信息論基礎(chǔ)演示文稿

信息論基礎(chǔ)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)優(yōu)選信息論基礎(chǔ)當(dāng)前第2頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-2信道的分類與描述

（一）信道分類

信道可以從不同角度加以分類，但歸納起來可以分為： 從工程物理背景——傳輸媒介類型； 從數(shù)學(xué)描述方式——信號與干擾描述方式； 從信道本身的參數(shù)類型——恒參與變參； 從用戶類型——單用戶與多用戶；等方面加以分類：

當(dāng)前第3頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（一）信道分類（續(xù)）

當(dāng)前第4頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（一）信道分類（續(xù)）

當(dāng)前第5頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（一）信道分類（續(xù)）

當(dāng)前第6頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)信道劃分是人為的，比如：

（一）信道分類（續(xù)）

其中：c1為連續(xù)信道，調(diào)制信道；

c2為離散信道，編碼信道；

c3為半離散、半連續(xù)信道；

c4為半連續(xù)、半離散信道。

當(dāng)前第7頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）信道描述

信道可以引用三組變量來描述：信道輸入概率空間：;信道輸出概率空間：信道概率轉(zhuǎn)移矩陣：當(dāng)前第8頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）信道描述（續(xù)）當(dāng)K=1時(shí)，退化為單個(gè)消息（符號）信道；進(jìn)一步當(dāng)n=m=2時(shí)，退化為二進(jìn)制單個(gè)消息信道。若它滿足對稱性，即構(gòu)成最常用的二進(jìn)制單消息對稱信道BSC：

，且：

，當(dāng)前第9頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-3無干擾離散信道（略）§3-4有干擾時(shí)單個(gè)消息（符號）信道及其容量這里，仍類似于信源，從最基本、最簡單的單個(gè)消息（符號）開始，再逐步將其推廣至消息序列信道以及多用戶信道。

（一）離散單消息信道與信道容量

下面，我們首先將互信息表達(dá)成概率的函數(shù)：

當(dāng)前第10頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（一）離散單消息信道與信道容量（續(xù)）兩種表達(dá)式中，這里選用。一般當(dāng)信道給定以后，（已知）當(dāng)前第11頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（一）離散單消息信道與信道容量（續(xù)）當(dāng)前第12頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）強(qiáng)對稱信道:

其中：

當(dāng)前第13頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)它具備三個(gè)特征：1>

矩陣中的每一行都是第一行的重排列；矩陣中的每一列都是第一列的重排列。2>

錯(cuò)誤分布是均勻的，為3>

信道輸入與輸出消息（符號）數(shù)相等，即m=n。顯然，對稱性基本條件是1>，而2>、3>是加強(qiáng)條件。

（二）強(qiáng)對稱信道（續(xù)）:

下面，我們放松對信道的約束，僅滿足條件1>，就構(gòu)成一般性對稱信道。例：

當(dāng)前第14頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）強(qiáng)對稱信道（續(xù)）:

當(dāng)前第15頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）強(qiáng)對稱信道（續(xù)）:

定理3-4-1：對于單個(gè)消息離散對稱信道，當(dāng)且僅當(dāng)信道輸入輸出均為等概率分布時(shí)，信道達(dá)到容量值。

即證：

由信道對稱性：第i行（每一行）都是第一行重排列，即與行序號i無關(guān)，而（給定）。由信道容量定義：

當(dāng)前第16頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）強(qiáng)對稱信道（續(xù)）:

（三）準(zhǔn)對稱信道再進(jìn)一步放松條件若P(/)不滿足對稱條件，但是，，其中r=1,2……s。且所有Pr滿足對稱性條件，則稱P為準(zhǔn)對稱信道。例：

當(dāng)前第17頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)顯然子陣P1,P2滿足可排列性（行，列）對準(zhǔn)對稱信道有下列定理.（三）準(zhǔn)對稱信道（續(xù)）

定理3-4-2：對于單消息、離散、準(zhǔn)對稱信道，當(dāng)且僅當(dāng)信道輸入為等概率分布時(shí)，信道達(dá)容量值:且

證：較繁，自己看書

具有可逆矩陣信道及其容量,其特點(diǎn)是：P一定為方陣，存在逆陣

當(dāng)前第18頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)離散單消息（或無記憶）信道，容量C的計(jì)算機(jī)迭代算法：基本思路：1>

