經(jīng)典例析運(yùn)用：解直角三角形地技巧

全國(guó)中考信息資源門戶網(wǎng)站全國(guó)中考信息資源門戶網(wǎng)站經(jīng)典例析運(yùn)用:解直角三角形的技巧銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形中銳角與邊之間的關(guān)系，運(yùn)用銳角三角函數(shù)可以解決許多與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題，下面就如何運(yùn)用三角函數(shù)解決問(wèn)題的方法與策略，現(xiàn)舉例予以說(shuō)明，供參考。一、尋找直角三角形圖形中往往會(huì)有眾多的圖形存在，首先我們要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析這個(gè)直角三角形已具備那些已知條件，還需要哪些條件，需不需要?jiǎng)e的直角三角形為其提供條件。例1、如圖，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED的長(zhǎng)。分析：首先尋找直角三角形，其次是字直角三角形中求解。本題圖中有三個(gè)三角形，直角三角形有兩個(gè)，而根據(jù)條件，Rt△BCD可以先直接解，然后為解Rt△BDE提供條件。解：在Rt△BCD中，∵BD=5,∴BC=5≈4.20.在Rt△BCE中，BE=BC+CE=6.20,∴DE===≈7.96二、構(gòu)造直角三角形在某些問(wèn)題的圖形中你根本看不到直角三角形，這時(shí)需要你根據(jù)條件通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，然后利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。例2、如圖，在四邊形中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC=120°，AD=3，求DC的長(zhǎng)。分析：原圖中沒(méi)有直角三角形,但通過(guò)延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)P，從而構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形Rt△PBC和Rt△PAD,再利用銳角三角形函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.解：延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)P，∵AD⊥AB，CD⊥BC，∴∠C=∠PAD=90°，∵∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴∠P=30°，在Rt△PAD中，sin30°=，PD=2AD=6m，由于路寬為28m，∴BC=14m，在Rt△PBC中，tan30°==，PC=14m，∴DC=PC-PD=14-6≈三、借助代數(shù)方程這些題型中的有些條件,不能直接代入直角三角形中邊與邊、邊與角、角與角之間的公式進(jìn)行求解，這時(shí)可以引入未知數(shù)，讓未知數(shù)參與運(yùn)算，最后立方程求解。例1、如圖，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的長(zhǎng)．分析:圖形中有Rt△DAC和Rt△DBC，但是沒(méi)有一個(gè)直角三角形條件夠用，原因是AB=32不屬于任一個(gè)直角三角形，可以通過(guò)設(shè)BC=x，則AC=x+26，讓字母參與運(yùn)算,最后立方程求解。解：設(shè)BC=x∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90°∴BC=CD=x在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26tan30°=，3x=EQ\r(,3)（x+26），x=,x=13（EQ\r(,3)+1）∴BC=13（EQ\r(,3)+1）.四、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解直角三角形的應(yīng)用可以說(shuō)涉及到眾多的方面，但是不管以什么背景出現(xiàn)，將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題后，歸納起來(lái)不外乎以上幾種情況而已．例４、（05青島）小明的家在某公寓樓AD內(nèi)，他家的前面新建了一座大廈BC，小明想知道大廈的高度，但由于施工原因，無(wú)法測(cè)出公寓底部A與大廈底部C的直線距離，于是小明在他家的樓底A處測(cè)得大廈頂部B的仰角為，爬上樓頂D處測(cè)得大廈的頂部B的仰角為，已知公寓樓AD的高為60米，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算出大廈的高度BC。分析：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，需要方程來(lái)助解．解：如圖，由題意知：四邊形ACED是矩形米，，設(shè)，在中，在中，，即，解得：（米）答：大廈的高度BC為90米練習(xí)：1、如圖，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6米的B處安置測(cè)角儀，在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為30°，已知測(cè)角儀離AB為1.5米，求拉線CE的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）參考答案：30°ABEDFCG60°1、求CE的長(zhǎng)，此時(shí)就要借助于另一個(gè)直角三角形，故過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為G，在Rt△ACG中，可求出CG，從而求得CD，在Rt△CED中，即可求出30°ABEDFCG60°在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°=eq\f(CG,AG)，∴CG=6×eq\f(\r(3),3)=2eq\r(3)∴CD=2eq\r(3)+1.5,在