正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦穩(wěn)態(tài)電路1第一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三學習目標正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素,學會比較相位。正確區(qū)分瞬時值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感元件上的電壓、電流之間的有效值和相位關(guān)系；KVL、KCL的相量形式，并能對正弦穩(wěn)態(tài)電路進行相關(guān)的分析、計算。2第二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三正確區(qū)分瞬時功率、平均功率、有功功率、無功功率和視在功率，并會進行計算。掌握提高功率因數(shù)的方法。理解諧振現(xiàn)象，并掌握串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的特點。能進行對稱三相電路的計算3第三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.1正弦量的基本概念4.1.1正弦量的三要素若電壓、電流是時間t的正弦函數(shù)，稱為正弦交流電。

以電流為例，正弦量的一般解析式為：

波形如圖4-1所示圖4-1正弦量的波形4第四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖中Im

叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度叫正弦量的相位，當t=0時的相位叫初相位，簡稱初相；ω叫正弦量的角頻率。因為正弦量每經(jīng)歷一個周期的時間T，相位增加2π，則角頻率ω、周期T和頻率?之間關(guān)系為：

ω、T、?反映的都是正弦量變化的快慢，ω越大，即?越大或T越小，正弦量變化越快；ω越小，即?越小或T越大，正弦量變化越慢。

把振幅、角頻率和初相稱為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的。5第五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

用正弦函數(shù)表示正弦波形時，把波形圖上原點前后正負T/2內(nèi)曲線由負變正經(jīng)過零值的那一點作為正弦波的起點。初相角就是波形起點到坐標原點的角度，于是初相角不大于，且波形起點在原點左側(cè)；反之。如圖4-2所示，初相分別為0、由圖可見，初相為正值的正弦量，在t=0時的值為正，起點在坐標原點之左；初相為負值后正弦量，在t=0時的值為負，起點在坐標原點之右。6第六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-27第七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.1.2、同頻率正弦量的相位差

設有兩個同頻率的正弦量為

叫做它們的相位差。正弦量的相位是隨時間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初相之差。初相相等的兩個正弦量，它們的相位差為零，這樣的兩個正弦量叫做同相。同相的正弦量同時達到零值，同時達到最大值，步調(diào)一致。兩個正弦量的初相不等，相位差就不為零，不同時達到最大值，步調(diào)不一致，8第八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

如果，則表示i1超前i2;如果，則表示i1滯后i2，如果，則兩個正弦量正交；如果，則兩個正弦量反相。同頻率正弦量的相位差，不隨時間變化，與計時起點的選擇無關(guān)。為了分析問題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個正弦量中，只能選擇一個為參考正弦量。如圖4-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個正弦量同相、超前、正交、反相。9第九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-3i1與i2同相、超前、正交、反相10第十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.1.3

正弦電流、電壓的有效值

1、有效值周期量的有效值定義為：一個周期量和一個直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過一個周期的時間產(chǎn)生相等的熱量，則這個周期量的有效值等于這個直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有

則周期電流的有效值為11第十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2、正弦量的有效值對于正弦電流，設同理12第十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.2正弦量的相量表示法

4.2.1復數(shù)的運算規(guī)律

復數(shù)的加減運算規(guī)律。兩個復數(shù)相加（或相減）時，將實部與實部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。如：相加、減的結(jié)果為：A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)

復數(shù)乘除運算規(guī)律：兩個復數(shù)相乘，將模相乘，輻角相加；兩個復數(shù)相除，將模相除，輻角相減。如：13第十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三因為通常規(guī)定：逆時針的輻角為正，順時針的輻角為負，則復數(shù)相乘相當于逆時針旋轉(zhuǎn)矢量；復數(shù)相除相當于順時針旋轉(zhuǎn)矢量。特別地，復數(shù)的模為1，輻角為

。把一個復數(shù)乘以就相當于把此復數(shù)對應的矢量反時針方向旋轉(zhuǎn)角。14第十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.2.2正弦量的相量表示設有一復數(shù)它和一般的復數(shù)不同，它不僅是復數(shù)，而且輻角還是時間的函數(shù)，稱為復指數(shù)函數(shù)。因為由于

可見A(t)的虛部為正弦函數(shù)。這樣就建立了正弦量和復數(shù)之間的關(guān)系。為用復數(shù)表示正弦信號找到了途徑。15第十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三式中同理把這個復數(shù)分別稱為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應該注意，相量與正弦量之間只具有對應關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。

例已知u1=141sin(ωt+60o)V，u

2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求兩電壓之和的瞬時值u(t)

（3）畫出相量圖解（1）16第十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三（2）（3）相量圖如圖4-4所示圖4-417第十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.3基本元件VAR相量形式和KCL、KVL相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

