shù)學(xué)創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的方法）☆類比是一種相似，即類比的對象在某些部分或關(guān)系上相似?！钊齻€層次：描述、說理、數(shù)學(xué)上的類比?！顢?shù)學(xué)上的類比：兩個系統(tǒng)，如果它們各自的部分之間，可以清楚地定義一些關(guān)系，在這些關(guān)系上，它們具有共性，那么，這兩個系統(tǒng)就可以類比?！锢樱?）線段、三角形、四面體2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三3）同態(tài)與同構(gòu)4）數(shù)的概念的擴充5）多項式理論與整數(shù)理論的類比整數(shù)＋、－、×帶余除法算術(shù)基本定理多項式＋、－、×帶余除法代數(shù)基本定理第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三3.歸納法（邏輯學(xué)中的方法）與數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)中的一般方法）☆歸納就是從特殊的、具體的認識推進到一般的認識的一種思維方法。歸納法是實驗科學(xué)最基本的方法。歸納法的特點：1）立足于觀察和實驗；2）結(jié)論具有猜測的性質(zhì)；3）結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容。歸納法用于猜測和推斷。例子：1)Fermat數(shù)(1640年，F(xiàn)n=22n+1,Fermat素數(shù)：3，5，17，257，65537)；2)Goldbach猜想（1742年）。

第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆數(shù)學(xué)歸納法：P(n)是一個含有自然數(shù)n的命題，如果（1）P(n)當(dāng)n=1時成立；（2）若P(k)成立的假定下，則P(k+1)也成立。那么P(n)對任意自然數(shù)n都成立。這兩個步驟，（1）稱為歸納起點，（2）稱為歸納推斷。

