2019年新課堂高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文科第七章3講圓方程配套課件

第3講

圓的方程考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)2012年新課標(biāo)第20題考查直線、圓與拋物線的綜合應(yīng)用；2013年新課標(biāo)Ⅰ第21題考查直線、圓、橢圓的綜合應(yīng)用；2014

年大綱第16

題考查切線的性質(zhì)及三角函數(shù)的運(yùn)算、新課標(biāo)Ⅰ第20題考查求圓的方程、新課標(biāo)Ⅱ第12題考查直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合；2015

年新課標(biāo)Ⅰ第14

題、北京第2題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2017年新課標(biāo)Ⅲ第20題(2)考查求圓的方程本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用，既與前面的直線相聯(lián)系，也為后面學(xué)習(xí)圓錐曲線做準(zhǔn)1.掌握確定圓的幾何要素.備.高考中對(duì)此部分內(nèi)容的考查主要呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)一是重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技方程與一般方能，主要考查了直線、圓的程.方程，直線與圓的位置關(guān)系，3.初步了解用代圓與圓的位置關(guān)系；二是重?cái)?shù)方法處理幾在知識(shí)的交匯處命題，把解何問題的思想析幾何初步與集合、向量、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合命題，注重考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力圓的定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓.確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r＞0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.x2＋y2＝r23.圓的一般方程2

2

D2

E2方程

x

＋y

＋Dx＋Ey＋F＝0

可變形為x＋

2

＋y＋2

＝D2＋E2－4F4.故有：2

2DE(1)當(dāng)

D

＋E

－4F＞0

時(shí)，方程表示以－

2

，－2為圓心，以D2＋E2－4F2為半徑的圓；2

2DE(2)當(dāng)D

＋E

－4F＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)－2

，－2；(3)當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.4.點(diǎn)M(x0，y0)與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置關(guān)系點(diǎn)M

在圓內(nèi)點(diǎn)M

在圓上點(diǎn)M

在圓外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；x＋y＋Dx0＋Ey0＋F

>

0.1.(2015

年北京)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是(A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D

)解析：由題意可得圓的半徑為r＝

2，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.故選D.2.若點(diǎn)P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN

的中點(diǎn)，則弦MND

)所在直線的方程為(A.2x＋y－3＝0C.x＋2y－3＝0B.x－2y＋1＝0D.2x－y－1＝0b＝(3.若直線y＝x＋b

平分圓x2＋y2－8x＋2y＋8＝0

的周長(zhǎng)，則D

)A.3C.－3B.5D.－54.(2017

年廣東廣州一模)若一個(gè)圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且該圓與直線y

＝x＋3

相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.x2＋(y－1)2

＝2解析：拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，故圓心為(0,1).圓的半徑為r＝|0－1＋3|2＝

2.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝2.考點(diǎn)1求圓的方程例1：(1)求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3,2)，圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程；(2)設(shè)圓上的點(diǎn)

A(2,3)關(guān)于直線

x＋2y＝0

的對(duì)稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上，且圓與直線

x－y＋1＝0

相交的弦長(zhǎng)為

2 2

，求圓的方程；(3)(2017

年廣東茂名一模)已知直線x－2y＋2＝0

與圓C

相切，圓C

與x

軸交于兩點(diǎn)A(－1,0)，B(3,0)，求圓C

的方程.解：(1)方法一，從數(shù)的角度，選用標(biāo)準(zhǔn)式.設(shè)圓心P(x0，y0)，則由|PA

|＝|PB|，得

(x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.又2x0－y0－3＝0，兩方程聯(lián)立，得x0＝4，y0＝5.∴|PA|＝

10.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－5)2＝10.方法二，從數(shù)的角度，選用一般式.∴圓的方程是x2＋y2－8x－10y＋31＝0.設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

