無限脈沖響應濾波器

無限脈沖響應濾波器第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三infiniteimpulseresponsefilter(IIR)無限脈沖響應濾波器bilineartransformation雙線性變換prewarpingequation預扭曲方程Butterworthfilter巴特沃斯濾波器ChebyshevTypeIfilter切比雪夫I型濾波器ChebyshevTypeIIfilter切比雪夫II型濾波器ellipticfilter橢圓濾波器Impulseinvariancemethod脈沖響應不變法第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.1無限脈沖響應濾波器基礎濾波器新的輸出，和過去的輸出及過去的輸入和現在輸入有關。差分方程∑aky[n-k]=∑bkx[n-k]

Nk=0

Mk=0若a0=1，則y[n]=-a1y[n-1]-…-aNy[n-N]+b0x[n]+b1[n-1]+…+bMx[n-M]傳輸函數H(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bMz-M1+a1z-1+a2z-2+…+aNz-N第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

這種遞歸濾波器的極點由分母多項式確定，這就可能使濾波器不穩(wěn)定，同時遞歸濾波器很難實現線性相位，也就是遞歸濾波器使相位失真，但實現某種性能要求時比非遞歸濾波器所需要的系數少。設計遞歸濾波器的方法是選擇具有待求特性的原型模擬濾波器，然后將其轉換為數字濾波器。返回第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.2低通模擬濾波器在連續(xù)域中，濾波器用S而不用Z來描述。簡單低通模擬濾波器的傳輸函數為H(s)=

1s+1頻率響應為H(ω)=s用jω代替

1jω+1幅度|H(ω)|=

1

√ω2+1ω↑↑|H(ω)|→0ω↓↓|H(ω)|→1具有低通特性Ω=1弧度/秒|H(ω)|=20log()=-3dB1√21√2第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三即f=ω/2π=1/2πHz為它的帶寬為使濾波器更通用，傳輸函數變?yōu)镠(s)=

ωp1s+ωp1H(ω)==

ωp1jω+ωp1

11+jω/ωp1其幅度|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1Ω=ωp1時，出現–3dB圖10.3第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三通常模擬濾波器類型包括：巴特沃斯、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器等。圖10.4返回第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.3雙線性變換它為模擬濾波器和數字濾波器之間的轉換提供了一種方法。s2fs

z–1z+1z用ejΩ

代替可得到離散時間傅立葉變換2fs=2fs=2fs

ejΩ–1ejΩ+1

ejΩ/2(ejΩ/2-e-jΩ/2)ejΩ/2(ejΩ/2+e-jΩ/2)

ejΩ/2–e-jΩ/2ejΩ/2+e-jΩ/2sinθ=和cosθ=

ejθ–e-jθ

2j

ejθ+e-jθ

2將s變?yōu)閖ω則有ω2fstan(Ω/2)預扭曲方程數字頻率Ω范圍0~π弧度模擬頻率ω范圍0~∞弧度/秒第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三逆雙線性變換Ω2tan-1(ω/2fs)圖10.5給出了數字頻率Ω和模擬頻率ω之間的關系。第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三雙線性變換建立了數學域和模擬域之間的另一種聯(lián)系：數字濾波器的穩(wěn)定區(qū)域是Z平面單位圓內，模擬濾波器的穩(wěn)定區(qū)域在S復平面的左半部圖10.6第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三例1：一階模擬低通濾波器的傳輸函數H(s)=wp1/(s+wp1)。濾波器的-3dB頻率是2000弧度/秒。求出與此模擬濾波器相對應的數字濾波器的傳輸函數H(z),采樣頻率為1500Hz.第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三預扭曲的數字濾波器幅度響應如圖10.10所示，可看出預扭曲的濾波器的截止頻率非常接近所要求的值318.3Hz。圖10.10返回第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.4巴特沃斯濾波器設計巴特沃斯濾波器是IIR無限脈沖響應濾波器中最簡單的。它的傳輸函數H(s)=ωp1S+ωp1|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1一階模擬巴特沃斯濾波器n階模擬巴特沃斯濾波器具有負責的傳輸函數H(s)，其濾波器形狀|H(ω)|=，與一階相似。

