最優(yōu)捕魚策略

最優(yōu)捕魚策略第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

種群生態(tài)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)模型去定量或定性地描述人口、生物種群等一些不易量化的復(fù)雜現(xiàn)象的變化規(guī)律,并將較抽象的數(shù)學(xué)概念與一些生態(tài)意義結(jié)合起來。第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三一人口數(shù)量的變化規(guī)律

1.Malthus模型模型假設(shè)記x(t)為t時(shí)刻該國家或地區(qū)的人口總數(shù),1)忽略遷移對(duì)人口變化的影響,2)假設(shè)人口變化與出生率與死亡率有關(guān)，且每一個(gè)社會(huì)成員的死亡與生育水平相同,人口的出生率與死亡率之差與人口總數(shù)成正比,B-D=rx,

這個(gè)比例常數(shù)r稱為自然增長率,第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三結(jié)論當(dāng)r>0時(shí),人口將以指數(shù)規(guī)律增長。當(dāng)r<0時(shí),人口將以指數(shù)規(guī)律減少。當(dāng)r=0時(shí),人口將將保持常數(shù)。模型建立與求解考慮t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻人口的變化Malthus模型

x(t+Δt)-x(t)=(B-D)Δt=rx(t)Δt得其解為：第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2Logistic模型當(dāng)人口的數(shù)量特別大時(shí)，每個(gè)社會(huì)成員之間為生存的食物、空間和自然資源的競爭就不能忽略。必須在模型中增加一個(gè)競爭項(xiàng)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來看，社會(huì)成員在單位時(shí)間內(nèi)相遇的概率與x^2成比例，故選取競爭項(xiàng)為x^2。于是，Malthus模型修改為Logistic模型其中r稱為內(nèi)稟增長率，k為環(huán)境容納量。第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三Logistic模型的解為：結(jié)論

人口總數(shù)趨于其環(huán)境容納量。2.當(dāng)x(t)>k時(shí),人口的數(shù)量將減少;

當(dāng)x(t)<k時(shí),人口的數(shù)量將增加。第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

3Leslie模型(具年齡結(jié)構(gòu)的模型)前述模型的不足(1)僅有人口總數(shù)，不能滿足需要；(2)沒有考慮到社會(huì)成員之間的個(gè)體差異,即不同年齡、不同體質(zhì)的人在死亡、生育方面存在的差異。1)模型假設(shè)同一年齡的人有相同的死亡機(jī)會(huì)和生育能力。這樣建立的模型不但使我們能夠更細(xì)致的預(yù)測人口總數(shù),而且能夠預(yù)測老年人口、學(xué)齡人口等不同年齡組的人口信息。2)模型建立設(shè)xk(t)為第t年年齡為k的人口數(shù)量,k=0,1,2,...,100,(忽略百歲以上的人口)。記

bk

是k歲人口的年生育率；

pk=1-dk

是k歲人口的年存活率，

dk為k歲人口的年死亡率。第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)人口發(fā)展變化的特點(diǎn)：時(shí)間和年齡同步增長得模型如下：根據(jù)人的生理特征和人口學(xué)中的習(xí)慣,育齡區(qū)間一般取為15歲至49歲,即當(dāng)k<15或k>49時(shí),bk=0。此模型稱為Leslie模型利用此模型遞推計(jì)算，就可以得到每年各年齡組的人口數(shù)。第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三模型的分析模型的矩陣形式其中利用Leslie矩陣模型遞推得第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三解的漸近性態(tài)L是一個(gè)非負(fù)矩陣，它有主特征值0和特征向量v0。設(shè)L的特征值和特征向量為：0,v0;1,v1;…100,v100;如果所有的特征值是單根時(shí),將x0表示為:x0=c0v0+c1v1+…+c100v100;則

x(t)=Ltx0=c0t0v0+c1

t1v1+…+c100

t100v100=t0(c0v0+c1

t1/

t0v1+…+c100

t100

/

t0v100)由上式得我們希望(c)發(fā)生，這可以通過適當(dāng)?shù)挠?jì)劃生育政策來實(shí)現(xiàn)。第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三預(yù)測與控制1三種模型預(yù)測比較(見書p210）2控制調(diào)節(jié)生育率bi