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其應(yīng)用范圍及其廣泛。第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)歸納法用于證明。例子：證明數(shù)列單調(diào)增加有上界。，，。第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)思想方法介紹(續(xù))《數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化》之第三講——第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三4．?dāng)?shù)學(xué)構(gòu)造法（基本數(shù)學(xué)方法）☆數(shù)學(xué)構(gòu)造法---數(shù)學(xué)中的概念或方法按固定的方式經(jīng)有限步驟能夠定義或?qū)崿F(xiàn)的方法?！顟?yīng)用---構(gòu)造概念、圖形、公式、算法、方程、函數(shù)、反例、命題等。☆構(gòu)造法在數(shù)學(xué)中的地位不僅古老，而且重要?！罾?）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根。2）求兩個正整數(shù)最大公因數(shù)的歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法。3）勾股定理（畢氏定理）。第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三宋刻本《周髀算經(jīng)》，（上海圖書館藏）第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”會標(biāo)第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例子：4）導(dǎo)數(shù)的概念。5）定積分的概念。練習(xí)：1.求證在任何兩個有理數(shù)a和b之間一定還有有理數(shù)。2.有沒有2000個連續(xù)自然數(shù)，它們都是合數(shù)？3.證明：素數(shù)的個數(shù)是無窮的。4.求證：對于定義域包含于實數(shù)集且關(guān)于原點對稱的任何函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三5.化歸法（基本數(shù)學(xué)方法）（1)特殊化與一般化，2)關(guān)系映射反演方法）☆化歸原則是指把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解答的一種手段和方法?！钇溥^程就是將一個問題由繁化簡，由難化易，由復(fù)雜化簡單，由未知化已知?！罨瘹w有三個要素：化歸的對象，化歸的目標(biāo)，化歸的手段。第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆使用各種化歸方法時一般應(yīng)遵循下面幾個原則：a)熟悉化原則b)簡單化原則c)和諧化原則☆實行化歸的常用方法有：特殊化與一般，關(guān)系映射反演（RMI），分解與組合…第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三1）特殊化與一般化☆依據(jù)（1）若命題P在一般條件下為真，則在特殊條件下P也為真；（2）若命題P在特殊條件下為假，則在一般條件下P也為假。☆特殊化方法---在研究一個給定集合的性質(zhì)時，先研究某些個體或子集的性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)每個個體都具有的特性后，再猜想給定集合的性質(zhì)，最后用嚴格的邏輯推理論證猜測的正確性；☆一般化方法---在研究一個給定集合的性質(zhì)時，先研究包含該集合的較大集合的性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)較大集合所具有的性質(zhì)，再根據(jù)特殊化與一般化的依據(jù)（1）推出所要證明的命題。第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三2）關(guān)系映射反演（RMI）方法基本思想：當(dāng)處理某問題甲有困難時，可以聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成?，把問題甲及其關(guān)系結(jié)構(gòu)R，映成與它有一一對應(yīng)關(guān)系，且易于考察的問題乙，在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)中問題乙處理完畢后，再把所得到的結(jié)果，通過映射反演到R，求得問題甲的結(jié)果。問題甲問題乙問題甲的解問題乙的解映射σ映射σ-1第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆RMI方法是一種矛盾轉(zhuǎn)化的方法，它可以化繁為簡，化難為易，化生為熟，化未知為已知，因而是數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的一種方法，數(shù)學(xué)中許多方法都屬于RMI方法，例如，分割法、函數(shù)法、坐標(biāo)法、換元法、復(fù)數(shù)法、向量法、參數(shù)法等。☆RMI方法不僅是數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛的方法，而且可以拓展到人文社會科學(xué)中去。例如，哲學(xué)家處理現(xiàn)實問題的思想方法，就可以看作RMI方法的拓展（客觀物質(zhì)世界---哲學(xué)家的思維---哲學(xué)理論體系---解決客觀世界的現(xiàn)實問題）。第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例1.證明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0，對任何實數(shù)m都有一個共同的實數(shù)解，并求此實數(shù)解。例2.計算p=a1/3b1/7數(shù)值。（對數(shù)）（原像關(guān)系---映像關(guān)系---求得映像的值---求得原像的值）例3.用解析幾何方法處理平面幾何問題。（幾何關(guān)系問題---代數(shù)關(guān)系問題---求出某些代數(shù)關(guān)系---確定某種幾何關(guān)系）第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三6.數(shù)學(xué)模型方法（基本數(shù)學(xué)方法）☆數(shù)學(xué)模型（MM）---針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！顢?shù)學(xué)模型方法（MM方法）---借助數(shù)學(xué)模型來揭示對象本質(zhì)特征和變化規(guī)律的方法?！罘诸悾?）由來---理論MM，經(jīng)驗MM2）使用工具---微分方程MM、概率MM…3)涉及變量的特征---離散MM、連續(xù)MM；線性MM、非線性MM；確定MM、隨機MM、模糊MM第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例1哥尼斯堡七橋問題（確定性模型）以上網(wǎng)絡(luò)中哪一個是可以遍歷的(即一筆而不重復(fù)地畫成)？第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三你能找到穿經(jīng)每個門各一次且筆不離紙的通道嗎？試證明你的結(jié)論．（摘自《數(shù)學(xué)趣聞集錦》,T·帕帕斯）第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三現(xiàn)實原型七橋問題數(shù)學(xué)模型一筆畫問題無解（一次過橋不可能）無解（一筆畫不可能）歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的思想方法框圖第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三例2.普豐投針實驗

1777年法國科學(xué)家布豐提出的一種計算圓周率的方法——隨機投針法，即著名的布豐投針問題。這一方法的步驟是：

1)取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線；

2)取一根長度為l（l<d）的針，隨機地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m；

3）計算針與直線相交的概率．

第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆MM構(gòu)造過程a）對現(xiàn)實原型，分析其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，以便確定MM的類別；b）要確定所研究的系統(tǒng)并抓住主要矛盾；c）要進行數(shù)學(xué)抽象。☆MM的特點a）在MM上應(yīng)具有嚴格推導(dǎo)（邏輯推理）的可能性以及導(dǎo)出結(jié)論的確定性；b）MM相對于較復(fù)雜的現(xiàn)實原型來說，應(yīng)具有化繁為簡、化難為易的特點。第三十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆數(shù)學(xué)建模的過程：模型準(zhǔn)備---模型假設(shè)---模型建立---模型求解---模型檢驗---模型應(yīng)用☆成功的MM:a）解釋已知現(xiàn)象；b）預(yù)言未知現(xiàn)象；c）被實踐所證明。☆數(shù)學(xué)模型的意義：a)對所研究的對象提供分析、預(yù)報、決策、控制等方面的定量結(jié)果；b)任何一項數(shù)學(xué)的應(yīng)用，主要或首先就是數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用。第三十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期三☆精彩范例：力學(xué)：牛頓萬有引力定律；電磁學(xué)：麥克斯韋方程組；