微積分ii高中喜老師

§2.3

三重積分的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算與二重積分類似，三重積分

f

(x,y,z

)dxdydzV也可以化為三次積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。下面我們通過(guò)計(jì)算物體的質(zhì)量來(lái)得到三重積分的計(jì)算公式.將V投影到xoy面上，得投影閉Dxy，以Dxy的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，該柱面與區(qū)域V的邊界曲面的交線把V的邊界曲面分成上、下兩部分，其方程分別是設(shè)空間閉區(qū)域V的邊界曲面與平行于z軸穿過(guò)V的內(nèi)部的直線交點(diǎn)不多于兩個(gè)，S1

:

z

=

z1

(

x,

y),S2

:

z

=

z2

(

x,

y),z1

(x,y),z2

(x,y)在Dxy上連續(xù)，且z1

(x,y)￡

z2

(x,y)假設(shè)V中分布有體密度為f

(x,y,z)的某種物質(zhì)，在Dxy上點(diǎn)(x,

y)處取面積元素ds

=

dxdy以ds的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z

軸的細(xì)長(zhǎng)柱體，，該細(xì)長(zhǎng)柱體可以看成以z為變量的細(xì)桿，它通過(guò)曲面S1:

z

=z1

(x,y)

進(jìn)入?yún)^(qū)域V然后，通過(guò)曲面S2

:

z

=

z2

(

x,

y)穿出區(qū)域V外，其進(jìn)入點(diǎn)與穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)分別是與z

=

z1

(

x,

y)

z

=

z2

(

x,

y)因此，該細(xì)長(zhǎng)柱體的質(zhì)量為：(

)(

)2z x

,

yfx,

y,

z

dz

dxdy.

z1

(x,

y

)(

)(

)2z x

,

yDxyfx,

y,

z

dz

dxdy.m

=

z1

(x,

y

)

(

)

(

)12xyy如果Dxy表示為

D

=x

￡

y

￡

y

x

,(

)(

)(

)22by

xz x

,

yay1

(x

)z1

(x,

y

)dxdyfx,

y,

z

dz.則有

m

=這里對(duì)

z

積分時(shí)，先將

x

,

y

看成常數(shù)，此時(shí)f

(x,y,z)只看作z

的函數(shù).a

￡

x

￡

b,于是總質(zhì)量為：所求質(zhì)量就是所要求的三重積分的值V

V

f

(x,

y,

z

)dV

=

f

(x,

y,

z

)dxdydz(

)(

)1xyz2

(x

,

y

)z x

,

yDdxdyfx,

y,

z

dz=

(

)(

)

(

)1

1by2

(x

)z2

(x

,

y

)a

y

xz x

,

ydxdyfx,

y,

z

dz.=類似地，可以將區(qū)域V投影到y(tǒng)oz、zox平面上，可得三重積分按其它順序的三次積分。DxyDxyy=1-x11的點(diǎn)在平面z=0,

離開區(qū)域V的點(diǎn)在平面z=1-x-y上.例1

計(jì)算三重積分

ydxdydz

，其中V為三個(gè)0

￡

z

￡

1

-

x

-

yV坐標(biāo)面及平面x

+y

+z

=1所圍成的閉區(qū)域.解

在Dxy

內(nèi)任取一點(diǎn)，作

平行于z

軸的直線，進(jìn)入?yún)^(qū)域VV

=

0

￡

y

￡

1

-

x

0

￡

x

￡

1100dx1-

x=y

(1

-

x

-

y

)dy(

)(

)131=1

-

x

3

-

131

-

x

dx0

224=

1

.000dxdyydz1 1-

x1-

x-

y

0

￡

z

￡

1

-

x

-

yV

=

0

￡

y

￡

1

-

x

0

￡

x

￡

1ydxdydz

=Vz=y例2計(jì)算

x2

zdv其中V是由拋物柱面y

=x2V與平面z

=0,

y

=1,z

=y圍成的閉區(qū)域.解

x2

zdVV2120yxdyx

zdz-11=

dx

211xx2dxy2dy-1=

11216-1=x2

(1

-

x6

)dx27=

2

.2y

=

x11解例3

化三重積分I

=

f

(x,y,z)dxdydz為三次W積分，其中積分區(qū)域W

為由曲面z

=x2

+2

y2及z

=2

-x2所圍成的閉區(qū)域.2

z

=

x2

+

2

y2z

=

2

-

x由得交線投影區(qū)域Dxyx2

+

y2

￡

1,1dxf

(x,

y,z)dz.\

I

=1-

x2

2-

x2-1

-

1-

x2

x2

+2

y2dy122

x2

+

2

y2

￡

z

￡

2

-

x2￡

y￡

1

-

x故V：-1

-x-1

￡

x

￡

1以上將三重積分化為三次積分是先計(jì)算一個(gè)定積分再計(jì)算一個(gè)二重積分，稱之為“先一后二”。事實(shí)上，我們也可以先計(jì)算一個(gè)二重積分，再作一個(gè)定積分，我們稱之為“先二后一”。下面進(jìn)行討論：(2

