高中物理新教材同步選擇性必修第三冊 第2章 專題強化 理想氣體的綜合問題

[學習目標]1.會找到兩部分氣體的關系，能解決關聯氣體問題.2.會應用氣體實驗定律和理想氣體狀態(tài)方程解決綜合問題．一、關聯氣體問題這類問題涉及兩部分氣體，它們之間雖然沒有氣體交換，但其壓強或體積這些量間有一定的關系，分析清楚這些關系是解決問題的關鍵，解決這類問題的一般方法：(1)分別選取每部分氣體為研究對象，確定初、末狀態(tài)參量，根據狀態(tài)方程列式求解．(2)認真分析兩部分氣體的壓強、體積之間的關系，并列出方程．(3)多個方程聯立求解．(2020·章丘四中高二月考)如圖1所示，一開口向上的汽缸固定在水平地面上，質量均為m、橫截面積均為S的活塞A、B將缸內氣體分成Ⅰ、Ⅱ兩部分．在活塞A的上方放置一質量為2m的物塊，整個裝置處于平衡狀態(tài)，此時Ⅰ、Ⅱ兩部分氣體的長度均為l0.已知大氣壓強與活塞質量的關系為p0＝eq\f(3mg,S)，氣體可視為理想氣體且溫度始終保持不變，不計一切摩擦，汽缸足夠高．當把活塞A上面的物塊取走時，活塞A將向上移動，求系統(tǒng)重新達到平衡狀態(tài)時，活塞A上升的高度．圖1答案0.9l0解析對Ⅰ氣體，其初態(tài)壓強p1＝p0＋eq\f(3mg,S)末態(tài)壓強為p1′＝p0＋eq\f(mg,S)設末態(tài)時Ⅰ氣體的長度為l1，可得p1l0S＝p′l1S代入數據解得l1＝eq\f(3,2)l0對Ⅱ氣體，其初態(tài)壓強為p2＝p0＋eq\f(4mg,S)末態(tài)壓強為p2′＝p0＋eq\f(2mg,S)設末態(tài)時Ⅱ氣體的長度為l2，可得p2l0S＝p2′l2S代入數據解得l2＝eq\f(7,5)l0.故活塞A上升的高度為Δh＝l1＋l2－2l0得Δh＝0.9l0.兩部分氣體問題中，對每一部分氣體來講都獨立滿足eq\f(pV,T)為常數；兩部分氣體往往滿足一定的聯系：如壓強關系、體積關系等，從而再列出聯系方程即可.(2018·全國卷Ⅲ)如圖2所示，在兩端封閉、粗細均勻的U形細玻璃管內有一段水銀柱，水銀柱的兩端各封閉有一段空氣．當U形管兩端豎直朝上時，左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1＝18.0cm和l2＝12.0cm，左邊氣體的壓強為12.0cmHg.現將U形管緩慢平放在水平桌面上，沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊．求U形管平放時兩邊空氣柱的長度．在整個過程中，氣體溫度不變．圖2答案22.5cm7.5cm解析設U形管兩端豎直朝上時，左、右兩邊氣體的壓強分別為p1和p2.U形管水平放置時，兩邊氣體壓強相等，設為p.此時原左、右兩邊氣柱長度分別變?yōu)閘1′和l2′.由力的平衡條件有p1＝p2＋ρg(l1－l2)①式中ρ為水銀密度，g為重力加速度大?。刹Ｒ舛芍猵1l1＝pl1′②p2l2＝pl2′③兩邊氣柱長度的變化量大小相等l1′－l1＝l2－l2′④由①②③④式和題給條件得l1′＝22.5cml2′＝7.5cm二、氣體實驗定律與理想氣體狀態(tài)方程的綜合應用解決該類問題的一般思路：(1)審清題意，確定研究對象．(2)分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過程，依據氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列出方程；對力學研究對象要正確地進行受力分析，依據力學規(guī)律列出方程進而求出壓強．