DE則圓心坐標(biāo)為－2

，－2.∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0，32＋22＋3D＋2E＋F＝0，

D

E2×－

2

－－2－3＝0.D＝－8，解得E＝－10，F(xiàn)＝31.方法三，從形的角度.線段AB

為圓的弦，由平面幾何知識(shí)知，圓心P

應(yīng)在線段AB

的垂直平分線x＝4

上，則由x＝4，得2x－y－3＝0，

x＝4，y＝5，即圓心P(4,5).∴半徑r＝|PA|＝

10.∴圓的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10.(2)設(shè)點(diǎn)A

關(guān)于直線x＋2y＝0

的對(duì)稱點(diǎn)為A′，∵AA′為圓的弦，∴A

與A′的對(duì)稱軸x＋2y＝0

過圓心.設(shè)圓心

P(－2a，a)，半徑為

R，則

R＝|PA|＝ (－2a－2)2＋(a－3)2.又弦長(zhǎng)

2

2＝2

R2－d2，d＝2|－2a－a＋1|，∴R2＝2＋(3a－1)22，即4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋(3a－1)22.∴a＝－7，或a＝－3.當(dāng)a＝－7

時(shí)，R＝

244；當(dāng)a＝－3時(shí)，R＝

52.∴所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52

或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.(3)∵圓C

與x軸交于兩點(diǎn)A(－1,0)，B(3,0)，∴由垂徑定理，得圓心在x＝1

這條直線上.設(shè)圓心坐標(biāo)為C

(1,

b)，圓半徑為r，則C

到切線x－2y＋2＝0

的距離等于r＝|CA|.解得b＝－1

或b＝－11.∴圓C

的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5或(x－1)2＋(y＋11)2＝125.∴|1－2b＋2|52

2

2＝

2

＋b

.即b

＋12b＋11＝0.【規(guī)律方法】研究圓的問題，既要理解代數(shù)方法，熟練運(yùn)用解方程思想，又要重視幾何性質(zhì)及定義的運(yùn)用，以降低運(yùn)算量.總之，要數(shù)形結(jié)合，拓寬解題思路.與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題經(jīng)常需要用到點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理、垂徑定理等.的方程為

.【互動(dòng)探究】1.(2016

年天津)已知圓C

的圓心在x

軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，5)在圓

C

上，且圓心到直線

2x－y＝0

的距離為4

5

C5

，則圓(x－2)2＋y2＝95解析：設(shè)

C(a,0)，a>0，則|2a|

4＝55?a＝2，r＝22＋(

5)2＝3，故圓C

的方程為(x－2)2＋y2＝9.考點(diǎn)2與圓有關(guān)的最值問題例2：已知實(shí)數(shù)x，y

滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：yx的最大值和最小值；y－x

的最小值；x2＋y2的最大值和最小值.解：(1)方法一，如圖D39，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以

3

為半徑的圓.圖D39y設(shè)x＝k，即y＝kx，當(dāng)圓心(2,0)到y(tǒng)＝kx

的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大值或最小值.k2＋1|2k－0|由 ＝

3，得

k2＝3，解得

k＝±

3.x∴

max＝y(tǒng)

yx3，

min＝－

3.方法二，由平面幾何知識(shí)，有OC＝2，|PC|＝

3，∠POC＝60°，直線OP

的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°，則

max＝tan

60°＝y(tǒng)

yx

x3，

min＝tan

120°＝－

3.(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x＋b

與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距b

取得最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得|2－0＋b|2＝

3，即

b＝－2±

6.故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2

是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，如圖D34，OC

與圓交于點(diǎn)B，其延長(zhǎng)線交圓于點(diǎn)C′，則(x2＋y2)

＝|OC′|2＝(2＋

3)2＝7＋4

3，max(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－

3)2＝7－4

3.【規(guī)律方法】方程x2＋y2－4x＋1＝0

表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，x－x

可看作直線y＝x＋b

在y

軸上的截距，x2＋y2

是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，可借助平面幾何的知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求解.以3為半徑的圓.y的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，y涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：x－a①形如u＝y(tǒng)－b形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by

形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2

形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動(dòng)圓半徑的最值問題.圖D40【互動(dòng)探究】2.(2017

