大市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題分類匯編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精廣東省13大市2013屆高三上期末考數(shù)學(xué)理試題分類匯編導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、選擇題、填空題1、(潮州市2013屆高三上學(xué)期期末)定義域的奇函數(shù)，當(dāng)時恒成立，若，,,則A．B．C．D．答案：A2、（廣州市2013屆高三上學(xué)期期末）若直線是曲線的切線，則實數(shù)的值為。答案:分析：設(shè)切點為，由得,故切線方程為，整理得,與比較得，解得,故3、（茂名市2013屆高三上學(xué)期期末）計算.答案：4、（增城市2013屆高三上學(xué)期期末)曲線與所圍成的圖形的面積是．答案：5、（肇慶市2013屆高三上學(xué)期期末）函數(shù)在區(qū)間上最大值為答案：解析：,6、(中山市2013屆高三上學(xué)期期末)10．曲線、直線與軸所圍成的圖形面積為_________答案：7、(中山市2013屆高三上學(xué)期期末）11．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處取得極大值，則的取值范圍為__________答案：8、(珠海市2013屆高三上學(xué)期期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．答案：二、解答題1、（潮州市2013屆高三上學(xué)期期末）二次函數(shù)滿足,且最小值是．(1）求的解析式；（2)設(shè)常數(shù),求直線：與的圖象以及軸所圍成封閉圖形的面積是；（3）已知，,求證:．解：（1）由二次函數(shù)滿足．設(shè)，則．………………２分又的最小值是，故．解得．∴；………………４分（2）依題意，由，得,或．(）……６分由定積分的幾何意義知……８分（3）∵的最小值為，故，．……１０分∴，故．………12分∵，,………13分∴，∴．………14分2、(東莞市2013屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2。71828……)(1）若k=e，求函數(shù)的極值；（2）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3)若,討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．解：（1)由得，所以．…………1分令，得，解得． 由得，由得，當(dāng)變化時,、的變化情況如下表：10+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增…………2分所以當(dāng)=1時，有極小值為0，無極大值．…………3分（2）由，得． ①當(dāng)時，則對恒成立, 此時的單調(diào)遞增,遞增區(qū)間為．…………4分 ②當(dāng)時,由得到,由得到,所以,時,的單調(diào)遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是．…………6分綜上,當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是．………7分（3）解法一：①當(dāng)時,，對恒成立，所以函數(shù)在上無零點．………8分②當(dāng)時,由（2）知，對恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,…………9分所以函數(shù)在上只有一個零點．…………10分（若說明取絕對值很大的負(fù)數(shù)時,小于零給1分）③當(dāng)時，令，得,且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,在時取得極小值，即在上最多存在兩個零點．（?。┤艉瘮?shù)在上有2個零點，則，解得；…11分(ⅱ）若函數(shù)在上有1個零點,則或，解得或；…………12分（ⅲ）若函數(shù)在上沒有零點，則或,解得．…………13分綜上所述,當(dāng)時，在上有2個零點；當(dāng)或時,在上有1個零點；當(dāng)時，在上無零點．…………14分解法二：．當(dāng)時，對恒成立，所以函數(shù)在上無零點．………8分y=exy=kxyx0圖1y=exy=kxyx0圖1是方程在上的解，即函數(shù)與在上的交點的橫坐標(biāo)．…………9分①當(dāng)時，如圖1，函數(shù)與只在上有一個交點，即函數(shù)在上有一個零點．…………10分y=exy=kxyy=exy=kxyx0圖24若相切時，如圖2，設(shè)切點坐標(biāo)為，則即切線的斜率是所以，解得,即當(dāng)時，只有一個交點,函數(shù)在上只有一個零點；…………11分由此，還可以知道，當(dāng)時,函數(shù)在上無零點．…………12分y=exy=kxyx0圖3y=exy=kxyx0圖34所以時,在上有兩個交點，即函數(shù)在上有兩個零點；時，在上只有一個交點，即函數(shù)在上只有一個零點．…………13分綜上所述，當(dāng)時,函數(shù)在上有2個零點；當(dāng)或時，函數(shù)在上有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)在上無零點．…………14分3、（佛山市2013屆高三上學(xué)期期末）設(shè)設(shè)，，其中是常數(shù)，且．(1)求函數(shù)的極值；(2）證明：對任意正數(shù),存在正數(shù)，使不等式成立；（3）設(shè)，且，證明:對任意正數(shù)都有：．解析：（1)由題意可得，，∴,——-—-—-—2分∴，所以橢圓的方程為．-—----—-—-—-——--—4分(2）設(shè)，,由題意得,即，—-—-———--—6分又，代入得，即．