考慮Leslie模型，設(shè)bi(i=0,1,…100)是1982年的生育率。給他們乘以一個(gè)常數(shù)r,使得Leslie矩陣的主特征值為1。求得第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三二多種群模型研究在同一環(huán)境中兩種或兩種以上的生物種群數(shù)量的變化規(guī)律.1兩種群模型用x(t),y(t)分別表示兩種群在t時(shí)刻的數(shù)量或密度,

考察x(t),y(t)各自的相對(duì)增長率,兩種群模型常用的形式是第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三伏特拉模型假設(shè)函數(shù)f1(x),f(x),g1(ｙ),g2(ｙ)都是線性的.互惠共存型:

每一種群的存在,都對(duì)對(duì)方有利,對(duì)對(duì)方的數(shù)量增長起促進(jìn)作用,這時(shí)c１≥０，b2≥０．(2)

捕食與被捕食型:

種群y以種群x為食物來源(或相反),這時(shí)種群x的存在對(duì)種群y的增長有利,而種群y的存在對(duì)種群x不利.因而c1≤0,b2≥0．(3)相互競爭型:

兩種群或者互相殘殺,或者競爭同一食物資源,各自的存在對(duì)對(duì)方的增長都是不利的,因而ｃ1≤０，ｂ2≤０．第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三定性分析相互競爭型:記根據(jù)x,y的不同位置，可以得到兩種群變化趨勢(shì)。第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2三種群模型例1

一個(gè)捕食者，兩個(gè)食餌:

種群z是捕食者，不受密度制約；

x，y為食餌，受密度制約，且相互競爭。第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三例2

捕食鏈種群z是y的捕食者，種群y是x的捕食者.

均受密度制約。第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三三地中海鯊魚問題意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？他無法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問題.第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三記x(t)——食餌在t時(shí)刻的數(shù)量；y(t)——捕食者在t時(shí)刻的數(shù)量；a——食餌獨(dú)立生存時(shí)的增長率；b——食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力;c——捕食者獨(dú)自存在時(shí)的死亡率；d——捕食者掠取食餌的能力；h——捕獲強(qiáng)度系數(shù)2．基本假設(shè)：

1)

食餌由于捕食者的存在使增長率降低，假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比；

2)捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長，假定增長的程度與食餌數(shù)量成正比。第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

該模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型.3．模型建立與求解

（一）不考慮人工捕獲第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三

得首次積分求解方程有兩個(gè)平衡點(diǎn)兩方程相除得根據(jù)微分方程的理論,是閉曲線.第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三故x(t)與y(t)都是周期函數(shù).該閉曲線就給出了生態(tài)學(xué)解釋.第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三所以同樣得求平均值由方程解得第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三（二）考慮人工捕獲設(shè)捕獲強(qiáng)度系數(shù)為h相當(dāng)于食餌的自然增長率由a

降為a-h，捕食者的死亡率由c

增為c+h.此時(shí),同樣得所以捕獲強(qiáng)度h減小,將使食餌的平均值減少,捕食者的平均值增加第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三數(shù)值求解a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.02x(0)=25,y(0)=2無人工捕獲時(shí),對(duì)方程組求解得解曲線與相曲線為

x為實(shí)線，y為“*”線.

