線性系統(tǒng)理論第一章

線性系統(tǒng)理論第一章第一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章線性系統(tǒng)的時間域理論第1章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動和特性的理論和方法。時間域理論：以時間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述，在時間域內(nèi)1.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動態(tài)過程數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型。一個系統(tǒng)用下圖的一個方塊來表征。第二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章內(nèi)部變量：刻畫系統(tǒng)在每個時刻所處狀況的變量。統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。方塊以外為系統(tǒng)環(huán)境系統(tǒng)輸入：環(huán)境對系統(tǒng)的作用。系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)對環(huán)境的作用。，體現(xiàn)了系統(tǒng)的行為。第三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章的因果關(guān)系，即輸出和輸入間的因果關(guān)系。不表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量間數(shù)學(xué)描述、數(shù)學(xué)模型：反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系。系統(tǒng)的外部描述：輸入—輸出描述，不完全的描述。例：線性定常、單輸入—單輸出系統(tǒng)，外部描述為線性常系數(shù)微分方程。其中：和為實常數(shù)，第四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章假定初始條件為零，取拉氏變換。復(fù)頻率域描述，即傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的內(nèi)部描述，狀態(tài)空間描述，完全的描述。兩個數(shù)學(xué)方程組成：狀態(tài)方程：微分方程或差分方程。內(nèi)部變量組和輸入變量組間的因果關(guān)系。輸出方程：代數(shù)方程。內(nèi)部變量組、輸入變量組和輸出變量組間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。第五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章狀態(tài)：完全地表征系統(tǒng)時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組。狀態(tài)和狀態(tài)空間其中：，為初始時刻。狀態(tài)向量：由狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量。狀態(tài)空間：狀態(tài)向量取值的一個向量空間。狀態(tài)變量：組成這個變量組的變量。第六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章狀態(tài)變量組：一個動力學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。輸入變量組：動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述輸出部件動力學(xué)部件輸出變量組：第七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章決定了輸出的變化。狀態(tài)空間描述：輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)變化，而狀態(tài)和輸入則一般的情況下，為一階非線性時變微分方程組。向量方程的形式：狀態(tài)方程：微分方程或差分方程。第八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章一般的情況下，輸出方程為：向量方程的形式：輸出方程或量測方程第九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章其中：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：第十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章一般的形式為：離散系統(tǒng)：各變量在離散的時刻取值，狀態(tài)空間反映離散時刻的變量組間的因果關(guān)系和轉(zhuǎn)換關(guān)系。用，來表示離散的時刻。線性離散時間系統(tǒng)：第十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章解：確定狀態(tài)變量，最多2個線性無關(guān)的變量，取和例1：下圖所示簡單電路，電路各組成元件的參數(shù)為已知，作為狀態(tài)變量。系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫舉例輸入變量取為電壓源，輸出變量取為電阻的端電壓。第十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章右回路：代入得：列出原始電路方程：由電路定律。由于左回路：第十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章求解上述方程為：導(dǎo)出狀態(tài)方程：以和為變量，第十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章狀態(tài)方程：輸出方程：第十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章每年有4%的上一年城市人口遷去農(nóng)村，同時有2%的上一年例2：考慮人口分布問題，設(shè)某國1988年的人口分布為：農(nóng)村人口遷到城市。整個國家的人口自然增長率為1%。城市人口為，農(nóng)村人口為。人口的流動情況為：解：確定狀態(tài)變量：城市人口和農(nóng)村人口。建立人口按年分布方程：取1988年為k=0，則k+1年時城市人口和農(nóng)村人口的分布方程，可以定為：第十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章導(dǎo)出狀態(tài)方程：把上述聯(lián)立方程表為向量方程的形式，即得到人口分布的狀態(tài)方程為：第十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三1.2系統(tǒng)按其狀態(tài)空間描述的分類第一章系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述是其動力學(xué)特征的完整的表征。各類系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上和特性上的質(zhì)的差別，將表現(xiàn)為它們的狀態(tài)空間描述在類型上的不同。線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)向量方程中和的所有元都是變量和的線性函數(shù)，則相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。第十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章第十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章若向量函數(shù)中和至少包含一個元為變量和的非線性函數(shù)，則為非線性系統(tǒng)。在某個的一個鄰域內(nèi)線性化，按線性系統(tǒng)處理。第二十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述中顯含時間t時，即向量函數(shù)f和g或時變系統(tǒng)，非定常系統(tǒng)。系數(shù)矩陣A，B，C，D是包含t