在交流電路中，電壓和電流是變動的，是時間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲能元件電感和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式。1、電阻元件根據(jù)歐姆定律得到上式表明電阻兩端的正弦電壓和流過的正弦電流是同相的，相量、波形圖如圖4-5所示。18第十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三其相量關(guān)系為：圖4-5電阻元件的電壓、電流相量及波形圖19第十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三2、電容元件電容元件上電壓、電流之間的相量關(guān)系式為：

將上式改寫為：

通常把XC=定義為電容的容抗。在直流情況下，頻率為零，，電容相當于開路。

20第二十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-6電容元件的波形、相量圖以上表明電容電流超前電容電壓90°，可以用相量圖或波形圖清楚地說明。如圖4-6所示。21第二十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3、電感元件電感元件上電壓、電流之間的相量關(guān)系式為：由上式可得U=ωLI=XLI

上式表明電感上電流滯后電壓為90°。通常把XL=ωL定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值即XL=ωL。對于一定的電感L，當頻率越高時，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當于短路。22第二十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-7電感元件的波形、相量圖電感元件的波形、相量圖如圖4-7所示?？梢钥闯?，電感上電流滯后電壓為90°。23第二十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.3.2的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，在任一瞬間，由任一節(jié)點流出（或流入）的各支路電流相量的代數(shù)和為零:

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，在任一瞬間，沿回路各支路電壓相量的代數(shù)和為零：24第二十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.4復阻抗與復導納4.4.1復阻抗

設由R、L、C串聯(lián)組成無源二端電路。如圖4-8所示，流過各元件的電流都為I，各元件上電壓分別為uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口電壓為u(t)。

圖4-825第二十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三因為

u(t)=uR(t)+u

L(t)+uC(t)即所以26第二十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三上式是正弦穩(wěn)態(tài)電路相量形式的歐姆定律。Z為該無源二端電路的復阻抗（或阻抗），它等于端口電壓相量與端口電流相量之比，當頻率一定時，阻抗Z是一個復常數(shù)，可表示為指數(shù)型或代數(shù)型，即：式中∣Z∣稱為阻抗的模，其中X=XL-XC稱為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。稱為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角，即

27第二十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.4.2復導納對于如圖4-9所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形式KCL，得到：圖4-9RLC并聯(lián)電路28第二十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

Y為無源二端電路的復導納（或?qū)Ъ{），對于同一電路，導納與阻抗互為倒數(shù)。∣Y∣稱為導納模，它等于阻抗模的倒數(shù)；對于同一電路，導納模與阻抗模也互為倒數(shù)。稱為導納角，導納角等于電流與電壓的相位差，它也等于負的阻抗角。29第二十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

對于線性正弦穩(wěn)態(tài)電路有

所以線性電阻電路的各種分析方法和電路定理可以推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。具體方法是所有電壓、電流用相量形式，元件用阻抗或?qū)Ъ{，畫出電路的相量模型，從而建立相量形式的代數(shù)方程。

30第三十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.6正弦穩(wěn)態(tài)中的功率4.6.1R、L、C元件的功率和能量1.電阻元件的功率設正弦穩(wěn)態(tài)電路中，在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時功率為pR(t)=u(t)i(t)設流過電阻元件的電流為

iR(t)=ImsinωtA其電阻兩端電壓為

uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV則瞬時功率為31第三十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此

pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0其瞬時功率的波形圖如4-10所示。由圖可見，電阻元件的瞬時功率是以兩倍于電壓的頻率變化的，而且pR（t）≥0，說明電阻元件是耗能元件。圖4-10電阻元件的瞬時功率32第三十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三電阻的平均功率可見對于電阻元件，平均功率的計算公式與直流電路相似。2.電感元件的功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，設流過電感元件的電流為

則電感電壓為：33第三十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三其瞬時功率為

上式表明，電感元件的瞬時功率也是以兩倍于電壓的頻率變化的；且pL(t)的值可正可負，其波形圖如圖4-11所示。

圖4-11電感元件的瞬時功率34第三十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

從圖上看出，當uL(t)、iL(t)都為正值時或都為負值時，pL(t)為正，說明此時電感吸收電能并轉(zhuǎn)化為磁場能量儲存起來；反之，當pL(t)為負時，電感元件向外釋放能量。pL(t)的值正負交替，說明電感元件與外電路不斷地進行著能量的交換。電感消耗的平均功率為：

電感消耗的平均功率為零，說明電感元件不消耗功率，只是與外界交換能量。

35第三十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三3．電容元件的功率在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設流過電容元件的電流為:

則電容電壓為：

其瞬時功率為：36第三十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三uc

(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如圖4-12所示。圖4-12電容元件的瞬時功率37第三十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三從圖上看出，pc(t)、與pL(t)波形圖相似，電容元件只與外界交換能量而不消耗能量。電容的平均功率也為零，即：電感元件以磁場能量與外界進行能量交換，電容元件是以電場能量與外界進行能量交換。38第三十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.6.2二端電路的功率1.瞬時功率在圖4-13所示二端電路中，設電流i(t)及端口電壓u(t)在關(guān)聯(lián)參考方向下，分別為：則二端電路的瞬時功率為：

