機(jī)械制造與自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)《數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)原理》

數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)原理機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的核心問(wèn)題，就是如何控制刀具或工件的運(yùn)動(dòng)。一般情況是運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)和軌跡的曲線(xiàn)方程，由數(shù)控系統(tǒng)實(shí)時(shí)地計(jì)算出各個(gè)中間點(diǎn)的坐標(biāo)。即需要“插入、補(bǔ)上〞運(yùn)動(dòng)軌跡各個(gè)中間點(diǎn)的坐標(biāo)，通常這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為“插補(bǔ)〞。每種插補(bǔ)方法又可能用不同的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，這種具體的計(jì)算方法稱(chēng)之為插補(bǔ)算法。插補(bǔ)算法的好壞將直接影響CNC系統(tǒng)的性能指標(biāo)。插補(bǔ)的結(jié)果是輸出運(yùn)動(dòng)軌跡的中間點(diǎn)坐標(biāo)值，機(jī)床伺服系統(tǒng)根據(jù)此坐標(biāo)值控制各坐標(biāo)軸之間的相互協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，走出預(yù)定軌跡。在早期的數(shù)控機(jī)床中，插補(bǔ)器是一種硬件數(shù)字邏輯電路裝置，故稱(chēng)為硬件插補(bǔ)器。而在CNC系統(tǒng)中，插補(bǔ)器的局部或全部功能可由計(jì)算機(jī)中的插補(bǔ)程序?qū)崿F(xiàn)。能實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)的程序軟件稱(chēng)軟件插補(bǔ)器。軟件插補(bǔ)算法可分為兩大類(lèi)：脈沖增量插補(bǔ)和數(shù)字采樣插補(bǔ)。脈沖增量插補(bǔ)算法主要為各坐標(biāo)軸進(jìn)行脈分配計(jì)算，插補(bǔ)結(jié)果產(chǎn)生單位行程增量，即工作臺(tái)移動(dòng)一個(gè)脈沖當(dāng)量。常用的脈沖增量插補(bǔ)算法有逐點(diǎn)比擬法和數(shù)字積分法，本節(jié)通過(guò)介紹直線(xiàn)、圓弧逐點(diǎn)比擬插補(bǔ)法，讓讀者了解插補(bǔ)軟件運(yùn)行的過(guò)程。1．逐點(diǎn)比擬插補(bǔ)法工件的輪廓無(wú)論是什么曲線(xiàn)，都可以用簡(jiǎn)單的直線(xiàn)、圓弧等逼進(jìn)。例如圖2-13〔a〕中，為了加工圓弧曲線(xiàn)AB，可以讓刀具先從A點(diǎn)沿一X方向走一步，刀具處在圓內(nèi)1點(diǎn)，然后沿+Y方