(3)注意挖掘題目中的隱含條件，如幾何關系等，列出輔助方程．(4)多個方程聯立求解．對求解的結果注意檢驗它們的合理性．(2020·?？谑械谒闹袑W高二開學考試)如圖3所示，固定的汽缸Ⅰ和汽缸Ⅱ的活塞用勁度系數為k＝100N/cm的輕質彈簧相連，兩活塞橫截面積的大小滿足S1＝2S2，其中S2＝10cm2.兩汽缸均用導熱材料制成，內壁光滑，兩活塞可自由移動．初始時兩活塞靜止不動，與汽缸底部的距離均為L0＝10cm，環(huán)境溫度為T0＝300K，外界大氣壓強為p0＝1.0×105Pa，彈簧處于原長．現只給汽缸Ⅰ緩慢加熱，使汽缸Ⅱ的活塞緩慢移動了5cm.已知活塞沒有到達汽缸口，彈簧始終保持水平，汽缸內氣體可視為理想氣體．求此時：圖3(1)彈簧的形變量；(2)汽缸Ⅰ內氣體的溫度．答案(1)1cm(2)720K解析(1)初始時彈簧處于原長，說明兩汽缸內氣體壓強均為p0加熱后，對汽缸Ⅱ的活塞受力分析得p0S2＋kx＝p2S2①對汽缸Ⅱ內氣體，由玻意耳定律得p0S2L0＝p2S2L2②L2＝L0－5cm聯立解得x＝1cm(2)對汽缸Ⅰ內氣體，由理想氣體狀態(tài)方程eq\f(p0S1L0,T0)＝eq\f(p1S1L1,T)③對汽缸Ⅰ的活塞受力分析得p1S1＝p0S1＋kx④由幾何關系L1＝L0＋x＋5cm⑤聯立解得T＝720K.(2020·煙臺市中英文學校高二月考)有一內徑相同的“U”形玻璃管ABCD，A端封閉、D端開口，AB、CD長度均為40cm，BC長度為19cm.用水銀封閉一定質量的理想氣體在A端，豎直段水銀柱長為18cm，水平段水銀柱長為4cm，如圖4所示．已知大氣壓強為75cmHg，溫度為27℃，現將其以BC為軸緩慢翻轉直到A、D端豎直向上，求：圖4(1)翻轉后AB管中水銀柱的長度；(2)保持A、D端豎直向上，緩慢升高A中氣體的溫度，使CD管中的水銀柱變?yōu)?8cm，求此時氣體的溫度．答案(1)9cm(2)477℃解析(1)以A中被封閉氣體為研究對象，設玻璃管的橫截面積為S，翻轉前：p1＝(75＋18)cmHg＝93cmHg，V1＝(40－18)S＝22S，T1＝(273＋27)K＝300K.設翻轉后AB管中水銀柱的長度h，則：p2＝(75－h(huán))cmHg，V2＝(40－h(huán))S根據玻意耳定律：p1V1＝p2V2解得h＝9cm(2)保持A、D端豎直向上，以A中氣體為研究對象，則此時p3＝(75＋18)cmHg＝93cmHg，V3＝(40＋15)S＝55S根據理想氣體狀態(tài)方程有：eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p3V3,T3)解得T3＝750K則t3＝(750－273)℃＝477℃.1．(關聯氣體問題)(2019·重慶一中高二下月考)如圖5所示，兩個水平相對放置的固定汽缸有管道相通，輕質活塞a、b用剛性輕桿固連，可在汽缸內無摩擦地移動，兩活塞面積分別為Sa和Sb，且Sa<Sb.缸內及管中封有一定質量的理想氣體，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，大氣壓強不變．現使缸內氣體的溫度緩慢降低一點，則系統(tǒng)再次達到平衡狀態(tài)時()圖5A．活塞向左移動了一點B．活塞向右移動了一點C．