圖4-1339第三十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三上式表明，二端電路的瞬時功率由兩部分組成，第一項為常量，第二項是兩倍于電壓角頻率而變化的正弦量。瞬時功率如圖4-14所示。

圖4-14二端RLC電路的瞬時功率40第四十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三從圖上看出，u(t)或i(t)為零時，p(t)為零；當二者同號時，p(t)為正，電路吸收功率；二者異號時，p(t)為負，電路放出功率，圖上陰影面積說明，一個周期內(nèi)電路吸收的能量比釋放的能量多，說明電路有能量的消耗。2.有功功率（也叫平均功率）和功率因素

41第四十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三式中稱為二端電路的功率因素，功率因素的值取決于電壓與電流之間的相位差，也叫功率因素角。

4.6.3無功功率、視在功率和復功率

無功功率用Q表示，定義通常將二端電路電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率，用S表示，即

S=UI42第四十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三P、Q、S之間存在如下關(guān)系工程上為了計算方便，把有功功率作為實部，無功功率作為虛部，組成復數(shù)，稱為復功率，用表示復功率，即

43第四十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

4.6.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸

如圖4-15所示，交流電源的電壓為，其內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jxs，負載阻抗ZL=RL+jXL

,電路中電流為：

電流有效值為：

圖5-1544第四十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三負載吸收的功率為：要求出PL的最大值為此需求出PL對RL的導數(shù)，并使之為零，即：由上式得到：（RS+RL)2-2RL(RS+RL）=0

解得：

RL=RS45第四十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三負載獲取最大功率的條件為：上式表明，當負載阻抗等于電源內(nèi)阻抗的共軛復數(shù)時，負載能獲得最大功率，稱為最大功率匹配或共軛匹配。此時最大功率為：46第四十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.7諧振電路

4.7.1串聯(lián)諧振電路如圖4-16電路中，回路在外加電壓us=USmsinωt作用下，電路中的復阻抗為：圖4-16串聯(lián)諧振電路

Z=當改變電源頻率，或者改變L、C的值時都會使回路中電流達到最大值，使電抗

=0，電路呈電阻性，此時我們就說電路發(fā)生諧振。由于是R、L、C元件串聯(lián)，所以又叫串聯(lián)諧振。47第四十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三發(fā)生串聯(lián)諧振的條件：

即當串聯(lián)回路中容抗等于感抗時，稱回路發(fā)生了串聯(lián)諧振。這時頻率稱為串聯(lián)諧振頻率，用fo

表示，相應的角頻率用ωo表示，發(fā)生串聯(lián)諧振的角頻率ωo和頻率fo分別為：48第四十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

串聯(lián)諧振電路具有如下特性：（1）諧振時，回路電抗X=0，阻抗Z=R為最小值,且為純電阻。而在其他頻率時，回路電抗X≠0，當外加電壓的頻率ω>ω0時，ωL>，回路呈感性，當ω<ω0時，回路呈容性。（2）諧振時，回路電流最大，即,且電流與外加電壓同相。（3）電感及電容兩端電壓模值相等，且等于外加電壓的Q倍。49第四十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三串聯(lián)揩振時，、、、與的相位關(guān)系如圖4-17所示。通常，回路的Q值可達幾十到幾百，諧振時電感線圈和電容兩端的電壓可以比信號源電壓大幾十到幾百倍，所以又叫電壓諧振。從圖4-17可以看出，超前為90°,滯后為90°，與相位相反。圖4-17串聯(lián)諧振時電壓和電流相量圖50第五十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-19串聯(lián)諧振時的通頻帶

圖4-18串聯(lián)諧振時諧振曲線通頻帶

當外加信號電壓的幅值不變，頻率改變?yōu)棣?ω1或ω=ω2，此時回路電流等于諧振值的0.707倍，如圖4-19所示。ω2-ω1稱為回路的通頻帶，其絕對值為：2△ω0.7=ω2-ω1或2△f0.7=f2-f151第五十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.7.2并聯(lián)諧振

在圖4-20R-L-C并聯(lián)電路中，電路的總導納Y為：

圖4-20R-L-C并聯(lián)諧振電路52第五十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三并聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是：XL=XC，此時|Z|=R，電路呈電阻性。由于R-L-C并聯(lián)，所以這時又稱為并聯(lián)諧振。即當ω0L=

時發(fā)生并聯(lián)諧振。其諧振頻率為：并聯(lián)諧振電路的特點為：（1）XL=XC，|Z|=R，電路阻抗為純電阻性。（2）諧振時，因阻抗最大，在激勵電流一定時，電壓的有效值最大。(3)電感和電容上電流相等，其電流為總電流的