求C即求互信息極值，可以采用拉氏乘子求條件極值方法求解；2>

實(shí)現(xiàn)迭代關(guān)鍵在于尋求兩個(gè)互為因果關(guān)系并決定互信息的自變量，即從（三）準(zhǔn)對稱信道（續(xù)）

互為因果，

當(dāng)前第19頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)求解步驟：

當(dāng)前第20頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)將①②改寫為迭代形式：

當(dāng)前第21頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)迭代步驟示意圖如下:當(dāng)(或足夠大時(shí))，計(jì)算

可進(jìn)一步證明:1>

即收斂于信道容量值,當(dāng)前第22頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2>收斂速度取決于:當(dāng)前第23頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-5離散消息序列信道及其容量

當(dāng)前第24頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)由消息序列互信息性質(zhì)，對離散無記憶信道，有

1．離散無記憶信道則

當(dāng)且僅當(dāng)信源(信道入)無記憶時(shí)，“等號”成立。

當(dāng)前第25頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2．離散，平穩(wěn)，有記憶信道:

當(dāng)前第26頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2．離散，平穩(wěn)，有記憶信道（續(xù)）:

當(dāng)前第27頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2．離散，平穩(wěn)，有記憶信道（續(xù)）:

當(dāng)前第28頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-6連續(xù)信道及其容量

（一）連續(xù)單消息信道及其容量

僅討論兩類情況

高斯信道

線性迭加干擾信道

1>高斯信道當(dāng)前第29頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)其中：

I(X;Y)=HC(Y)-HC(Y/X)

1>高斯信道（續(xù)）當(dāng)前第30頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2>一般迭加性干擾信道

天電、工業(yè)干擾、其它脈沖干擾屬迭加性干擾，它們是非高斯型分布。有以下定理：定理3-6-1：對迭加性連續(xù)信道，收到平均功率（方差）為σ2的非高斯干擾影響時(shí)，當(dāng)信道輸出平均功率P一定時(shí)，其容量上下界為：

證：上界顯見，下面給出下界證明。主要思路利用正態(tài)性與Jensen不等式。當(dāng)信道輸入X,輸出Y以及噪聲N為正態(tài)時(shí)：x~N(0,S),y~N(0,P),n~N(0,σ2)并設(shè)，當(dāng)信道輸入X為正態(tài)時(shí)，互信息可表示為：IN(X;Y)。則（一）連續(xù)單消息信道及其容量（續(xù)）當(dāng)前第31頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)2>一般迭加性干擾信道（續(xù)）當(dāng)前第32頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)由信道容量定義，有結(jié)論：高斯信道容量是一切平均功率受限的迭加性非高斯信道容量的下限值。其它分布的容量都比高斯容量大，因此高斯容量是一切分布容量值最保守的估計(jì)值。2>一般迭加性干擾信道（續(xù)）當(dāng)前第33頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。

對限頻(F)、限時(shí)(T)的連續(xù)過程信源可展成下列取樣函數(shù)序列：

現(xiàn)將這2FT個(gè)樣值序列通過一個(gè)功率受限(P)的白色高斯信道并求其容量值C。定理3-6-2：滿足限頻(F)、限時(shí)(T)的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程信源X(t,w)，當(dāng)它通過一個(gè)功率受限(P)的白色高斯信道，其容量為：這就是著名的Shannon公式。

當(dāng)前第34頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)則單位時(shí)間T=1時(shí)的容量為：

（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

證：前面已求得單個(gè)連續(xù)消息（第k個(gè)）通過高斯信道以后的容量值為：

同時(shí)，在消息序列的互信息中已證明當(dāng)信源、信道滿足無記憶時(shí)，下列結(jié)論成立：

當(dāng)前第35頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)由信道容量定義，有

（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

當(dāng)信源、信道均滿足廣義平穩(wěn)、限頻、限時(shí)并具有白色譜特征，則時(shí)域相關(guān)函數(shù)樣點(diǎn)值是不相關(guān)的。