"

z

?

c1

,c2用過(guò)z

點(diǎn)且平行于xoy(1)把積分區(qū)域V向某軸(例如z軸投影，得投影區(qū)間：c1

,c2面的平面去截V，得截面Dz(3)計(jì)算二重積分

f

(x,y,z

)dxdyDz其結(jié)果為z

的函數(shù)；cc1

D

z（4）最后計(jì)算定積分

2

f

(x,y,z

)dxdy

dz.0V

Dzdxdy

,zdxdydz

=

zdz

1Dz

dxdy

=

2(1

-

z)(1

-

z)解10原式=z

1

(1

-

z)2dz

=

1

2

24x

+

y

=

1

-

zV坐標(biāo)面及平面x

+y

+z

=1所組成的閉區(qū)域.1例4

計(jì)算三重積分

zdxdydz，其中V為三個(gè)例5V計(jì)算

e

z

dv，V

:

x2

+

y2

+

z2

￡

1.解zze

dv

=

2

e

dv

V

V上10zDze

dzdxdy=

210=

2p

(1

-

z2

)ezdz=

2p

.注:1.被積函數(shù)中只含有一個(gè)變量;2.

截面圖形是一規(guī)則圖形,且易于計(jì)算該圖形的面積.x2

y2

z2z2dxdydz,

其中是由橢球面+

+

=1a2

b2

c2V所圍成的空間區(qū)域.例6:ozyxc-cz2

dz

dxdyDz解:原式=)Dz

=

(x

,

y

)|x2y2+￡

1z2z2a2(1-)

b2(1-c2c2zz2

z2

z2

a2

1

-2

=

pab

1

-2

c

c

c

\

dxdy

=

pD22

b

1

-c4-cz2

2

3pab

1

-

2

z dz

=

pabcc

15\原式=注:對(duì)稱性的應(yīng)用應(yīng)注意兩點(diǎn)(以下兩條件缺一不可)VV

V上1.

區(qū)域V有對(duì)稱性;2.被積函數(shù)有相應(yīng)的奇偶性.當(dāng)V關(guān)于xoy面對(duì)稱 f(x,y,z)是z的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.VV當(dāng)V關(guān)于yoz面對(duì)稱 f(x,y,z)是x的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.VV

V右當(dāng)V關(guān)于zox面對(duì)稱V前f(x,y,z)是y的奇函數(shù),

fdV

=0;偶函數(shù),

fdV

=2

fdV

.dxdydzz

ln(

x2

+

y2

+

z2

+

1

)x2

+

y2

+

z2

+

1計(jì)算其中積分區(qū)域例72V1

V2C

:

zdV

=

4

zdV

;V1

V2B

:

ydV

=

4

ydVV1

V2D

:

xyzdV

=

4

xyzdVV1

V2V :

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,

z

?

0和V :

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,1x

?0,y

?0,z

?0,則A

:

xdV

=

4

xdV

;VV={(x,y,z)|x2

+y2

+z2

￡

1}例8規(guī)定：0

￡

r

<+￥

,0

￡

q

￡

2p

,-￥

<

z

<

+￥

.二、三重積分在柱坐標(biāo)系中的計(jì)算設(shè)M

(

x,y,

z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)M在xoy面上的投影P的極坐標(biāo)為r,q，則這樣的三個(gè)數(shù)(r,q

,

z

就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)．

x

=

rcosq

,

y

=

rsinq

,柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為

z

=

zr為常數(shù)q為常數(shù)z為常數(shù)圓柱面；半平面；平面．q用柱坐標(biāo)系中的三組坐標(biāo)面來(lái)分割閉區(qū)域V，對(duì)r,q

,z分別取得增量dr,dq

,dz時(shí)所形成的小柱體的體積為極坐標(biāo)系中的面積元素rdrdq與dz乘積,于是柱坐標(biāo)系中的體積元素為dv

=

rdrdqdz.

f

(

x,

y,

z)dvV=

f

(r

cosq

,

r

sinq

,

z)rdrdqdz.V所以，柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式為：與直角坐標(biāo)系中一樣，在柱坐標(biāo)系中三重積分同樣可化為對(duì)

r,q

,

z

的三次積分，一般總是先對(duì)z

積分，余下的二重積分就是極坐標(biāo)系中的二重

積分，有時(shí)也可以先計(jì)算極坐標(biāo)系中的二重積分，再對(duì)z積分。解r

2

=

3z

z

=

1,

r

=

3

,知交線為r

2

+z2

=4例1

計(jì)算I

=

zdxdydz

,

其中V是拋物面x2

+

y2

=

3zV與球面x2

+

y2

+

z2

=

4所圍的立體.

x

=

rcosqz

=

z由

y

=rsinqr

=

3z

=

4

-

r

2r

2z

=

323r

2￡

z

￡

4

-

r330r

zdz2p4-r

2I

=dq

0

dr

r

213=

4

p

.D0

￡

r

￡

3,xy

=

0

￡

q

￡

2p

.例2計(jì)算x2

+y2

dv，其中V是由旋轉(zhuǎn)拋物面Vz

=x2

+y2與z

=1所圍成的閉區(qū)域.xyD

=

0

￡

r

￡

1,0

￡

q

￡

2p

.解x2

+

y2

￡

z

￡

1

r

2

￡

z

￡

1\Vx2

+

y2

dv

=

r

rdrdqdzV15200r1

4pdz

=

.2p1dq

r

2dr=

z

=

1

-

x2

-

y2z

=

1

-

r

2z=0

zdxdydz

=

zrdrdqdzV

V00rdrzdz2p0dq1 1-r

2=(

)120012dr2pdq=r

1

-

r例3V計(jì)算

zdxdydz,

V

:

x2

+y2

+

z2

￡

1,

z

?