即動點的軌跡的方程為．------——-——-—--—-8分（3）設(shè),點的坐標(biāo)為，∵三點共線，∴，而，，則,∴,∴點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，--------10分∴直線的斜率為,而，∴，∴，——-—---12分∴直線的方程為，化簡得，∴圓心到直線的距離，所以直線與圓相切．-——--———------——-14分4、（惠州市2013屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)．（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；（2）若在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)的最大值。解：(1）．……1分 因為為的極值點，所以．…………………2分 即,解得．………3分 又當(dāng)時，，從而的極值點成立．……………4分(2）因為在區(qū)間上為增函數(shù)， 所以在區(qū)間上恒成立．…5分 ①當(dāng)時，在上恒成立，所以上為增函數(shù)，故符合題意．…………6分②當(dāng)時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，所以上恒成立．…7分令，其對稱軸為，………8分因為所以，從而上恒成立，只要即可,因為，解得．………………9分因為,所以．綜上所述，的取值范圍為．………10分(3）若時,方程可化為，． 問題轉(zhuǎn)化為在上有解, 即求函數(shù)的值域．……11分以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：方法1:因為，令, 則 ,……12分所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，當(dāng)，從而上為減函數(shù)，………………13分因此． 而，故，因此當(dāng)時,取得最大值0．…………14分方法2：因為，所以．設(shè)，則． 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，,所以在上單調(diào)遞減； 因為，故必有,又，因此必存在實數(shù)使得，,所以上單調(diào)遞減；當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；當(dāng)上單調(diào)遞減;又因為, 當(dāng),則，又．因此當(dāng)時，取得最大值0．…………14分5、（江門市2013屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)．⑴求的值，并求的取值范圍；⑵判斷在其定義域上的零點的個數(shù)．解:⑴由已知得……1分,因為在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極小值，……2分,解得……3分，又因為在上是增函數(shù)，所以,……4分，當(dāng)時，,所以的取值范圍是……5分，⑵由⑴得,解得或……6分，－＋－遞減極小值遞增極大值遞減……9分①當(dāng)時，由上表知,，取某個充分大的實數(shù)（例如）時,,在定義域上連續(xù)，所以在區(qū)間上有一個零點,從而在其定義域上有1個零點……10分；②當(dāng)時,在區(qū)間上有一個零點,從而在其定義域上有2個零點……11分；③當(dāng)時，（ⅰ)若，則,取某個充分小的實數(shù)(例如）時，，所以在區(qū)間上有一個零點，從而在其定義域上有2個零點……12分；(ⅱ)若，則時，由上表知,,在區(qū)間上有一個零點，從而在其定義域上有1個零點……13分；（ⅲ）若,則時，在區(qū)間、、上各有一個零點,從而在其定義域上有3個零點……14分；綜上所述,當(dāng)或時,在其定義域上有1個零點；當(dāng)或時，在其定義域上有2個零點；當(dāng)時，在其定義域上有3個零點．6、（茂名市2013屆高三上學(xué)期期末)已知函數(shù),函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)減區(qū)間；(2）若對任意，且，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3)在第(2）問求出的實數(shù)的范圍內(nèi),若存在一個與有關(guān)的負(fù)數(shù)，使得對任意時恒成立，求的最小值及相應(yīng)的值.解：（1)當(dāng)時，，……………1分由解得………………2分當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；…………3分(2）易知依題意知…………5分因為，所以,即實數(shù)的取值范圍是；………6分(3）解法一：易知，.顯然，由（2）知拋物線的對稱軸………7分①當(dāng)即時，且令解得……………8分此時取較大的根，即……9分，………………10分②當(dāng)即時，且令解得………11分此時取較小的根,即………12分,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號……13分由于，所以當(dāng)時，取得最小值……14分解法二:對任意時，“恒成立"等價于“且”由（2)可知實數(shù)的取值范圍是故的圖象是開口向上，對稱軸的拋物線……7分①當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴，要使最小，只需要………8分若即時，無解若即時,………………9分解得（舍去）或故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)…………10分②當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在遞增，則，…11分要使最小，則即……………12分解得（舍去)或(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)…13分綜上所述，當(dāng)時，的最小值為?！?4分7、（汕頭市2013屆高三上學(xué)期期末)集合A＝｛｝，B＝{}，D＝A∩B。