向走一步，使刀具靠近圓弧，刀具到達(dá)2點(diǎn)，但仍在圓內(nèi)，故沿+Y再前進(jìn)一步，刀具到達(dá)圓外3點(diǎn)，為靠近圓弧應(yīng)沿一X方向走一步，如此繼續(xù)移動(dòng)，走完9步后到達(dá)終點(diǎn)B,其過(guò)程如圖2-7a所示。a) b)圖2-7逐點(diǎn)比擬插補(bǔ)示意圖加工如圖2-7〔b〕所示中的直線(xiàn)AB也一樣，先從A點(diǎn)沿+X方向走一步，刀具到達(dá)1點(diǎn)，為了逼近直線(xiàn)，第二步沿+Y方向移動(dòng)一步到達(dá)2點(diǎn)，如此繼續(xù)，直到終點(diǎn)B結(jié)束。這種插補(bǔ)方法是走一步計(jì)算一次，并比擬刀具與工件輪廓的相對(duì)位置，使刀具向減小誤差的方向進(jìn)給，故稱(chēng)為逐點(diǎn)比擬法。用逐點(diǎn)比擬法控制機(jī)床加工，需要四個(gè)節(jié)拍：1偏差判別根據(jù)刀具的實(shí)際位置，確定進(jìn)給方向。2進(jìn)給沿減少偏差的方向前進(jìn)一步。3偏差計(jì)算計(jì)算出進(jìn)給后的新偏差值，作為下一步偏差判別的依據(jù)。4終點(diǎn)判別判斷是否到達(dá)終點(diǎn)，假設(shè)未到達(dá)終點(diǎn)，返回去進(jìn)行偏差判別，再重復(fù)上述過(guò)程。假設(shè)到達(dá)終點(diǎn)，發(fā)出插補(bǔ)完成信號(hào)。逐點(diǎn)比擬插補(bǔ)法流程圖如圖2-8所示。圖2-8逐點(diǎn)比擬插補(bǔ)法流程圖 圖2-9偏差判別2．逐點(diǎn)比擬法直線(xiàn)插補(bǔ)運(yùn)算〔1〕偏差判別偏差判別如圖2-9所示，加工軌跡是一條直線(xiàn)0E,坐標(biāo)起點(diǎn)為〔0,0〕，終點(diǎn)為〔Xe,Ye〕。設(shè)刀具的任意位置P點(diǎn)的坐標(biāo)值為〔X,Y〕。假設(shè)P點(diǎn)在直線(xiàn)0E上，那么0P與0E重合，它們的斜率相等，即Y/X=Ye/Xe得：XeY—XYe=O假設(shè)P點(diǎn)在直線(xiàn)0E的上方，那么0P的斜率大于0E的斜率,即Y/X>Ye/Xe得：XeY—XYe>0假設(shè)P點(diǎn)在直線(xiàn)0E的下方，那么OP的斜率小于0E的斜率，即Y/XVYe/Xe 得：XeY—XYeVO用F表示P點(diǎn)的偏差函數(shù)，并定義為：F=XeY—XYe那么當(dāng)F=0時(shí)，P點(diǎn)在直線(xiàn)OE上；F>0時(shí)，P點(diǎn)在直線(xiàn)OE的上方；FV0時(shí)，P點(diǎn)在直線(xiàn)OE的下方?！?〕進(jìn)給當(dāng)F=0時(shí)，規(guī)定刀具向+X方向前進(jìn)一步。當(dāng)F>0時(shí)，控制刀具向+X方向前進(jìn)一步。當(dāng)FV0時(shí)，控制刀具向+Y方向前進(jìn)一步。刀具每走一步后，將刀具新的坐標(biāo)值代入函數(shù)式F=XeY-XYe,求出新的F值，以確定下一步進(jìn)給方向?！?〕偏差計(jì)算用公式F=XeY—XYe計(jì)算偏差值時(shí)，要求進(jìn)行兩數(shù)乘積和求差運(yùn)算。因兩數(shù)乘積和求差運(yùn)算復(fù)雜，運(yùn)算速度慢。實(shí)際計(jì)算時(shí)作如下變換。圖2-10是直線(xiàn)插補(bǔ)時(shí)坐標(biāo)變換情況。設(shè)某一時(shí)刻刀具運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p(x,y)該點(diǎn)的偏差值為：iiif=xy—XYieiie假設(shè)FNO時(shí)，沿+X方向走一步，到達(dá)［X+1,Y)點(diǎn)，i ii如圖2-10〔a〕所示，新的偏差值為：F=XY—(X+1)Y