第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三考慮人工捕獲設(shè)戰(zhàn)前捕獲強(qiáng)度系數(shù)為h=0.3,戰(zhàn)爭中降為h=0.1a=1,b=0.1,c=0.5,d=0.02x(0)=25,y(0)=2對(duì)方程組求數(shù)值解得解曲線為

實(shí)線為戰(zhàn)前的鯊魚比例，“*”線為戰(zhàn)爭中的鯊魚比例第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三最優(yōu)捕魚策略

為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源(如漁業(yè)、林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度.一種合理、簡化的策略是,在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下,追求最大產(chǎn)量或最佳效益.考慮對(duì)某種魚的最優(yōu)捕撈策略.

假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組,稱1齡魚,…,4齡魚.各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07克,11.55克,17.86克,22.99克,各年齡組魚的自然死亡率均為0.8/年,這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖,平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105個(gè),3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半,2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵,產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月,卵孵化并成活為1齡魚,成活率(1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比)為1.22×１011／(１.2２×1011＋n).

漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕撈能力(如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變,這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù).通常使用13ｍｍ網(wǎng)眼的拉網(wǎng),第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚,其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比042:1.漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈.(1)建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變),并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總重量).(2)某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年,合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞.已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為:122×109條,29.7×109條,10.1×109條,3.29×109條,如果仍用固定努力量的捕撈方式,該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高.第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三這是一個(gè)典型的可再生資源開發(fā)的問題參考解答模型假設(shè)(1)魚分為1、2、3、4齡魚,4齡魚存活一年后仍劃為4齡魚.(2)各年齡組魚的自然死亡率為0.8／年,且死亡是一連續(xù)過程,

不是在某一時(shí)刻突發(fā).(3)3、4齡魚在一年的最后4個(gè)月集中產(chǎn)卵,且在該4個(gè)月的開始時(shí)刻進(jìn)行;3齡魚產(chǎn)卵量為0.5×1.109×105個(gè)／條,4齡魚產(chǎn)卵量為1.109×105個(gè)／條;卵孵化成活為1齡魚,成活率為

1.22×１011／(１.2２×1011＋n).(4)捕撈在產(chǎn)卵孵化前8個(gè)月進(jìn)行,且捕撈是一連續(xù)過程,不是在某一時(shí)刻發(fā)生;捕撈強(qiáng)度系數(shù)固定,只能捕撈3、4齡魚,它們的捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42∶1(5)經(jīng)濟(jì)效益以捕撈總量來衡量.第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三2.模型的建立及求解引入記號(hào)

T---年份(0,1,2,…).t---時(shí)間.

ｔ---間隔時(shí)間.Ni---ｉ齡魚的數(shù)量.r---自然死亡率(0.8／年).n---年產(chǎn)卵數(shù)量.E3---3齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù).E4---4齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù).3---3齡魚每年產(chǎn)卵量.4---4齡魚每年產(chǎn)卵量.第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三(1).模型的建立考察1、2齡魚的生長過程,則有其解為為每年年初的ｉ齡魚總數(shù)。T年初的ｉ齡魚在T＋1年初變?yōu)椋椋饼g魚,所以有第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三考察3、4齡魚的生長過程,在前8個(gè)月,由于捕撈與死亡均影響魚的變化,因而模型為其解為為每年年初的ｉ齡魚總數(shù)。故第8個(gè)月末時(shí)的i(i=3，4)齡魚總數(shù)為在后4個(gè)月,只有死亡率起作用,因而模型為第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三其解為為第8個(gè)月末時(shí)的i齡魚總數(shù).故第T年末(T+1年初)i齡魚總數(shù)為第T+1年初的1齡魚由3、4齡魚產(chǎn)卵而來,產(chǎn)卵總數(shù)為故第T+1年初的1齡魚總數(shù)為第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三總結(jié)以上結(jié)果,得出整個(gè)生存過程中滿足的關(guān)系為其中（1）第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三(2).模型的求解在可持續(xù)捕撈情況下,Ni(T)趨于平衡,因而Ni(T)與T無關(guān),可得以下方程組:（2）第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三求解得其中（3）（4）第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期三方程（4）的解為:由方程組（1）求得所以當(dāng)k