活塞的位置沒有改變D．條件不足，活塞的位置變化無法確定答案B2.(關聯氣體問題)(2020·河南高三開學考試)如圖6所示，粗細均勻的U形管中，封閉了兩段水銀柱和兩部分空氣柱，水銀柱A的長度h1＝25cm，位于左側封閉端的頂部．水銀柱B與A之間的空氣柱長度L1＝12.5cm，右側被活塞C封閉的空氣柱長度L2＝12.5cm，已知U形管周圍環(huán)境溫度t＝27℃時，右側封閉空氣柱的壓強恰為p0＝75cmHg，水銀柱B左右兩部分液面的高度差h2＝45cm.保持環(huán)境溫度t＝27℃不變，緩慢拉動活塞C，求：圖6(1)當水銀柱A恰好對U形管的頂部沒有壓力時，右側封閉氣體的壓強為多少？(2)當U形管內B部分的水銀面左右相平時，活塞C共向上移動多少？答案(1)65cmHg(2)47.5cm解析(1)設U形管橫截面積為S，左側氣體等溫變化：p1SL1＝p1′SL1′，p1＝p0－ρgh2＝30cmHg，p1′＝25cmHg解得L1′＝15cm故左右兩部分液面的高度差變?yōu)椋篽2′＝h2－2(L1′－L1)＝40cm，右側氣體壓強：p2′＝p1′＋ρgh2′＝65cmHg(2)B部分的水銀面左右相平時，左側液面下降eq\f(h2,2)，右側液面上升eq\f(h2,2)左右側氣體壓強相等：p″＝25cmHg右側氣柱：p0SL2＝p″SL2″解得：L2″＝37.5cm則活塞上升：h＝L2″－L2＋eq\f(h2,2)＝47.5cm.3.(綜合應用)(2020·貴州高二期末)如圖7所示，一上端開口、內壁光滑的圓柱形絕熱汽缸豎直放置在水平地面上，一厚度、質量均不計的絕熱活塞將一定量的理想氣體封閉在汽缸內．汽缸頂部有厚度不計的小卡環(huán)可以擋住活塞．初始時，底部閥門關閉，缸內氣體體積為汽缸容積的eq\f(4,5)，溫度為280K．已知外界大氣壓強恒為p0.現通過電熱絲加熱，使缸內氣體溫度緩慢上升到400K.圖7(1)求此時缸內氣體的壓強；(2)打開閥門，保持缸內氣體溫度為400K不變，求活塞緩慢回到初始位置時，缸內剩余氣體質量與打開閥門前氣體總質量之比．答案(1)eq\f(8,7)p0(2)eq\f(7,10)解析(1)若氣體進行等壓變化，則當溫度變?yōu)?00K時，由蓋－呂薩克定律可得eq\f(\f(4,5)V0,T1)＝eq\f(V,T2)解得V＝eq\f(8,7)V0＞V0說明當溫度為400K時活塞已經到達頂端，則由理想氣體狀態(tài)方程可得eq\f(p0·\f(4,5)V0,T1)＝eq\f(pV0,T2)解得p＝eq\f(8,7)p0(2)設缸內氣體溫度為400K，壓強為p0時體積為V′，則pV0＝p0V′解得V′＝eq\f(8,7)V0打開閥門，保持缸內氣體溫度為400K不變，活塞緩慢回到初始位置時，汽缸內剩余的壓強為p0的氣體體積為eq\f(4,5)V0，缸內剩余氣體質量與打開閥門前氣體總質量之比為eq\f(\f(4,5)V0,\f(8,7)V0)＝eq\f(7,10).1．光滑絕熱的輕質活塞把密封的圓筒容器分成A、B兩部分，這兩部分充有溫度相同的理想氣體，平衡時VA∶VB＝1∶2，現將A中氣體加熱到127℃，B中氣體降低到27℃，待重新平衡后，這兩部分氣體體積之比VA′∶VB′為()A．1∶1 B．2∶3C．3∶4 D．