年重慶四校模擬)設(shè)

P

是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4

上的動(dòng)點(diǎn)，Q

是直線

x＝－3

上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(

B

)A.6

B.4

C.3

D.2解析：如圖D40，圓心M(3，－1)與直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.3.已知實(shí)數(shù)x，y

滿足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，則2x－y

的最大值為 ，最小值為解析：令b＝2x－y，則b

為直線y＝2x－b

在y

軸上的截距的相反數(shù).當(dāng)直線2x－y＝b

與圓相切時(shí)，b

取得最值.由|2×2＋1－b|5＝1，解得

b＝5±

5.所以

2x－y

的最大值為

5＋

5，最小值為5－5.5＋

55－

5

.考點(diǎn)3圓的綜合應(yīng)用例3：(1)(2014年大綱)直線l1

和l2

是圓x2＋y2＝2

的兩條切線，若l1

與l2

的交點(diǎn)為(1,3)，則l1

與l2

的夾角的正切值等于

.答案：43圖7-3-1|OP|解析：如圖7-3-1，sin∠OPB＝|OB|＝102

＝

55

，cos∠OPB＝2

551，tan∠OPB＝2，所以12×221－

24tan∠APB＝tan

2∠OPB＝

1

＝3.(2)(2017

年江蘇)

在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，A(－12,0)

，B(0,6)，點(diǎn)

P在圓

O：x2＋y2＝50

上，若P→A·P→B≤20，則點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

.解析：設(shè)P(x，y)，由P→A·P→B≤20，易得2x－y＋5≤0，由2

2可得2x－y＋5＝0，

x＝－5，或x＝1，x

＋y

＝50

y＝－5，

y＝7.由2x－y＋5≤0

表示直線2x－y＋5＝0

以及直線上方的區(qū)域，結(jié)合限制條件－5

2≤x≤5

2，可得點(diǎn)

P

橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5

2，1].答案：[－5

2，1]【互動(dòng)探究】4.(2015年新課標(biāo)Ⅱ)已知三點(diǎn)

A(1,0)，B(0，

3)，C(2，

3)，則△ABC

外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(

)A.53B.

213C.253D.43答案：B3)，C(2，3)，得線段BC

的垂直平分解析：由點(diǎn)

B(0，線方程為

x＝1.

①由點(diǎn)A(1,0)，B(0，3)，得線段

AB

的垂直平分線方程為

3

3

1y－

2

＝

3

x－2，

②聯(lián)立①②，解得△ABC

外接圓的圓心坐標(biāo)為1，2

33.2其到原點(diǎn)的距離為

1

＋322

3

213＝

.故選B.思想與方法⊙利用函數(shù)與方程的思想求圓的方程例題：(2017

年新課標(biāo)Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l

交C

于A，B

兩點(diǎn)，圓M

是以線段AB

為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O

在圓M

上；(2)設(shè)圓M

過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l

與圓M

的方程.(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由x＝my＋2，2y

＝2x2可得y

－2my－4＝0，y1y2＝－4.y22

2又x1＝

1，x2＝

2，x1x2＝y(tǒng)2

y2

y22

21×

2＝

1

2(y

y

)24＝4，－4因此

OA的斜率與

OB

的斜率之積為y1·y2＝

＝－1，x1

x2

4所以O(shè)A⊥OB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O

在圓M

上.(2)解：由(1)，可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，(m2＋2)2＋m2，故圓心為M(m2＋2，m)，圓的半徑為r＝圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此A→P·B→P＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)，可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0.解得m＝1

或m＝－21

.當(dāng)

m＝1

時(shí)，直線

l

的方程為

x－y－2＝0

，圓

M

的圓心坐標(biāo)為(3,1)，半徑為

10，則圓M

的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.21當(dāng)

m＝－

時(shí)，直線

l

的方程為

2x＋y－4＝0

，9

14

2圓

M

的圓心坐標(biāo)為

，－

，半徑為

85

4，圓M

的方程為