Q倍。53第五十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三電感和電容上電流相等，其電流為總電流的Q倍，即：式中Q稱為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因素，其值為：

因為純電阻電路，故總電流與電源電壓同相。并聯(lián)諧振電路的電流及各電壓相位關(guān)系如圖4-21所示。圖4-21并聯(lián)諧振時電壓和電流相量圖

54第五十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三電感線圈和電容器的并聯(lián)諧振電路工程上廣泛應用電感線圈與電容器組成并聯(lián)諧振電路，由于實際電感線圈的電阻不可忽略，與電容器并聯(lián)時，其電路模型如圖4-22所示。

圖4-22電感與電容的并聯(lián)諧振電路55第五十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-23LC并聯(lián)諧振時電壓電流相量圖從圖相量中看出即：整理后：上式就是發(fā)生諧振的條件?？梢缘玫街C振時的角頻率為：

其電壓電流相量圖如圖4-23所示

56第五十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.8三相電路4.8.1三相交流電動勢的產(chǎn)生三相交流電動勢源是三單相交流發(fā)機產(chǎn)生的。設第一相初相為0°，第二相為-120°，第三相為120°，所以瞬時電動勢為：

e1=Emsinωte2=Emsin（ωt-120°）

e3=Emsin（ωt+120°）

這樣的電動勢叫對稱三相電動勢。其相量圖和波形圖見圖4-24。57第五十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三圖4-24三相電源對稱三相電動勢相量和為零，即：

=0由波形圖可知，三相電動勢對稱時任一瞬間的代數(shù)和為零，即：

e1+e2+e3=058第五十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.8.2三相電源的連接

將三相電源按一定方式連接之后，再向負載供電，通常采用星形連接方式，如圖4-25所示。低壓配電系統(tǒng)中，采用三根相線和一根中線輸電，稱為三相四線制；高壓輸電工程中，由三根相線組成輸電，稱為三相三線制。每相繞組始端與圖4-25星形連接末端之間的電壓，也就是相線和中線之間的電壓，叫相電壓，其瞬時值用u1、u2、u3表示，通用up表示。59第五十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三任意兩相線之間的電壓，叫線電壓，瞬時值用u12、u23、u31表示，通用ul表示。由于u12=u1-u2

u23=u2-u3

u31=u3-u1其次，作出線電壓和相電壓的相量圖，如圖4-26所示。圖4-26星形連接線電壓相電壓的相量圖60第六十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三同理作星形連接時，三個相電壓和三個線電壓均為三相對稱電壓，各線電壓的有效值為相電壓有效值的倍，且線電壓相位比對應的先行相的相電壓超前30°。由于構(gòu)成等腰三角形，所以61第六十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.8.3對稱三相負載的星形連接

三相電路負載有星形連接和三角形連接兩種方式。１．負載的星形連接如圖4-27所示是對稱三相負載作星形連接時的電路圖。

圖4-27對稱三相負載的星形連接62第六十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三

顯然，在負載星形連接時，線電流等于相電流，即若三相負載對稱，即Z1=Z2=Z3=Zp，因各相電壓對稱，所以各相電流相等，即：

I1=I2=I3=IYP=

由基爾霍夫電流定律知

同時，三個相電流的相位差互為120°，滿足63第六十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三略去電線上的電壓降，則各相負載的相電壓就等于電源的相電壓，這樣，電源的線電壓為負載相電壓的倍，即：UYP為星形聯(lián)接負載相電壓。三相電路中，流過每根相線的電流叫線電流，即I1、I2、I3，用表示，方向規(guī)定為由電源流向負載；而流過負載的電流叫相電流，用IYP表示，其方向與相電壓方向一致；流過中線的電流叫中線電流，用IN表示，其方向規(guī)定由負載中點N/

流向電源中點N。64第六十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三這樣，對稱的三相負載作星形聯(lián)接時，中線電流為零。這時，可以省略中線而成為三相三線制，并不影響電路工作。如果三相負載不對稱，各相電流大小就不相等，相位差也不一定是120°，中線電流不為零，此時就不能省去中線。否則會影響電路正常工作，甚至造成事故。所以三相四線制中除盡量使負載平衡運行之外，中線上不準安裝熔絲和開關(guān)。65第六十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三4.8.4對稱三相負載的三角形連接

如圖4-28所示，將三相負載分別接在三相電源的兩根相線之間，稱為三相負載的三角形連接。不論負載對稱與否，各相負載承受的電壓均為對稱的電源線電壓。圖4-28三相負載的三角形連接66第六十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期三對于對稱三相負載，相電壓等于線電壓，即同時，各相電壓與各相電流的相位差也相同。即三相電流的相位差也互為120°。各相電流的方向與該相的電壓方向一致。由