物理電動(dòng)力學(xué)

物理電動(dòng)力學(xué)第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)容概要1磁場(chǎng)的矢勢(shì)2矢勢(shì)微分方程3矢勢(shì)邊值關(guān)系

4靜磁場(chǎng)的能量

§3-1

靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)及其微分方程和邊值關(guān)系重點(diǎn)：矢勢(shì)的引入,滿足的庫侖規(guī)范,

物理意義微分方程和邊值關(guān)系的建立靜磁場(chǎng)能量公式及理解第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三由于矢勢(shì)是一個(gè)矢量，所有的公式都是矢量形式，計(jì)算比較復(fù)雜.人們還是希望能象在靜電場(chǎng)中引入靜電勢(shì)求解靜電場(chǎng)一樣也在靜磁場(chǎng)中引入一個(gè)標(biāo)量勢(shì)函數(shù)（磁標(biāo)勢(shì)）來求解靜磁場(chǎng)以簡(jiǎn)化計(jì)算。第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三章第二節(jié)磁標(biāo)勢(shì)第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

其具體內(nèi)容為：

一、磁標(biāo)勢(shì)的引入

二、磁標(biāo)勢(shì)的方程和邊值關(guān)系

三、磁標(biāo)勢(shì)法求解靜磁場(chǎng)第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三、磁標(biāo)勢(shì)的引入1、從數(shù)學(xué)角度定義在矢量場(chǎng)中引入標(biāo)量勢(shì)的條件從數(shù)學(xué)的角度而言：對(duì)于某矢量場(chǎng)引入其標(biāo)量勢(shì)函數(shù)的條件，可表述成定理如下：在區(qū)域內(nèi)有矢量場(chǎng)，若對(duì)內(nèi)任一閉合曲線都有則必能引入一單值的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)引入標(biāo)量勢(shì)的條件要存在標(biāo)量勢(shì)函數(shù)

第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三要存在標(biāo)量勢(shì)函數(shù)例如：對(duì)于靜電場(chǎng)在全空間均有

于是我們引入了靜電場(chǎng)的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，且2．在靜磁場(chǎng)中引入磁標(biāo)勢(shì)的兩個(gè)困難（2）．靜磁場(chǎng)為有旋場(chǎng)，不能在全空間引入標(biāo)勢(shì)。可見：一般情況下在靜磁場(chǎng)中不能引入磁標(biāo)勢(shì)第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三3．在靜磁場(chǎng)中引入磁標(biāo)勢(shì)的條件區(qū)域內(nèi)無傳導(dǎo)電流分布區(qū)域內(nèi)作出的任何一條閉合曲線都不連環(huán)著電流

即只能在區(qū)域，且在區(qū)域中任何回路都不能與電流相鏈環(huán)。語言表述：引入?yún)^(qū)域?yàn)闊o傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域。

第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三類比靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)的引入靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)[簡(jiǎn)稱電勢(shì)]對(duì)于靜電場(chǎng)第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三總結(jié)靜磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)的引入靜磁場(chǎng)標(biāo)勢(shì)[簡(jiǎn)稱磁標(biāo)勢(shì)]在靜磁場(chǎng)中：對(duì)于無傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域雖然磁場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度表面上相對(duì)應(yīng)，但從物理本質(zhì)上看只有磁感應(yīng)強(qiáng)度才與電場(chǎng)強(qiáng)度地位相當(dāng)。描述宏觀磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度僅是個(gè)輔助量。第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三引入磁標(biāo)勢(shì)的區(qū)域?yàn)闊o自由電流分布的單連通區(qū)域。4、引入磁標(biāo)勢(shì)的幾種情況

(1)空間中沒有自由電流，全空間均可以引入磁標(biāo)勢(shì)描述磁場(chǎng)。例1：求磁化矢量為的均勻磁化介質(zhì)球產(chǎn)生的磁場(chǎng)第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三4、引入磁標(biāo)勢(shì)的幾種情況

(2)空間中有傳導(dǎo)電流，則挖去電流及電流線所圍著的一個(gè)曲面S，在剩下的空間中可以引入磁標(biāo)勢(shì)。第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三4、引入磁標(biāo)勢(shì)的幾種情況

因此通常用磁標(biāo)勢(shì)來描述和求解永磁體的磁場(chǎng)