1

√(ω/ωp1)2n+1第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三階數越高，滾降越陡，圖10.12顯示n=1,2,3,4時模擬巴特沃斯濾波器形狀。圖10.12第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三描述數字IIR濾波器的術語：(由圖10.13(a)、(b)看)圖10.13第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三

δp通帶波紋：通帶內最大和最小增益之差

δp取–3dB(巴特沃斯濾波器)1–δp:通帶邊緣增益（對應的頻率fp1）(或20log(1–δp)dB)

δs：阻帶波紋，對應的阻帶邊緣增益，對應頻率fs1阻帶邊緣頻率。阻帶邊緣的增益為20logδsdB第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三設計時阻帶邊緣頻率和阻帶衰減（-20logδs）或阻帶增益（20logδs）要給出。圖10.14說明非線性相位響應，表明濾波后的信號在某種程度上有相位失真。對于n階巴特沃斯濾波器，滿足通帶和阻帶設計要求所需的階數nn≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1ωs1

:模擬濾波器預扭曲阻帶邊緣頻率。ωp1:模擬濾波器預扭曲通帶邊緣頻率。第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三設計低通巴特沃斯濾波器步驟：1)確定待求通帶邊緣頻率fp1Hz、待求阻帶邊緣頻率fs1Hz和待求阻帶衰減-20logδsdB(或待求阻帶增益20logδsdB)。通帶邊緣頻率必須對應–3dB增益。4)由已給定的阻帶衰減-20logδs(或增益-20logδs)確定阻帶邊緣增益δs。3)計算預扭曲模擬頻率以避免雙線性變化帶來的失真。由ω=2fstan(Ω/2)求得ωp1和ωs1，單位是弧度/秒。2)用式Ω=2πf/fs把由Hz表示的待求邊緣頻率轉成由弧度表示的數字頻率，得到Ωp1

和Ωs1。第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三5)用下式計算所需濾波器的階數：n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp1n取整數把ωp1代入n階模擬巴特沃斯濾波器傳輸函數H(s)中，并對H(s)進行雙線性變換得到n階數字傳輸函數H(z)。濾波器實現所需的差分方程可直接從傳輸函數H(s)求出。把ω=2fstan(Ω/2)代入：|H(ω)|=

1

√(ω/ωp1)2+1即可得濾波器形狀|H(Ω)|第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三例10.6設計具有巴特沃斯特性的低通IIR濾波器，-3dB頻率為1200Hz。在1500Hz處增益降到–25dB。采樣速率為8000Hz。選擇合適的濾波器階數并畫出濾波器形狀。解：1)fp1=1200Hz，fs1=1500HZ-20logδs=25，fs=8000Hz2)Ωp1=2πfp1/fs=0.3

π弧度

Ωs1=2πfs1/fs=0.375π弧度3)ωp1=2fstan(Ωp1/2)=8152.4弧度/秒

ωp1=2fstan(Ωs1/2)=10690.9弧度/秒第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三4)20logδs=-25δs=10-25/20=0.05625)=10.6取n=11n≥log(-1)2log()1δs2ωs1

