數(shù)值分析誤差

數(shù)值分析誤差第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三主要內(nèi)容誤差的來源與分類誤差與有效數(shù)字在近似計算中應(yīng)注意的幾個問題第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1.來源與分類

(Source&Classification)模型誤差參數(shù)誤差(觀測誤差)方法誤差(截斷誤差)舍入誤差第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

1.1

模型誤差(ModelingError)用計算機解決實際問題時，首先要建立數(shù)學(xué)模型，各種實際問題是十分復(fù)雜的，而數(shù)學(xué)模型是對被描述的實際問題進行抽象、簡化而得到的，往往忽略了一些次要因素，因而是近似的，我們把數(shù)學(xué)模型與實際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差。如自由落體公式忽略了空氣阻力。第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)學(xué)模型中的物理參數(shù)的具體數(shù)值，一般通過實驗測定或觀測得到的，因此與真值之間也有誤差，這種誤差稱為參數(shù)誤差或觀測誤差。例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，這個數(shù)值是由多次實驗而得到的結(jié)果實際的值有一定的誤差，這時g-9.8就是參數(shù)誤差。1.2

參數(shù)誤差(觀測誤差，MeasurementError)第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1.3

方法誤差

(截斷誤差TruncationError）在數(shù)學(xué)模型（包括參數(shù)值）確定以后，就常要考慮選用某種數(shù)值方法具體進行計算，許多數(shù)值方法都是近似方法，故求出的結(jié)果與準確值之間是有誤差的，該誤差稱為截斷誤差或方法誤差。例如，函數(shù)f(x)用Taylor多項式近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差為：第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三對于參與計算的數(shù)據(jù)用計算機做數(shù)值計算時，所計算數(shù)據(jù)的位數(shù)可能很多甚至可能有無窮多位，而計算機的字長有限的，因此只能對有限位進行計算，原始數(shù)據(jù)和計算結(jié)果在計算機上表示均用4舍5入或截去的方法進行處理，這種誤差稱為舍入誤差。例如用近似代替π，產(chǎn)生的誤差：即4舍5入產(chǎn)生的誤差就是舍入誤差。

1.4

舍入誤差(RoundingError）第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三1.5

各種誤差產(chǎn)生的時機實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)方法求解過程計算結(jié)果模型誤差參數(shù)誤差截斷誤差舍入誤差舍入誤差會產(chǎn)生積累，其他三種誤差沒有積累。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三2.誤差與有效數(shù)字

(ErrorandSignificantDigits)如果x*為x的近似值,稱e*=x-x*為絕對誤差。絕對誤差往往是未知的，而只知道它的一個上限，此上限|e*|=|x-x*|記為?*,稱為絕對誤差限(accuracy)。工程上常記為x=x*±?*，例如

絕對誤差

(absoluteerror)第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

相對誤差

(relative

error)稱為近似值x*的相對誤差；

的絕對值的上界稱為相對誤差限，即

絕對誤差限與相對誤差限的關(guān)系第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三有效數(shù)字

(SignificantDigits)在實際計算中,經(jīng)常按四舍五入原則取近似值.例如:它們的誤差都不會超過末位數(shù)字的半個單位,即第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三定義1.2.5設(shè)x為準確值,x*為x的近似值，記x*=±0.a1a2…an×10m(其中a1≠0),若|x-x*|≤0.5×10m-n(即an的截取按四舍五入規(guī)則)，則稱x*有n位有效數(shù)字，精確到10m-n。例如π=3.1415926535897932…，如果取π*=3.1415，問π*有幾位有效數(shù)字？證明：π*=0.31415×101 |π-π*|=0.0000926… ≤0.5×10-3=0.5×101-4

所以π有4位有效數(shù)字,精確到小數(shù)點后第3位?？梢宰C明π*=3.14159有6位有效數(shù)字。有效數(shù)字愈多愈精確第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