0.解=

p4zz=az=raD解

z

=

r

,

x2

+

y2

=

z2\

r

￡

z

￡

axyD

=

0

￡

r

￡

a,0

￡

q

￡

2p

.例4

計(jì)算I

=

(x2

+

y2

)dxdydz

,其中V是錐面I

=20aa0

rrdrr

dz2pdq30a=

2pr

(a

-

r

)dr5a

.p10=Vx2

+y2

=z2與平面z

=a

(a

>0)所圍的立體.三、三重積分在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算Pxyzoj

rM

(x

,

y

,

z

)zyxA

q

設(shè)M

(x

,

y,z

為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M可用三個(gè)有次序的數(shù)r,j

,q來(lái)確定，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，j為有向線段OM與z軸正向所夾的角，q為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角這里P為點(diǎn)M在xoy面上的投影，這樣的三個(gè)數(shù)(r,j,q稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo)0

￡

r

<

+￥

,規(guī)定：0

￡

j

￡

p

,0

￡

q

￡

2p

.r

為常數(shù)球面；圓錐面；j

為常數(shù)q

為常數(shù)半平面．(r,j

,q

x

=

r

sinj

cosq

,

y

=

r

sinj

sinq

,

z

=

r

cosj

.記住此公式Pxyzoj

rM

(x

,

y

,

z

)zqyx設(shè)點(diǎn)M在xoy面上的投影為P,點(diǎn)P在x軸上的投影為A,則OA

=x,AP

=y,PM

=z.直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為Adv

=

r2

sinjdrdjdq記住此體積元素用球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面來(lái)分割閉區(qū)域V，由

r,j

,q

分別取得增量

dr,dj

,dq

所形成的六面體，去掉高階無(wú)窮小后，可將這個(gè)六面體當(dāng)作長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)為

rdj

,寬為

r

sinjdq

,

高為dr,于是體積元素dv

在球坐標(biāo)系中為：因此，得到球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式VV

f

(

x,

y,

z)dv

=

f

(

x,

y,

z)dxdydz

=

f

(

r

sinj

cosq

,

r

sinj

sinq

,

r

cosj

)r

2

sinjdrdjdq

.V記住此計(jì)算公式2R4p

jR例1

計(jì)算x2

+y2

+z2

dV

,其中V是由半球面Vz

=

R

+R2

-

x2

-

y2(R

>0)與錐面z

=

x2

+

y2

所圍成的閉區(qū)域.解 在球坐標(biāo)系中z

=

R

+

R2

-

x2

-

y2p0

￡

r

￡

2R

cosj

,V

=

0

￡

j

￡

4

,0

￡

q

￡

2p

.

r

=

2R

cosj

,z

=

x2

+

y2

tanj

=

1p

j

=4故VVx2

+

y2

+

z2

dVr

r

2

sinjdrdjdq=300p402p2

R

cosjsinjdjr

dr=

dq0p4=

2p45psinj

4R4

cos4

jdj

=R

(8

-

2

).2R4p

jRzz=az=raDcosjr

=

a

,acosj2px2

+

y2

=

z

j

=

,4,acosj\

V

: 0

￡

r

￡Vx2

+

y2

=

z2例2

計(jì)算I

=

(x2

+

y2

)dxdydz

,

其中V是錐面與平面z

=a

(a

>0)所圍的立體.解 采用球面坐標(biāo)

z=

a

r

=0

￡

j

￡

p

, 0

￡

q

￡

2p

,4VI

=

(

x2

+

y2

)dxdydz000ap42pcosjdjr4sin3jd

r=

dq3501a5p4sin

j5 cos

j=

2p(

-

0

)dj10=

p

a5

.zz=az=raDcosjr

=

a

xR1

R3V例3

計(jì)算

cos

(x2

+

y2

+

z2

)

dxdydz,0

<

R1

<

R2

.其中V

:

R2

￡

x2

+

y2

+

z2

￡

R2

,1

2

R1

￡

r

￡

R2

,0

￡

q

￡

2p

.解

V

=

0

￡

j

￡

p

,Vr

2

sinjdrdjdqI

=

cos

r

3230

0RR12p

pdqsinjdjcos

r

r

2dr=()3321.43p

sin

R=-

sin

R解

r

=

2a,4

j

=

p

,40

￡

r

￡

2a,V

=

0

￡

j

￡

p

,0

￡

q

￡

2