2∶1答案B解析對A部分氣體有：eq\f(pAVA,TA)＝eq\f(pA′VA′,TA′)①對B部分氣體有：eq\f(pBVB,TB)＝eq\f(pB′VB′,TB′)②因為pA＝pB，pA′＝pB′，TA＝TB，所以將①÷②式得eq\f(VA,VB)＝eq\f(VA′TB′,VB′TA′)所以eq\f(VA′,VB′)＝eq\f(VATA′,VBTB′)＝eq\f(1×400,2×300)＝eq\f(2,3).2.圖1為一定質量理想氣體的壓強p與體積V的關系圖像，它由狀態(tài)A經等容過程到狀態(tài)B，再經等壓過程到狀態(tài)C.設A、B、C狀態(tài)對應的溫度分別為TA、TB、TC，則下列關系式正確的是()圖1A．TA<TB，TB<TCB．TA>TB，TB＝TCC．TA>TB，TB<TCD．TA＝TB，TB>TC答案C解析由題圖可知，氣體由狀態(tài)A到狀態(tài)B的過程為等容變化，由查理定律得eq\f(pA,TA)＝eq\f(pB,TB)，pA>pB，故TA>TB；由狀態(tài)B到狀態(tài)C的過程為等壓變化，由蓋－呂薩克定律得eq\f(VB,TB)＝eq\f(VC,TC)，VB<VC，故TB<TC.選項C正確．3.(2020·哈爾濱三中高二月考)如圖2所示，一端封口的玻璃管開口向下插在水銀槽里，管內封有長度分別為L1和L2的兩段氣體．當將管慢慢地向下按一段距離時，管內氣柱的長度將如何變化()圖2A．L1變小，L2變大 B．L1變大，L2變小C．L1、L2都變小 D．L1、L2都變大答案C解析將管慢慢地向下按一段距離時，假設L1、L2的長度不變，L1、L2內氣體的壓強增大，根據玻意耳定律可得L1、L2的長度都減小，故A、B、D錯誤，C正確．4.(2019·哈爾濱市第六中學高二月考)如圖3，A、B是體積相同的汽缸，B內有一導熱的可在汽缸內無摩擦滑動且體積不計的活塞C，D為不導熱的閥門．起初閥門關閉，A內裝有壓強p1＝2.0×105Pa，溫度T1＝300K的氮氣；B內裝有壓強p2＝1.0×105Pa，溫度T2＝600K的氧氣．打開閥門D，活塞C向右移動，最后達到平衡．以V1和V2分別表示平衡后氮氣和氧氣的體積(假定氮氣和氧氣均為理想氣體，并與外界無熱交換，連接汽缸的管道體積可忽略)，則V1與V2之比為()圖3A．1∶2 B．1∶4C．1∶1 D．4∶1答案D解析設活塞C向右移動x，最后共同的溫度為T，壓強為p，由理想氣體狀態(tài)方程可知：對A部分氣體有：eq\f(p1LS,T1)＝eq\f(pV1,T)對B部分氣體有：eq\f(p2LS,T2)＝eq\f(pV2,T)將兩式相除：eq\f(V1,V2)＝eq\f(p1,p2)·eq\f(T2,T1)＝eq\f(4,1)，故選D.5．(2020·山東省高二期中)2020年初，新冠病毒來襲．我國廣大醫(yī)務工作者表現出無私無畏的獻身精神，給國人留下了深刻的印象．如圖4是醫(yī)務人員為患者輸液的示意圖，在輸液的過程中，下列說法正確的是()圖4A．A瓶和B瓶中的藥液一起用完B．B瓶中的藥液先用完C．隨著液面下降，A瓶內C處氣體壓強逐漸增大D．隨著液面下降，A瓶內C處氣體壓強保持不變答案C解析藥液從B瓶中流下時，封閉氣體體積增大，溫度不變，根據玻意耳定律知氣體壓強減小，A瓶中空氣將A瓶中藥液壓入B瓶，補充B瓶流失的藥液，即B瓶藥液液面保持不變，直到A瓶中藥液全部流入B瓶，即A瓶藥液先用完，A、B錯誤；A瓶瓶口處壓強和大氣壓強相等，但A瓶中藥液液面下降，由液體產生的壓強減小，因此A瓶內C處氣體產生的壓強逐漸增大，C正確，D錯誤．6．