（3）對(duì)于永磁體，它的磁場(chǎng)都是由分子電流激發(fā)的，全空間任何傳導(dǎo)電流，因而在全空間可引入磁標(biāo)勢(shì)。磁化鐵球第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三二．磁標(biāo)勢(shì)滿足的微分方程1．引入磁標(biāo)勢(shì)區(qū)域(無傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域）磁場(chǎng)滿足的場(chǎng)方程2．滿足的泊松方程第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三轉(zhuǎn)化為看兩組方程并進(jìn)行類比:無源區(qū)域的靜磁場(chǎng)無源區(qū)域的靜電場(chǎng)類比知無源區(qū)域的靜場(chǎng)具有相同的規(guī)律第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三轉(zhuǎn)化為第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三語言表述：引入?yún)^(qū)域?yàn)闊o傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域。

在靜磁場(chǎng)中引入磁標(biāo)勢(shì)的條件第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三類比：

的邊值關(guān)系

同樣的：

的邊值關(guān)系需討論

三．磁標(biāo)勢(shì)滿足的邊值關(guān)系第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三類比靜電勢(shì)的邊值關(guān)系的導(dǎo)出靜電場(chǎng)的基本邊值關(guān)系導(dǎo)出第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三三．磁標(biāo)勢(shì)滿足的邊值關(guān)系的邊值關(guān)系需討論

第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三類比：第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三若兩種介質(zhì)均為各向同性線性非鐵磁介質(zhì):即對(duì)于兩側(cè)均為線性非鐵磁介質(zhì)的分界面:邊值關(guān)系：第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三若介質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，介質(zhì)2為各向同性線性非鐵磁質(zhì)邊值關(guān)系:即對(duì)于若介質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，介質(zhì)2為線性非鐵磁質(zhì)第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三作業(yè)11設(shè)理想鐵磁體的磁化規(guī)律為現(xiàn)將這種理想鐵磁體做成的半徑為的均勻磁化球的無限介質(zhì)中，浸入磁導(dǎo)率為求空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三四．無源區(qū)域靜電場(chǎng)與無源區(qū)域靜磁場(chǎng)的比較靜磁場(chǎng)靜電場(chǎng)第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例1：證明的磁性物質(zhì)表面為等磁勢(shì)面。12角標(biāo)1代表磁性物質(zhì)、角標(biāo)2為真空因此，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直（切向分量與法向分量之比→0)第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三則表面上任意兩點(diǎn)的磁標(biāo)勢(shì)之差表面為磁等勢(shì)面12第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三章第二節(jié)磁標(biāo)勢(shì)第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

一、磁標(biāo)勢(shì)的引入

二、磁標(biāo)勢(shì)的方程和邊值關(guān)系

三、磁標(biāo)勢(shì)法求解靜磁場(chǎng)第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三邊值關(guān)系:第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三五、利用磁標(biāo)勢(shì)求解靜磁場(chǎng)方程+邊值關(guān)系

+區(qū)域邊界條件，才能唯一確定給定區(qū)域中的磁標(biāo)勢(shì)，從而求解靜磁場(chǎng)。泊松方程+邊值關(guān)系+區(qū)域邊界條件稱為求解磁標(biāo)勢(shì)的定解問題

對(duì)定解問題，可以用不同方法和手段進(jìn)行求解。主要討論兩種方法：1、拉普拉斯方程的分離變量法2、鏡象法？第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三靜電場(chǎng)的基本問題是求解區(qū)域內(nèi)的電勢(shì).方程+邊值關(guān)系

+區(qū)域邊界條件，才能唯一確定給定區(qū)域中的靜電勢(shì)，從而求解場(chǎng)。泊松方程+邊值關(guān)系+區(qū)域邊界條件稱為求解靜電勢(shì)的定解問題

對(duì)定解問題，可以用不同方法和手段進(jìn)行求解。主要討論兩種方法：1、拉普拉斯方程的分離變量法2、鏡象法第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三靜磁問題的唯一性定理：如果可均勻分區(qū)的區(qū)域V中沒有傳導(dǎo)電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內(nèi)磁場(chǎng)唯一地確定：

(i)磁標(biāo)勢(shì)之值m|s(ii)磁場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量(iii)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三五、利用磁標(biāo)勢(shì)求解靜磁場(chǎng)方程+邊值關(guān)系

