線性代數(shù)人大

線性代數(shù)人大課件第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第1章行列式n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊姆法則—行列式的一個簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第1.1節(jié)n階行列式的定義本節(jié)從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的概念.基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式返回3第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三1.二階與三階行列式(1)二階行列式為求得上述方程組的解，可利用加減消元得到：4第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三上式中的分子、分母都是四個數(shù)分兩對相乘再相減而得。為便于記憶，引進(jìn)如下記號：稱其為二階行列式.據(jù)此，解中的分子可分別記為：5第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例1解二元線性方程組解:方程組未知量的系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式方程組有惟一解.又于是方程組的解為6第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三(2)三階行列式稱為三階行列式.‘—’三元素乘積取“+”號；‘…’三元素乘積取“-”號。主對角線法7第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例2計(jì)算三階行列式解:由主對角線法，有8第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例3解線性方程組解：系數(shù)行列式方程組有惟一解.又于是方程組的解為9第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考與練習(xí)（三階行列式）

方程化簡為(x-1)2=4,其解為x=3或x=-1；答案10第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三2.排列及其逆序數(shù)(1)排列由自然數(shù)1,2,…,n,組成的一個有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個：123132213231312321（總數(shù)為n!個）注意:上述排列中只有第一個為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)——構(gòu)成逆序.11第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.=3=2例4

(2413)(312)例5

(n(n-1)…321)

(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)12第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三對換：

在一個排列i1…is…it…in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置,其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is…in,這種變換稱為一個對換,記為(isit).例6結(jié)論：①對換改變排列的奇偶性.

②任意一個n級排列與標(biāo)準(zhǔn)排列12…n都可以經(jīng)過一系列對換互變.13第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三①的證明對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即設(shè)排列…jk…(1)經(jīng)j,k對換變成…kj…(2)此時，排列(1)、(2)中j,k與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而j與k兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化：若(1)中jk構(gòu)成逆序,則(2)中不構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少1)若(1)中jk不構(gòu)成逆序,則(2)中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加1)一般情形設(shè)排列…ji1…isk…(3)經(jīng)j,k對換變成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到：

k經(jīng)s+1次相鄰對換成為…kji1…is

…j經(jīng)s次相鄰對換成為…ki1…isj…即經(jīng)2s+1次相鄰對換后(3)成為(4).相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變.||14第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)）1.(542163)(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）2.若排列的x1x2…xn逆序數(shù)為I，求排列xn

xn-1…x1的逆序數(shù).答案詳解繼續(xù)15第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)詳解）方法1在排列x1x2…xn中，任取兩數(shù)xs和xt(s<t),則它們必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又在排列x1x2…xn中取兩數(shù)的方法共有依題意，有故排列x1x2…xn與xnxn-1…x1中逆序之和為此即16第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三方法2n個數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中對i構(gòu)成的逆序?yàn)閘i個,則在xnxn-1…x1中對i構(gòu)成的逆序?yàn)?n-i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即17第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三3.n階行列式定義分析：(i)每一項(xiàng)均是由取自不同行、不同列的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)項(xiàng)數(shù)為3！=618第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三推廣之，有如下n階行列式定義定義：n階行列式是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積并冠以符號的項(xiàng)的和.(i)是取自不同行、不同列的n個元素的乘積；(ii)行標(biāo)按自然順序排列，列標(biāo)排列的奇偶性決定每一項(xiàng)的符號；(iii)表示對所有的構(gòu)成的n！個排列求和.19第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例4證明上三角行列式證：由定義和式中,只有當(dāng)所以上三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積.20第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例5計(jì)算解由行列式定義,和式中僅當(dāng)21第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項(xiàng)中n個元素的順序可以任意交換.一般，可以證明定理:n階行列式D=Det(aij)的項(xiàng)可以寫為其中i1i2…in和j1j2…jn都是n級排列.或另一定義形式另一定義形式推論:n階行列式D=Det(aij)的值為22第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三4.轉(zhuǎn)置行列式定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT.即若23第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三用定義計(jì)算思考練習(xí)（n階行列式定義）答案24第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第1.2節(jié)n階行列式的性質(zhì)對多“0”的或是階數(shù)較低(二、三階)的行列式利用定義計(jì)算較為容易,但對一般的、高階的（n4）行列式而言,直接利用定義計(jì)算很困難或幾乎是不可能的.因而需要討論行列式的性質(zhì)，用以簡化計(jì)算.返回25第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：事實(shí)上,若記DT=Det(bij),則解例1計(jì)算行列式26第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)2互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)，行列式的值變號.推論若行列式D的兩行（列）完全相同,則D=0.性質(zhì)3行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面，即推論(1)D中一行(列)所有元素為零，則D=0；(2)D的兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.27第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)4若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)

的和,則此行列式等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即證28第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應(yīng)元素上,行列式的值不變,即29第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例2計(jì)算行列式解30第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解31第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解32第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例3計(jì)算n階行列式解(2)解(3)解(1)33第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回34第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回35第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解

(3)返回箭形行列式36第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例4證明證

37第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三證38第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三2.證明1.計(jì)算行列式思考練習(xí)（行列式的性質(zhì)）39第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

40第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三=右邊思考練習(xí)（行列式性質(zhì)答案）

41第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第1.3

節(jié)

行列式按行（列）展開1.行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回返回42第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例1求出行列式解43第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即44第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;45第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三(ii)當(dāng)D的第i行只有元素aij0時，即

將D中第i行依次與前i-1行對調(diào),調(diào)換i-1次后位于第1行

D中第j列依次與前j-1列對調(diào),調(diào)換j-1次后位于第1列經(jīng)(i-1)+(j-1)=i+j-2次對調(diào)后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)46第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三由(ii)47第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三推論

n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即48第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三證考慮輔助行列式0=t列j列49第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例2計(jì)算行列式解法1法2選取“0”多的行或列50第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例3計(jì)算行列式解計(jì)算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.51第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例4計(jì)算n階行列式解52第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解53第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例5證明范得蒙行列式（Vandermonde)證

用數(shù)學(xué)歸納法54第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮n階情形.55第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三56第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三例6已知4階行列式解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計(jì)算.57第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三58第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（按行展開定理）計(jì)算行列式59第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（按行展開定理詳解1）60第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三思考練習(xí)（按行展開定理詳解2）61第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三2.拉普拉斯（Laplace）定理k階子式

在n階行列式中，任意選定k行、k列（1≤k≤n）位于這些行列交叉處的k2個元素按原來順序構(gòu)成的一個k階行列式N，稱為行列式D的一個k階子式.k階子式N的余子式及代數(shù)余子式在D中劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n-k階行列式M，稱為k階子式N的余子式;而為其代數(shù)余子式.這里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分別為k階子式N的行標(biāo)和列標(biāo).62第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三在n階行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1kn),由這k行元素組成的k階子式N1,N2,…,Vt與它們的代數(shù)余子式

的乘積之和等于D，即63第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三解例7計(jì)算行列式64第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三一般地65第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三第1.4節(jié)

克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個未知量、n個方程的n元線性方程組的問題.定理（克萊姆法則）如果n元線性方程組則方程組有惟一解的系數(shù)行列式返回返回66第六十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期三其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn所構(gòu)成的n級行列式,即定理的結(jié)論有兩層含義：①方程組（1）有解；②解惟一且可由式(2)給出.67第