蹦蹦球是一種兒童健身玩具，某同學在17℃的室內對蹦蹦球充氣，已知充氣前球的總體積為2L，壓強為1atm，充氣筒每次充入0.2L壓強為1atm的氣體，忽略蹦蹦球體積變化及充氣過程中氣體溫度的變化，求：(1)充氣多少次可以讓氣體壓強增大至3atm；(2)將字)答案(1)20(2)2.7atm解析(1)以蹦蹦球的原來的氣體和所充的氣體整體為研究對象，由玻意耳定律得：p1(V＋nΔV)＝p2V代入數據解得n＝20(次)(2)當溫度變化時，氣體發(fā)生等容變化，由查理定律得：eq\f(p2,T2)＝eq\f(p3,T3)p3＝eq\f(T3,T2)p2≈2.7atm.7.一圓柱形汽缸直立在地面上，內有一具有質量而無摩擦的絕熱活塞，把汽缸分成容積相同的A、B兩部分，如圖5所示，兩部分氣體溫度相同，都是27℃，A部分氣體壓強pA0＝1.0×105Pa，B部分氣體壓強pB0＝2.0×105Pa.現對B部分氣體加熱，使活塞上升，保持A部分氣體溫度不變，體積減小為原來的eq\f(2,3).求此時：圖5(1)A部分氣體的壓強pA；(2)B部分氣體的溫度TB.答案(1)1.5×105Pa(2)500K解析(1)A部分氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律得pA0V＝pA·eq\f(2,3)V，所以pA＝eq\f(3,2)pA0，把pA0＝1.0×105Pa代入，得pA＝1.5×105Pa.(2)B部分氣體：初狀態(tài)：pB0＝2.0×105Pa，VB0＝V，TB0＝300K，末狀態(tài)：pB＝pA＋(pB0－pA0)＝2.5×105Pa.VB＝V＋eq\f(1,3)V＝eq\f(4,3)V，由理想氣體狀態(tài)方程eq\f(pB0VB0,TB0)＝eq\f(pBVB,TB)，得TB＝eq\f(TB0pBVB,pB0VB0)＝eq\f(300×2.5×105×\f(4,3)V,2.0×105×V)K＝500K.8.(2020·南和縣第一中學高二期中)如圖6所示，汽缸(內壁光滑)呈圓柱形，上部有擋板，內部高度為d.筒內一個很薄的質量不計的活塞封閉一定量的理想氣體，開始時活塞處于離底部eq\f(d,2)的高度，外界大氣壓強為1×105Pa，溫度為27℃，現對氣體加熱，求：圖6(1)當活塞剛好到達汽缸口時，氣體的溫度；(2)氣體溫度達到387℃時，活塞離底部的高度和氣體的壓強．答案(1)600K(2)d1.1×105Pa解析(1)設活塞的橫截面積為S，以封閉氣體為研究對象：p1＝p0，V1＝eq\f(d,2)S，T1＝300K；設溫度升高到T2時，活塞剛好到達汽缸口．此時有：p2＝p0，V2＝dS根據蓋－呂薩克定律：eq\f(V1,T1)＝eq\f(V2,T2)，得T2＝600K.(2)T3＝660K＞T2，封閉氣體先做等壓變化，活塞到達汽缸口之后做等容變化，所以：l3＝d此時有：V3＝dS，T3＝660K；由理想氣體狀態(tài)方程：eq\f(p1V1,T1)＝eq\f(p3V3,T3)解得p3＝1.1×105Pa.9．U形管兩臂粗細不同，開口向上，封閉的粗管橫截面積是開口的細管的3倍，管中裝入水銀，大氣壓為76cmHg.開口管中水銀面到管口距離為11cm，且水銀面比封閉管內高4cm，封閉管內空氣柱長為11cm，如圖7所示．現在開口端用小活塞封住，并緩慢推動活塞，使兩管液面相平，推動過程中兩管的氣體溫度始終不變，試求：圖7(1)粗管中氣體的最終壓強；(2)活塞推動的距離．答案(1)88cmHg(2)4.5cm解析設