的函數(shù)時，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為狀態(tài)空間中不顯含時間t，定常系統(tǒng)。第二十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)作用于系統(tǒng)的變量、表征系統(tǒng)形態(tài)的變量，都是時間t的連狀態(tài)方程：微分方程的形式。續(xù)變化過程。輸出方程：連續(xù)的變換方程。第二十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章系統(tǒng)的各個變量只取值于離散的時刻時，相應(yīng)的變量間的因時間系統(tǒng)簡稱為離散系統(tǒng)。果關(guān)系或變換關(guān)系，就必須采用離散時間系統(tǒng)來表征。離散輸出方程：離散時間變換方程。狀態(tài)方程：差分方程的形式。第二十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)確定系統(tǒng)是指系統(tǒng)的特性和參數(shù)是按確定的規(guī)律變化的，其不確定系統(tǒng)，系統(tǒng)的特性和參數(shù)的變化不能用確定的規(guī)律來各個輸入變量（包括控制和擾動）也是按確定的規(guī)律而變化的。描述，或者作用于系統(tǒng)的變化（包括控制和擾動）是隨機(jī)變化，或者兩者蒹而有之。第二十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三1.3化輸入—輸出描述為狀態(tài)空間描述第一章由輸入—輸出描述確定狀態(tài)空間描述的問題稱為實現(xiàn)問題。問題的提法：一個單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)，令y和u分別為其輸出變量和輸入變量，則可用單變量的高階微分方程來描述：第二十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章而狀態(tài)空間描述：A為n×n矩陣，b為n×1矩陣，c為1×n矩陣，d為標(biāo)量。歸結(jié)為：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組與確定各個系數(shù)矩陣A，b，c和d。第二十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章算法：引入微分算子符號當(dāng)時，有理分式是嚴(yán)格真的。當(dāng)時，有理分式是真的。則第二十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章⑴當(dāng)時，將上式改寫為：改寫為：第二十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章取狀態(tài)變量組為：則第二十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則第三十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章例：給定系統(tǒng)的輸入—輸出描述為則第三十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章⑵當(dāng)時，將有理分式進(jìn)行嚴(yán)格真化，則第三十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則：第三十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章例：給定系統(tǒng)的輸入—輸出描述為則第三十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章1.4狀態(tài)方程的對角線規(guī)范形和約當(dāng)規(guī)范形線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值是表征系統(tǒng)的動力學(xué)特征的一個重要參量。對角線規(guī)范形給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程系統(tǒng)的特征值定義為如下特征方程的根。第三十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章一個階數(shù)為n的系統(tǒng)，必有且僅有n個特征值，可為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。稱一個非零列向量為矩陣A的屬于特征值的特征向量，如果成立。特征向量是不唯一的。當(dāng)n個特征值為兩兩互異時，任取的n個特征向量必是線性無關(guān)的。第三十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章并利用它們的特征向量組成變換矩陣，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換下必可化為如下的對角線規(guī)范形。結(jié)論：某系統(tǒng)，設(shè)其特征值為兩兩互異，第三十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章證明：由，可導(dǎo)出其中可得到：左乘得：第三十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章例：給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為解：特征值為化為對角線規(guī)范形。第三十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章相應(yīng)的一組特征向量為：則第四十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章即：第四十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章結(jié)論：①對角規(guī)范形，各個狀態(tài)變量間實現(xiàn)了完全解耦，可表成為②如果系統(tǒng)矩陣A具有形式n個獨(dú)立的狀態(tài)變量方程。第四十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章且其特征值兩兩不相等，則變換矩陣為結(jié)構(gòu)特征的分析。③當(dāng)特征值中包含復(fù)數(shù)特征值時，、及都將為復(fù)數(shù)矩陣，沒有實際物理含義。但不影響對系統(tǒng)第四十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章約當(dāng)規(guī)范形系統(tǒng)的特征值為非互異，則狀態(tài)方程一般不能變換為對角線規(guī)范形，但可變換為準(zhǔn)對角線規(guī)范形，即約當(dāng)規(guī)范形。①約當(dāng)規(guī)范形給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)其特征值為，，，，，則存在可逆變換矩陣Q，通過引入變換，可使?fàn)顟B(tài)方程化為如下的約當(dāng)規(guī)范形。第四十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章其中，，為矩陣，具有以下形式稱為相應(yīng)于特征值的約當(dāng)小塊，且具有以下形式第四十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章陣第四十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章結(jié)論：矩陣A的特征值為各種重數(shù)的重值時，不能通過變換而實現(xiàn)完全解耦，約當(dāng)規(guī)范形可能達(dá)到最簡耦合形式。在這種規(guī)范形中，每一個狀態(tài)變量的方程和下一序號的狀態(tài)變量構(gòu)成耦合。第四十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章②特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)設(shè)為矩陣A的一個特征值，且有則稱為的代數(shù)重數(shù)。再設(shè)則稱為的幾何重數(shù)。第四十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章的幾何重數(shù)即為其約當(dāng)小塊的個數(shù)。之和，即成立的非零向量的集合。而的代數(shù)重數(shù)，則是所有屬于的約當(dāng)小塊的階數(shù)為的零空間的維數(shù)。而的零空間定義為，使亦即為的幾何重數(shù)。第四十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章只有當(dāng)所有特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)：則規(guī)范形具有對角線規(guī)范形的形式。③廣義特征向量即稱一個非零向量是矩陣A的屬于的級廣義特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)k=1時，廣義特征向量就等同于通常所定義的特征向量。第五十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章廣義特征向量具有三個基本性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)是A的屬于的級廣義特征向量，則如下定義的個向量必是線性無關(guān)的：并且稱此向量組為長度是的廣義特征向量鏈。第五十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章證明：只需證明使下式成立的常數(shù)必全為零，即，將上式兩邊乘以，則得到下式，第五十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則已知，則同樣，乘以，可導(dǎo)出則則證明完成。