(I）當(dāng)a＝2時，求集合D(用區(qū)間表示)；(II）當(dāng)時，求集合D(用區(qū)間表示)；(III)在(II）的條件下，求函數(shù)在D內(nèi)的極值點。解：（1）A=………………1分當(dāng)a=2時B=解不等式得或………………2分………………3分(2)不等式令====………………4分①當(dāng)………………6分②當(dāng)……7分③當(dāng)………………8分(3）令當(dāng)當(dāng)………………10分①當(dāng)時當(dāng)當(dāng)當(dāng)………………11分②當(dāng)此時………………12分③當(dāng)此時又，此時當(dāng)綜上所述:當(dāng)時，；當(dāng)，時；當(dāng),;當(dāng)，﹒……14分8、(增城市2013屆高三上學(xué)期期末)圓內(nèi)接等腰梯形，其中為圓的直徑（如圖）．OABCD（1）設(shè)OABCD，求的解析式及最大值;（2)求梯形面積的最大值． 解：（1）過點作于,則1分2分3分4分令,則5分6分當(dāng)，即時有最大值57分設(shè)，則8分9分 10分=011分12分且當(dāng)時，，當(dāng)時，13分所以當(dāng)時，有最大值，即14分 或解：設(shè),過點作于是直徑，8分9分10分11分12分 13分當(dāng)時，，當(dāng)時,所以當(dāng)時有最大值14分 或解：設(shè)，則8分9分10分11分12分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立 13分 所以14分9、（湛江市2013屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)f（x)＝－1,,其中e是自然對數(shù)的底，e＝2。71828….（1）證明：函數(shù)h（x）＝f（x）－g（x）在區(qū)間（1，2)上有零點；（2)求方程f（x）＝g（x）根的個數(shù)，并說明理由；（3）若數(shù)列{｝(）滿足為常數(shù)），,證明:存在常數(shù)M，使得對于任意，都有解：（1)由h(x）＝f（x）－g（x）＝－1－，得：h（1)＝e－3＜0，h（2)＝e2－2－＞0,所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，2)上有零點。(2）由(1）得：h(x）＝－1－由知，，而,則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點。解法1：－1,記－1，則。當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。有且只有兩個零點。所以，方程f（x）＝g（x)根的個數(shù)為2。（3）記的正零點為，即。（1)當(dāng)時，由，即。而，因此，由此猜測：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時，有成立,則當(dāng)時,由知，,因此,當(dāng)時，成立。故對任意的，成立。（2)當(dāng)時，由（1）知,在上單調(diào)遞增.則，即。從而，即,由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時，有成立,則當(dāng)時，由知，，因此,當(dāng)時，成立。故對任意的,成立。綜上所述,存在常數(shù)，使得對于任意的,都有.10、（肇慶市2013屆高三上學(xué)期期末）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，．（1)當(dāng)時,解不等式；（2）當(dāng)時，求整數(shù)的所有值，使方程在上有解；（3)若在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍．解：（1)因為,所以不等式即為，又因為，所以不等式可化為，所以不等式的解集為．（4分)（2）當(dāng)時，方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價于，令，因為對于恒成立,所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，又，，，,所以方程有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為．（8分）(3),①當(dāng)時，,在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故符合要求；(10分)②當(dāng)時，令，因為，所以有兩個不相等的實數(shù)根，，不妨設(shè)，因此有極大值又有極小值．若，因為，所以在內(nèi)有極值點，故在上不單調(diào)．（12分）若，可知，因為的圖象開口向下，要使在上單調(diào)，因為，必須滿足即所以.綜上可知,的取值范圍是．(14分)11、（中山市2013屆高三上學(xué)期期末)已知函數(shù),。（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為,且，已知，求證：；（Ⅲ）在（Ⅱ)的條件下，試比較與的大小,并說明你的理由.解（Ⅰ），，.要使函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),則在定義域內(nèi)，=1\＊GB3①當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立，此時函數(shù)