i+1eiie—XY—XY—Yeiiee―F-Yie假設(shè)FVO時(shí)，沿+Y方向走一步，到達(dá)［X，Y+11點(diǎn)，i ii如圖2-10b所示，新的偏差值為：F=X(Y+1)-XYi+1ei ie—XY-XY+Xeiiee—F+Xie可見(jiàn)，向+X方向走一步后，可采用f-y計(jì)算新的偏差值；ie向+Y方向走一步后，可采用f+X計(jì)算新的偏差值。這種利用ie前一加工點(diǎn)的偏差，遞推出新的加工點(diǎn)的計(jì)算方法，稱(chēng)為遞推法。遞推計(jì)算法，不用乘除法，只用加減法，并且只需要直線(xiàn)的終點(diǎn)坐標(biāo)值，而不用計(jì)算和保存刀具中間坐標(biāo)點(diǎn)，故計(jì)算量和運(yùn)算時(shí)間減少，提高了插補(bǔ)速度，使插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。逐點(diǎn)比擬法直線(xiàn)插補(bǔ)和計(jì)算過(guò)程歸納如表2-1。表2-1直線(xiàn)插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程偏差判別進(jìn)給方向偏差計(jì)算F三0i+XF=F-Yi+1 i eF<0i+YF=F+Xi+1 i e〔4〕終點(diǎn)判別最常用的終點(diǎn)判別方法是設(shè)置一個(gè)長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器，因?yàn)閺闹本€(xiàn)的起點(diǎn)。移到終點(diǎn)E,刀具沿X軸應(yīng)走的步數(shù)為Xe,沿Y軸應(yīng)走的步數(shù)為Ye,所以計(jì)數(shù)長(zhǎng)度應(yīng)為兩個(gè)方向進(jìn)給步數(shù)之和，即N=Xe+Ye無(wú)論X軸還是Y軸，每送出一個(gè)進(jìn)給脈沖，計(jì)數(shù)長(zhǎng)度減1,當(dāng)計(jì)數(shù)長(zhǎng)度減到零時(shí)，即N=0時(shí)，表示到達(dá)終點(diǎn)，插補(bǔ)結(jié)束。圖2-11例2-1圖例2-1加工直線(xiàn)如圖2-11所示,直線(xiàn)的起點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)為〔5,4〕。試用逐點(diǎn)比擬法對(duì)該段直線(xiàn)進(jìn)行插補(bǔ)，并畫(huà)出插補(bǔ)軌跡。解：因插補(bǔ)起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)的偏差值F0=O計(jì)數(shù)長(zhǎng)度 N=Xe+Ye=5+4=9插補(bǔ)的運(yùn)算過(guò)程如表2-2所示。表2-2例2-1的插補(bǔ)過(guò)程序號(hào)偏差判別進(jìn)給偏差計(jì)算終點(diǎn)判別0F0=ON=91F0=O+XF1=F0—Ye=-4N=82F1=-4<0+YF2=F1+Xe=1N=73F2=1>O+XF3=F2—Ye=-3N=64F3=-3<O+YF4=F3+Xe=2N=55F4=2>O+XF5=F4—Ye=2N=46F5=-2<O+YF6=F5+Xe=3N=37F6=3>O+XF7=F6—Ye=-1N=28F7=-1<O+YF8=F7+Xe=4N=19F8=4>O+XF9=F8—Ye=ON=O由上述分析可知，第一象限直線(xiàn)插補(bǔ)流程圖如圖2-12所示。初始化主要包括讀入終點(diǎn)坐標(biāo)值〔Xe,Ye〕，求出計(jì)數(shù)長(zhǎng)度，設(shè)置初始偏差值F=O等?！?〕其它象限的直線(xiàn)插補(bǔ)上面討論的是第一象限的直線(xiàn)插補(bǔ)，其它象限的插補(bǔ)方法,和第一象限的插補(bǔ)方法類(lèi)似。插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，取1X1和IYI代替X,Y。進(jìn)給方向規(guī)定：在第二象限時(shí)，假設(shè)FNO時(shí)，向一X方向步進(jìn)，F(xiàn)VO時(shí)向+Y方向進(jìn)給；在第三象限時(shí)，假設(shè)FN0時(shí)，向一X方向步進(jìn)，F(xiàn)VO時(shí)，向一Y方向步進(jìn)；在第四象限時(shí)，假設(shè)FNO時(shí)，向+X方向步進(jìn)，F(xiàn)V0時(shí)，向一Y方向步進(jìn)。四個(gè)象限的步進(jìn)方向如圖2-13所示。由圖中看出，F(xiàn)N0時(shí)，進(jìn)給都是沿X軸方向步進(jìn)，不管+X方向還是一X方向，X的絕對(duì)值1X|增大。究竟是走X軸的正向還是反向可由象限標(biāo)志控制，一、四象限走+乂，二、三象限走一X。同樣，F(xiàn)V0時(shí)，進(jìn)給總是沿Y方向，不管是向+Y方向，還是一Y方向，|Y|增大。一、二象限走+Y方向，三、四象限走一Y方向。圖2-12第一象限直線(xiàn)插補(bǔ)流程圖