當(dāng)前第36頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

對于高斯分布，不相關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立是等效的，即滿足：信源無記憶：信道無記憶：當(dāng)前第37頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)下面，討論Shannon公式的物理意義與用途：

（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

它給出了決定信道容量C的是三個(gè)信號物理參量：F、T、之間的辯證關(guān)系。

當(dāng)前第38頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)三者的乘積是一個(gè)“可塑”性體積（三維）。三者間可以互換。下面舉例說明：1>用頻帶換取信噪比：擴(kuò)頻通信原理。雷達(dá)信號設(shè)計(jì)中的線性調(diào)頻脈沖，模擬通信中，調(diào)頻優(yōu)于調(diào)幅，且頻帶越寬，抗干擾性就越強(qiáng)。數(shù)字通信中，偽碼(PN)直擴(kuò)與時(shí)頻編碼等，帶寬越寬，擴(kuò)頻增益越大，抗干擾性就越強(qiáng)。下面僅以偽隨機(jī)碼（PN）直擴(kuò)系統(tǒng)為例：采用m序列：m=2n-1.

為了簡化，取n=3,m=23-1=7.（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

當(dāng)前第39頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

2>用信噪比換取頻帶衛(wèi)星、數(shù)字微波中常采用的有：多電平調(diào)制、多相調(diào)制、高維星座調(diào)制等等。(M-QAM)它利用高質(zhì)量信道中富裕的信噪比換取頻帶，以提高傳輸有效性。當(dāng)前第40頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)3>用時(shí)間換取信噪比弱信號累積接收基于這一原理。（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

t=T0

為分界線。信號功率S有規(guī)律隨時(shí)間線性增長，噪聲功率σ2無規(guī)律，隨時(shí)間呈均方根增長。當(dāng)前第41頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)Shannon公式另一種形式：

（二）廣義平穩(wěn)的限頻(F)、限時(shí)(T)、限功率(P)白色高斯信道及其容量C。（續(xù)）

其中，N0為噪聲密度，即單位帶寬的噪聲強(qiáng)度，σ2=N0F;E

表示單位符號信號的能量，E=ST=S/F；E/N0

稱為歸一化信噪比.也稱為能量信噪比.當(dāng)E/N0<<1時(shí)，當(dāng)前第42頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（三）有公共約束的連續(xù)消息序列信道

上面研究了平穩(wěn)無記憶消息序列信道，這里進(jìn)一步研究非平穩(wěn)無記憶消息序列信道。但仍受到一定的公共約束條件。對這類信道，主要問題是如何分配功率Sk,才能使其達(dá)到真正的容量值C。這仍是一個(gè)求條件極值的問題。這時(shí):當(dāng)前第43頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（三）有公共約束的連續(xù)消息序列信道（續(xù)）

引用拉氏乘子法，有

結(jié)論：只有當(dāng)輸出序列中各分量相等時(shí)（為常量），信道才達(dá)到C值。這就是著名的水庫（注水）定理。即擇優(yōu)選取原理，而不是扶貧。噪聲小分配信號功率大，噪聲大分配信號功率小。當(dāng)前第44頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)（三）有公共約束的連續(xù)消息序列信道（續(xù)）

對于滿足迭加性、連續(xù)高斯非白噪聲限頻信道以及頻率特性不理想、或者頻率選擇性的高斯信道，也可以類似的來用上述方法求解其容量值。這些在接入網(wǎng)的不對稱數(shù)字用戶線ADSL以及寬帶無線數(shù)據(jù)的頻率選擇性信道中將會(huì)遇到這類情況。令N(f)為高斯噪聲功率譜?？傇肼暪β蕿椋呵沂芟抻冢浩渲蠫(f)為信號功率譜，F(xiàn)為帶寬，由于頻率特性非白，則可將F分割為很多子頻段△f,在△f中可近似認(rèn)為其頻譜是白色的。則可引用前面的Shannon公式：當(dāng)前第45頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)引用拉氏乘子法，有（三）有公共約束的連續(xù)消息序列信道（續(xù)）