當兩個相近的數(shù)相減時，會大大的損失有效數(shù)字的位數(shù)，使得相對誤差會變得很大。3在近似計算中應(yīng)注意的幾個問題3.1做減法要避免兩個相近的數(shù)相減第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三解：x-y=1.5846-1.5839=0.0007

x，y的有效數(shù)字是5位，而x-y的有效數(shù)字卻只有1位，這樣使得有效數(shù)字的位數(shù)大大的減少了。例1:已知x=1.5846,y=1.5839,求x-y第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例2.已知x=18.496,y=18.493取4位有效數(shù)字計算x-y的近似值，并估計其相對誤差.而 x-y=18.496-18.493=0.003其相對誤差為解：取x*=18.50，y*=18.49進行計算得 x*-y*=18.50-18.49=0.01可以看到相對誤差比較大.

第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例如，當x很大時和很接近，直接計算 就會大大的損失有效數(shù)字，此時應(yīng)把公式變形，分子、分母同乘一個共軛根式，即

在編程序時，可采取以下措施：1).對參加運算的量多保留幾位有效數(shù)字；2).變換計算公式，這樣求出的結(jié)果就比較準確。第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三又例如，當x1與x2

很接近時，lnx1-lnx2就可能損失有效數(shù)字過多，一般變形為：

這樣求出的結(jié)果就比較準確。第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三分母的值就變的很小，一般應(yīng)變形為:3.2做除法運算時作分母的量不要太小例如，計算時，會使的絕對誤差變的很大，一般遇到這種情況把公式變形,例如當|x|非常小時，使用此公式就比較可靠。第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三若絕對值相差很大的兩個數(shù)做加，減法運算時絕對值較小的數(shù)往往被絕對值較大的數(shù)“吃掉”，絕對值較小的值不能發(fā)揮作用，影響計算結(jié)果的準確性。3.3防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例3求方程x2-(109+1)x+109=0的根(保留8位10進制數(shù))。第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三解：很容易可以求出此方程的根為

x1=109,x2=1如果用二次方程的求根公式來編程時就可能得不到正確的結(jié)果。第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三如果我們使用的計算機只能保留小數(shù)點后8位，因為在運算前計算機要先把數(shù)“規(guī)格化”，下面我們看

第一步：把兩個數(shù)對階“規(guī)格化”的運算，把兩個數(shù)按“對階”規(guī)格化后，參加運算的量表示為第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三第二步：把兩個數(shù)對階相加兩數(shù)相加：按4舍5入保留8位第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三用求根公式可得方程的根：第三步：用求根公式求方程的解所以由此可看出結(jié)果的誤差太大，原因就是在作加減法運算時要“對階”，因而小數(shù)1被大數(shù)109吃掉了。

第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三采取的措施從上面的計算可以看出x1是可靠的，而x2是不可靠的，我們不能使用求根公式計算x2，我們利用兩根間的關(guān)系求x2，即

可以看出，用此方法是可靠的。在編程時，若b<0先計算x1，上述方法計算x2，若b>0先計算x2，上述方法計算x1。第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

3.4

要注意計算公式的簡化，減少運算次數(shù)簡化計算公式很重要，將直接影響計算的速度和誤差的積累，有時可以使一個無法實現(xiàn)的計算能夠?qū)崿F(xiàn)。例計算多項式：的值。若直接用上面公式計算，當計算項時，需要進行k次乘法，因而求出這個多項式的值時需要進行次乘法和n次加法，當n很大且要反復(fù)計算此多項式的值時，工作量將會很大.第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三但我們?nèi)魧⒐礁膶憺椋焊倪M的措施則只需要n次乘法和n次加法，即可得到計算結(jié)果，可以看出，將公式改寫后可大大減少運算次數(shù)。

例如：C函數(shù)： doublePolynomial(double*a,intn,doublex) { doublep=a[n]; for(intk=n-1;k>=0;k--)

p=p*x+a[k]; returnp; }第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三在數(shù)值