斤如(+Y)斤斤如(+Y)斤c口(+Y)F如(-Y)圖2-13四象限步進(jìn)方向四個(gè)象限的插補(bǔ)方向歸納為表2-3。不管是那個(gè)象限，都用與第一象限相同的偏差計(jì)算公式，只是式中的終點(diǎn)坐標(biāo)值〔Xe,Ye〕均取絕對(duì)值。圖2-14是四象限直線(xiàn)插補(bǔ)流程圖。表2-3四象限的進(jìn)給方向和偏差計(jì)算偏差判別F三oiF<Qi第一象限XY進(jìn)給第二象限-XY第三象限-X-Y第四象限X-Y偏差判別F=F—|Ye|i+1 iF尸F(xiàn)+1XeIi+1 i00?N=D?圖2-14四象限直線(xiàn)插補(bǔ)流程圖（插補(bǔ)開(kāi)始初始化/，00?N=D?圖2-14四象限直線(xiàn)插補(bǔ)流程圖（插補(bǔ)開(kāi)始初始化/，Ye,F=QN=4+Ye4其走一步N-N—1FT一國(guó)IF-F+XI由表2-3和圖2-14可以看出，四象限的偏差計(jì)算公式相同，差異在于進(jìn)給方向不同。所以，在插補(bǔ)前，應(yīng)根據(jù)直線(xiàn)終點(diǎn)坐標(biāo)值〔Xe,Ye〕的符號(hào)判斷直線(xiàn)屬于那一個(gè)象限。3．逐點(diǎn)比擬法圓弧插補(bǔ)運(yùn)算圓弧曲線(xiàn)加工時(shí)分逆圓弧插補(bǔ)和順弧圓弧插補(bǔ)。圖2-15是表示插補(bǔ)第一象限逆圓圓弧的簡(jiǎn)圖，圖中以圓弧圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出圓弧的起點(diǎn)A坐標(biāo)〔x,y〕和終點(diǎn)B坐標(biāo)〔x,y〕，圓弧00 ee的半徑為R?！?〕偏差判別任取一點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是〔X,Y〕，那么P點(diǎn)相對(duì)圓弧AB的位置有三種情況。P點(diǎn)在圓弧AB上，那么OP等于圓弧半徑R,即：x2+y2=,或X2+Y2—R2=0P點(diǎn)在圓弧外側(cè)時(shí)，那么OP大于圓弧半徑R,即：X2+Y2>，或X2+Y2-R2>0P點(diǎn)在圓弧內(nèi)側(cè)時(shí)，那么OP小于圓弧半徑R,即：X2+Y2V,或X2+Y2-R2<0B(Xe,Ye)一\F>0圖2-15第一象限逆圓插補(bǔ)圖用F表示P點(diǎn)的偏差函數(shù)，并定義為：F=X2+Y2-R2那么當(dāng)F=0時(shí)，P點(diǎn)在圓弧AB上；F>0時(shí)，P點(diǎn)在圓弧人8外側(cè)；F<0時(shí)，P點(diǎn)在圓弧AB內(nèi)側(cè)?！?〕進(jìn)給當(dāng)F=0時(shí)，規(guī)定刀具向一X方向前進(jìn)一步;當(dāng)F>0時(shí)，控制刀具向一X方向前進(jìn)一步;當(dāng)F<0時(shí)，控制刀具向+Y方向前進(jìn)一步。刀具每走一步后，將刀具新的坐標(biāo)值代入f=X2+Y2-R2中，求出新的F值，以確定下一步進(jìn)給方向。

〔3〕偏差計(jì)算因?yàn)椴捎霉紽=X2+y2.R2計(jì)算偏差值時(shí)，要進(jìn)行二次乘方的計(jì)算，比擬費(fèi)時(shí)，實(shí)際計(jì)算時(shí)作如下變換。設(shè)某一時(shí)刻刀具運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(X,y)，該點(diǎn)的偏差值為：iiiF=X2+y2—R2iiiTOC\o"1-5"\h\z假設(shè)F三0時(shí)，沿一X方向前進(jìn)一步，到達(dá)〔X_1,y)點(diǎn)，i ii如圖2-16〔a〕所示，新的偏差值為：F=(X_1)2+y2_R2i+1 i—X2_2X+1+y2_R2

ii i(X2+y2(X2+y2_R2)_2X+1ii iii圖2-16圓弧插補(bǔ)坐標(biāo)變換=F_2X+1假設(shè)FVO時(shí)，沿+Y方向前進(jìn)一步，到達(dá)［X,y+1)點(diǎn)，i ii如圖2-16b所示，新的偏差值為：F=X2+(y+1)2_R2i+1 ii=X2+y2+2y+1_R2