+區(qū)域邊界條件，才能唯一確定給定區(qū)域中的磁標(biāo)勢(shì)，從而求解靜磁場(chǎng)。泊松方程+邊值關(guān)系+區(qū)域邊界條件稱為求解磁標(biāo)勢(shì)的定解問題

對(duì)定解問題，可以用不同方法和手段進(jìn)行求解。主要討論兩種方法：1、拉普拉斯方程的分離變量法2、鏡象法第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第三章第二節(jié)磁標(biāo)勢(shì)第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三

一、磁標(biāo)勢(shì)的引入

二、磁標(biāo)勢(shì)的方程和邊值關(guān)系

三、磁標(biāo)勢(shì)法求解靜磁場(chǎng)第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三邊值關(guān)系:第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三五、利用磁標(biāo)勢(shì)求解靜磁場(chǎng)方程+邊值關(guān)系

+區(qū)域邊界條件，才能唯一確定給定區(qū)域中的磁標(biāo)勢(shì)，從而求解靜磁場(chǎng)。泊松方程+邊值關(guān)系+區(qū)域邊界條件稱為求解磁標(biāo)勢(shì)的定解問題

對(duì)定解問題，可以用不同方法和手段進(jìn)行求解。主要討論兩種方法：1、拉普拉斯方程的分離變量法2、鏡象法第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1、寫出定解問題2、分析對(duì)稱性，寫出拉氏方程在球坐標(biāo)系中,軸對(duì)稱問題的通解形式3、把定解問題中的定解條件代入通解形式，確定通解形式中的待定系數(shù)4、利用1、2、3求出磁標(biāo)勢(shì)，再進(jìn)一步求其它物理量先利用有限性條件使某些系數(shù)為零，從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化通解形式拉普拉斯方程的分離變量法求解磁標(biāo)勢(shì)的解題步驟第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三1、寫出定解問題2、分析對(duì)稱性，寫出拉氏方程在球坐標(biāo)系中的最簡(jiǎn)單通解

3、把定解問題中的定解條件代入通解形式，確定待定系數(shù)4、利用1、2、3求出電勢(shì)，再進(jìn)一步求其它物理量拉普拉斯方程的分離變量法求解電標(biāo)勢(shì)的解題步驟先利用的邊界條件，確定系數(shù)簡(jiǎn)化通解第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三拉普拉斯方程的分離變量法求解磁標(biāo)勢(shì)應(yīng)用例子例1：求磁化矢量為的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場(chǎng)第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三例1：求磁化矢量為的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場(chǎng)解：全空間無傳導(dǎo)電流，有：

所以可引入磁標(biāo)勢(shì)設(shè)則求解區(qū)域的定解問題為：

方程：第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三邊值關(guān)系：邊界條件：建立球坐標(biāo)系，又因?yàn)閱栴}具有軸對(duì)稱性，所以通解形式為:第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三下面利用邊值關(guān)系定系數(shù)：第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三如何求磁場(chǎng)分布?第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三鐵球內(nèi)外的B和H如圖第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三[例2]磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)球，半徑為R0，被置于均勻外場(chǎng)中，球外為真空。求:空間磁場(chǎng)分布。zoθ解：全空間無傳導(dǎo)電流，可引入磁標(biāo)勢(shì)：

則求解區(qū)域的定解問題為：

第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三[例2]介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)球，半徑為R，被置于均勻外場(chǎng)中，球外為真空。求電勢(shì)分布。1、寫出定解問題(1)拉普拉斯方程求解區(qū)域?yàn)椋?

(2)邊值關(guān)系:(3)邊界條件:zoθ第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三建立球坐標(biāo)系，又因?yàn)閱栴}具有軸對(duì)稱性，所以通解形式為:第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三比較兩邊系數(shù)，得第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三再由邊值關(guān)系可得:第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三比較的系數(shù)得方程組確定待定的系數(shù)第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三待定的系數(shù)確定為：由此得到磁標(biāo)勢(shì)為：第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三如何求磁場(chǎng)分布?第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三Z第六十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期三在球內(nèi)總磁場(chǎng)作用下，介質(zhì)球的磁化強(qiáng)度為：介質(zhì)球的總磁偶