則

且

（受限）

當(dāng)前第46頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)其中

為了保證上式中的G(f)>0，還必須將一切G(f)<0的頻段棄之不用。它一般只能采用數(shù)值解法，求得可用頻段F1為：（三）有公共約束的連續(xù)消息序列信道（續(xù)）

m(F1)是F1的勒貝格(L)測度，這是由于F1可能不是一個(gè)連續(xù)區(qū)間。最后，求得當(dāng)前第47頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-7容量代價(jià)函數(shù)C(F)

實(shí)際問題中信道使用是有代價(jià)的。比如占用資源、占用資金等。下面從最簡單的單個(gè)離散消息信道來討論它。設(shè)信道輸入集合：信道輸出集合：信道轉(zhuǎn)移概率：使用信道的代價(jià)函數(shù)：總代價(jià)為F,且則有：

為了運(yùn)算方便，可去掉不等號，則有下列容量代價(jià)函數(shù)：

當(dāng)前第48頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)類似地，對單個(gè)連續(xù)消息信道亦有：

信道冗余度Rc:§3-7容量代價(jià)函數(shù)C(F)（續(xù)）類似于信源效率有：稱ηc為信道效率。

稱Rc為信道相對冗余度。顯然，對于無干擾信道：I(X;Y)=H(X),maxI(X;Y)=maxH(X)=logn同理：

則

當(dāng)前第49頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)§3-8多用戶信道

前面討論的都是單用戶信道，它是建立在點(diǎn)對點(diǎn)通信的基礎(chǔ)上，然而對于現(xiàn)代的移動(dòng)通信、衛(wèi)星通信、通信網(wǎng)、信息網(wǎng)實(shí)際上都是多點(diǎn)對多點(diǎn)的多用戶信道。對于單用戶信道實(shí)際上可分為兩類：單用戶信道后者可表為：

稱將多個(gè)用戶信源合并為一個(gè)單用戶信道的技術(shù)稱為信號復(fù)用技術(shù)。又稱為信號設(shè)計(jì)技術(shù)。

當(dāng)前第50頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)目前的信號復(fù)用基本上都屬于線性正交復(fù)用，它可劃分為三類：

§3-8多用戶信道（續(xù)）當(dāng)前第51頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)若考慮實(shí)際因素，則有：

顯然，信號的正交性主要體現(xiàn)在信號參量（時(shí)間Ti頻帶Fi）的正交性上，可見信號設(shè)計(jì)就是要尋找一組正交或準(zhǔn)正交信號參量λi,i=1,2…n。在發(fā)端，設(shè)計(jì)：§3-8多用戶信道（續(xù)）稱x0為保護(hù)區(qū)間,為子保護(hù)區(qū)間。當(dāng)前第52頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)在收端，可設(shè)計(jì)：

§3-8多用戶信道（續(xù)）當(dāng)λi=Fi，稱它為頻分，它就是載波通信的基本原理。當(dāng)λi=Ti，稱它為時(shí)分，它就是時(shí)分PCM多路通信的基本原理。當(dāng)λi=Ci，稱它為碼分，它就是碼分多路通信的基本原理。而F0i為保護(hù)頻帶，

T0i為保護(hù)時(shí)隙，

C0i為禁用碼組。若將這一在基帶或中頻上實(shí)現(xiàn)的正交復(fù)用技術(shù)推廣至射頻，就形成了多用戶信道的多址正交技術(shù)。當(dāng)前第53頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)下面研究多用戶信道物理背景：

§3-8多用戶信道（續(xù)）1>多址信道：

特點(diǎn)：多輸入、單輸出信道，稱它為多址信道;當(dāng)前第54頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)特點(diǎn)：單個(gè)輸入，多個(gè)輸出信道，稱為廣播信道。

2>廣播信道：多用戶信道物理背景：（續(xù)）當(dāng)前第55頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)可見第1〉2〉為3〉的特例：（1）

當(dāng)i=j=1,退化為單用戶信道；（2）

當(dāng)i=1…n,j=1,

為多址信道；（3）

當(dāng)i=1，j=1…n，為廣播信道（4）i=1…n,j=1…n,為一般隨機(jī)接入信道。多用戶信道物理背景：（續(xù)）3>隨機(jī)接入信道當(dāng)前第56頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)二址信道分析如下：（離散）