ii i=(X2+y2_R2)+2y+1ii i-F+2Y+1ii上面導(dǎo)出了第一象限逆圓插補(bǔ)的偏差值遞推出計(jì)算公式。與偏差值直接計(jì)算式F=X2+Y2.R2相比，遞推計(jì)算只進(jìn)行加、減法運(yùn)算〔乘2運(yùn)算可采用移位法實(shí)現(xiàn)〕，防止了乘方運(yùn)算，計(jì)算機(jī)容易實(shí)現(xiàn)。逐點(diǎn)比擬逆圓插補(bǔ)的計(jì)算過(guò)程歸納如表2-4。表2-4逆圓插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程偏差判別進(jìn)給方向偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算F三0i-XF=F—2X+1i+1 i iX=X—1Y=Yi+1 i 'i+1 iF<0iYF=F+2Y+1i+1 i iX=XY=Y+1i+1 i'i+1i同理可以推出第一象限順圓弧插補(bǔ)偏差值的計(jì)算公式，此處不再表達(dá)，讀者可自行完成。第一象限順圓插補(bǔ)的計(jì)算過(guò)程如表2-5。表2-5順圓插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程偏差判別進(jìn)給方向偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算F三oi—YF=F—2Y+1i+1 i iX=XY=Y-1i+1 i'i+1iF<oi+XF=F+2X+1i+1 i iX=X1,Y=Yi+1 i i+1i〔4〕終點(diǎn)判別與直線(xiàn)插補(bǔ)的終點(diǎn)判別一樣，設(shè)置一個(gè)長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器，取X、Y坐標(biāo)軸方向上的總步數(shù)作為計(jì)數(shù)長(zhǎng)度值，即N=lX—X1+1Y—YIe 0 e0無(wú)論X軸還是Y軸，每進(jìn)一步，計(jì)數(shù)器減1,當(dāng)長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器減到零時(shí)，插補(bǔ)結(jié)束。也可以設(shè)置兩個(gè)長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器N和Ny,N存放乂方向進(jìn)給總步數(shù)，Ny存放丫方向進(jìn)給總步數(shù)。在X方向進(jìn)給一次，N減1,在Y方向進(jìn)給一次，Ny減1,直到Ne和Ny都減為零時(shí)，插補(bǔ)結(jié)束。例2-2加工第一象限的一段圓弧AB如圖2-17所示，起點(diǎn)A的坐標(biāo)值為x=4,y=3,終點(diǎn)B的坐標(biāo)值為x=0,y=00 ee5。試用逐點(diǎn)比擬法進(jìn)行圓弧插補(bǔ)。Y,E(0,5)A(4,3)O X圖2-1273圓歹弧2-細(xì)跡解：因從起始點(diǎn)A[4,3)開(kāi)始插補(bǔ)，故初始插補(bǔ)的偏差值為：F=00計(jì)數(shù)長(zhǎng)度 N=|X—X|+|Y—Y|e 0 e0=|0一4|+|5—3|=6插補(bǔ)的運(yùn)算過(guò)程如表2-6,第一象限逆圓插補(bǔ)流程如圖2-18所示。表2-6例2-2插補(bǔ)過(guò)程

序號(hào)偏差判別進(jìn)給偏差計(jì)算終點(diǎn)判別0F0=0 X=4 Y=3N=61F0=0-xF1=F0—2X1=—7,X=4—1=3,Y=3N=52F1<0+YF2=F12Y1=0,X=3,Y=31=4N=43F2=0-xF3=F2-2X1=-5,X=3-1=2,Y=4N=34F3<0+YF4=F32Y1=4,X=2,Y=41=5N=25F4〉0-xF5=F4-2X1=1,X=2-1=1,Y=5N=16F5>0-xF6=F5-2X1=0,X=1-1=0,Y=5N=0〔5〕其它象限的圓弧插補(bǔ)上面討論的是第一象限的圓弧插補(bǔ)方法。實(shí)際上圓弧所在象限不同，進(jìn)給方向不同，所以圓弧插補(bǔ)有八種形式。用SR1、SR2、SR3、SR4代表一、二、三、四象限的順圓弧，NR1、NR2、NR3、NR4表示四個(gè)象限中的逆圓弧。如圖2-19所示。

圖2-19四個(gè)象限的圓弧由圖可知，第一象限逆弧〔NR1〕插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，使加工點(diǎn)坐標(biāo)X的絕對(duì)值減小，坐標(biāo)