ωp16)模擬濾波器形狀

1

√(ω/ωp1)2n+1|H(ω)|==

1

√(ω/8152.4)22+1|H(Ω)|=

1

√(16000tan(Ω/2)/8152.4)22+1返回第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.5切比雪夫Ⅰ型濾波器設計切比雪夫濾波器傳輸函數非常復雜，但濾波器形狀表達式非常簡單，n階切比雪夫Ⅰ型濾波器的形狀定義為|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)Cn(x)=cos(ncos-1(x))對于|x|≤1cosh(ncosh-1(x))對于|x|>1參數ε取決與通帶波紋第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三濾波器階數大于1，切比雪夫濾波器具有比巴特沃夫濾波器更陡峭的滾降特性。圖10.17第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三切比雪夫濾波器的參數示于圖10.18圖10.18第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三切比雪夫濾波器的階數可由n≥cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)δ=√(1/δs2)–1第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三低通切比雪夫Ⅰ型濾波器的設計步驟：ε=√(1/(1–δp)2)–14）由指定的通帶邊緣增益20log(1-δp)，確定通帶邊緣增益1-δp。由下式計算參數ε：3）對數字頻率采用預扭曲以避免雙線性變換引起的誤差。由ω=2fstan(Ω/2)得到ωp1和ωs1，單位是弧度/秒。2）用公式Ω=2πf/fs將待求的邊緣頻率轉換為數字頻率（用弧度表示），得到Ωp1

和Ωs1

。1）確定待求的通帶與阻帶邊緣頻率fp1和fs1、待求的通帶邊緣增益20log(1-δp)和待求的阻帶衰減-20logδs（或待求的阻帶增益20logδs）。第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三5）由指定的衰減-20logδs（或增益20logδs），確定阻帶邊緣增益δs。計算式如下：δ=√(1/δs2)–16）用下式計算所需的階數：n≥，n取整數cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)7）將ωp1和δp代入n階模擬切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數H(s)，并對其進行雙線性變換，得到n階數字濾波器傳輸函數H(z)。實現濾波器所需的差分方程可由傳輸函數H(z)直接得到。將

ω=2fstan(Ω/2)代入下式可得濾波器的形狀|H(Ω)||H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三例10.9對于采樣頻率為20KHz的系統(tǒng)，設計具有切比雪夫Ⅰ型特性的IIR濾波器。通帶最大增益為0dB，通帶邊緣在5kHz處，其增益為-1dB。阻帶邊緣在7.5kHz處，其增益為-32dB。解：fp1=5000Hz,fs1=7500Hz,20log(1-δp)=-1fs=20000Hz,20logδs=-32Ωp1

=2πfp1/fs=0.5π弧度

Ωs1

=2πfs1/fs=0.75π弧度第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三ωp1=2fstan(Ωp1/2)=40000弧度/秒ωs1=2fstan(Ωs1/2)=96568.5弧度/秒6)n≥=3.31n=4cosh-1(δ/ε)

cosh-1(ωs1/ωp1)4)20log(1-δp)=-11-δp=10-1/20=0.89125

ε=√(1/(1-δs2))–1=0.50885)20logδs=-32δs=10-32/20=0.0251

δ=√(1/δs2)–1=39.8第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三7)|H(ω)|=

1

√1+ε2Cn2(ω/ωp1)=

1

√1+0.2589C42(ω/40000)ω=2fstan(Ω/2)代入上式|H(Ω)|=

1

√1+0.2589C42(Ω/2)C4(x)=cos(4cos-1(x))對于|x|≤1cosh4(4cosh-1(x))對于|x|>1返回第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三10.8帶通、高通和帶阻IIR濾波器帶通和高通濾波器的階數要通過對低通濾波器的原型的計算來選擇。圖10.22表明了設計步驟圖10.22第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三傳輸函數高通HH(s)=HL(ωpω’p/s)ωp為低通濾波器的截止頻率

ω’p為高通濾波器的截止頻率帶通HBP(s)=HL(ωp(s2+ωlωu)/s(ωu-ωl))ωl：帶通濾波器的低端截止頻率ωlωu：帶通濾波器的高端截止頻率ωu帶阻HBS(s)=HL(ωps(ωu-ωl)/(s2+ωuωl))從上的ωp，ω’p，ωl，ωu都要進行預扭曲計算，避免濾波器失真。ω=2fstan(Ω/2)*帶通和帶阻濾波器的階數都為其低通原型的兩倍。第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三IIR濾波技術的一個應用就是產生和恢復用于按鍵電話機的雙音多頻信號（DTMF)第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期三FIGURE10-25Touch-T