第五十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章性質(zhì)2：設(shè)為A的代數(shù)重數(shù)為的特征值，計算秩，直到且為止。再按如下方式生成廣義特征向量鏈，假定，且設(shè)第五十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章其中，為滿足和的非零列向量，第五十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章性質(zhì)3：矩陣A的屬于不同特征值的廣義特征向量之間必為的列向量。則如表所生成的個廣義特征向量，必是線性無關(guān)的。線性無關(guān)。和為滿足線性無關(guān)，第五十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章利用，可得到約當(dāng)規(guī)范形。使具有重特征值的系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形的變換陣Q，可按如下方式組成：其中，④化為約當(dāng)規(guī)范形的變換矩陣的組成第五十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章例：給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為將其化為約當(dāng)規(guī)范形的計算步驟如下：其中：第五十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章①計算矩陣A的特征值由，可定出其特征值為和②對，計算第五十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章因，故計算可到此為止。第六十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章③確定A的屬于的5個線性無關(guān)的廣義特征向量并且，滿足和首先，可列出下表可定出一個列向量為，從而有第六十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章再滿足線性無關(guān)可定出一個列向量第六十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章從而又導(dǎo)出④確定A的屬于的特征向量由，可定出A的屬于的一個特征向量為：第六十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章⑤組成變換矩陣Q第六十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章其逆可求出為：第六十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章⑥導(dǎo)出狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形第六十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章其中，變換后的狀態(tài)向量為：第六十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章1.5由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣多輸入—多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)陣表征輸入—輸出特性。由狀態(tài)空間描述，導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。傳遞函數(shù)陣多輸入—多輸出的線性定常系統(tǒng)輸入變量組為：輸出變量組為：第六十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章假定系統(tǒng)的初始條件為零和為和的拉普拉斯變換，表示第個輸入端到第個輸出端的傳遞函數(shù)，其中：則：第六十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章向量方程的形式為：為傳遞函數(shù)矩陣，為的一個有理分式矩陣。第七十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章當(dāng)?shù)脑獋鬟f函數(shù)除嚴(yán)格真外還包括真有理分式時，稱為真有理分式矩陣。當(dāng)均為嚴(yán)格真有理分式時，稱為嚴(yán)格真有理分式矩陣。為真的或嚴(yán)格真的，物理上可實現(xiàn)。零陣，嚴(yán)格真的。非零陣，真的。第七十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章狀態(tài)空間描述為嚴(yán)格真的。時，為真的，傳遞函數(shù)陣為時，且有：理論分析重要，但計算不方便。第七十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章的實用計算關(guān)系式和則第七十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章例：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為特征多項式為：第七十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章系數(shù)矩陣：第七十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則：計算特征多項式的算法萊弗勒（leverrier）算法給定常陣A，其特征多項式可表為：第七十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則：表示矩陣的跡，矩陣的所有對角線元之和。第七十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章1.6線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性坐標(biāo)變換：把系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個坐標(biāo)系上的表征，化為另一個坐標(biāo)系上的表征。坐標(biāo)變換的表征實質(zhì)是換基，基底設(shè)狀態(tài)在基底上的表征為而其在另一個基底上的表征為第七十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章和間的關(guān)系，也即坐標(biāo)變換的代數(shù)表征。維狀態(tài)空間中有且僅有個線性無關(guān)的向量，而必是線性無關(guān)的，因此均可表為的線性組合，而且表示必是唯一的。第七十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章第八十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章由：則：同理，可導(dǎo)出第八十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章則：即：和之間為線性非奇異變換的關(guān)系。坐標(biāo)變換就是一種線性非奇異變換。第八十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章系統(tǒng)狀態(tài)空間描述在坐標(biāo)變換下的特性結(jié)論1：給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為引入變換：變換后的狀態(tài)空間描述為則：第八十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章結(jié)論2：變換前后特征值不變。即：討論：①兩個狀態(tài)空間描述存在變換關(guān)系，稱為代數(shù)等價。②同一系統(tǒng)采用不同的狀態(tài)變量組，所導(dǎo)出的兩個狀態(tài)空間描述，必然是代數(shù)等價的。③兩個代數(shù)等價的狀態(tài)空間描述，可化為相同的對角線規(guī)范形或約當(dāng)規(guī)范形。第八十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章結(jié)論：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣在坐標(biāo)變換下保持不變。物理含義：當(dāng)系統(tǒng)的輸入和輸出變量確定后，不管如何選取狀態(tài)變量組，系統(tǒng)的輸出—輸入特性將總是一樣的。第八十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期三第一章1.7組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)，按一定方式聯(lián)接構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。串聯(lián)、