多址信道：

設(shè)

則R1、R2與R1+R2應(yīng)滿足當(dāng)前第57頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)多址信道編碼定理將證明：

多址信道（續(xù)）：

當(dāng)前第58頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)多址信道（續(xù)）：

若三類分布不相等

當(dāng)前第59頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)多用戶：容量為一截角邊界線：

信道容量概念的推廣：單用戶：容量為一個(gè)實(shí)數(shù)值：容量區(qū)域：單用戶：為一區(qū)間：多用戶：為一區(qū)域：截角多邊形面積下面將二址推廣到N址接入信道：若給定信道轉(zhuǎn)移概率為：則可分別規(guī)定各信源信息率的限制為：當(dāng)前第60頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)類似可證明：當(dāng)各信源相互獨(dú)立時(shí)：這一結(jié)果表明，多址信道的容量區(qū)域是一個(gè)N維空間的體積，是滿足所有限制條件下的截角多面體凸包。

當(dāng)前第61頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例1：N=3，三維情況：

當(dāng)前第62頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例2：下面具體分析時(shí)分（頻分）和碼分在二址情況下的容量：設(shè)在二址信道中傳送K個(gè)符號串，對一維的時(shí)（頻）分可設(shè)：當(dāng)前第63頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)顯然它是小于二址信道的容量界限。即三角形面積小于截角四邊形面積。至于碼分，它實(shí)質(zhì)上是屬于二維劃分。其結(jié)果應(yīng)優(yōu)于一維的時(shí)（頻）分。

當(dāng)例2（續(xù)）：當(dāng)前第64頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例3：若信道中無干擾，且條件概率如下：

Y=0Y=1Y=200100010011000111010當(dāng)前第65頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例3（續(xù)）：當(dāng)已知時(shí)，可求得

則由上述條件概率表，有：由條件概率表,當(dāng)前第66頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)將上式分別對p與p’取偏導(dǎo)并至之為0，可解得：則

例3（續(xù)）：其中

可見，碼分可以突破時(shí)分、頻分的容量界限。

當(dāng)前第67頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例4：對連續(xù)二址信道當(dāng)前第68頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例4（續(xù)）：坐標(biāo)系中的容量區(qū)域?yàn)橄拢?/p>

利用C1、C2、C12求得同理當(dāng)前第69頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)這里，再來分析連續(xù)信源時(shí)（頻）分方式：在總時(shí)隙T內(nèi)：

例4（續(xù)）：則：

當(dāng)前第70頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)其中，

例4（續(xù)）：當(dāng)前第71頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)廣播信道：單輸入多輸出信道。

仍以最簡單二輸出為例：其中為兩獨(dú)立信源，

且：

當(dāng)前第72頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)這里以連續(xù)變量為例：有

廣播信道：單輸入多輸出信道（續(xù)）

當(dāng)前第73頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)其中：

廣播信道：單輸入多輸出信道（續(xù)）

這樣可求得關(guān)于R1、R2與R1+R2界限區(qū)域?yàn)?/p>

則

即包含所有這些區(qū)域的外凸包。一般求解這個(gè)外凸包很困難，至今沒有找到確切求解方法。能夠求解的僅是一些特例。比如降階的退化廣播信道，這時(shí)信道轉(zhuǎn)移概率滿足：當(dāng)前第74頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)廣播信道：單輸入多輸出信道（續(xù)）

由概率論：

與上述退化條件對比，得

它要求y2與x無關(guān)，即X、Y1、Y2組成馬氏鏈。

即若有存在，則稱該信道為降價(jià)或退化型廣播信道。有很多實(shí)際信道可滿足上述退化條件：比如下列馬氏鏈信道：當(dāng)前第75頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)例：對于正態(tài)信道：

廣播信道：單輸入多輸出信道（續(xù)）

當(dāng)前第76頁\共有84頁\編于星期二\2點(diǎn)廣播信道：單輸入多輸出信道（續(xù)）

且設(shè)，可得一個(gè)y1y2二元函數(shù)

結(jié)合編碼器為一個(gè)普通加法：

X=U1+U2

Y1=X+