2022高考數(shù)學一輪復習 第十章 第1講 隨機抽樣知識點 新人教A版

PAGEPAGE1第1講隨機抽樣最新考綱1.理解隨機抽樣的必要性和重要性；2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．知識梳理1．簡單隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法．(3)應用范圍：總體中的個體數(shù)較少．2．系統(tǒng)抽樣(1)定義：當總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟第一步編號：先將總體的N個個體編號；第二步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；第三步確定首個個體：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．(3)應用范圍：總體中的個體數(shù)較多．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關，第一次抽到的可能性最大．(×)(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣．(√)(3)要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平．(×)(4)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關．(×)2．(2014·四川卷)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析．在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本的容量D．從總體中抽取的一個樣本解析由題目條件知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200.答案A3．(2014·湖南卷)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2＜p3B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2D．p1＝p2＝p3解析由隨機抽樣的知識知，三種抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，故選D.答案D4．(2014·天津卷)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取________名學生．解析根據(jù)題意，應從一年級本科生中抽取的人數(shù)為：300×eq\f(4,4＋5＋5＋6)＝60.答案605．大、中、小三個盒子中分別裝有同一種產(chǎn)品120個、60個、20個，現(xiàn)在需從這三個盒子中抽取一個樣本容量為25的樣本，較為恰當?shù)某闃臃椒開_______________．解析因為三個盒子中裝的是同一種產(chǎn)品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整數(shù)，所以將三盒中產(chǎn)品放在一起攪勻按簡單隨機抽樣法(抽簽法)較為適合．答案簡單隨機抽樣考點一簡單隨機抽樣【例1】下列抽取樣本的方式是否屬于簡單隨機抽樣？(1)從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．(2)盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里．(3)從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗．(4)某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽．解(1)不是簡單隨機抽樣．因為被抽取的樣本總體的個體數(shù)是無限的，而不是有限的．(2)不是簡單隨機抽樣．因為它是放回抽樣．(3)不是簡單隨機抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽?。?4)不是簡單隨機抽樣．因為不是等可能抽樣．規(guī)律方法(1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽?。虎凼遣环呕爻槿?；④是等可能抽取．(2)簡單隨機抽樣常有抽簽法(適用總體中個體數(shù)較少的情況)、隨機數(shù)法(適用于個體數(shù)較多的情況)．【訓練1】(1)總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01(2)下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的有()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗解析(1)從第1行第5列、第6列組成的數(shù)65開始由左到右依次選出的數(shù)為08，02，14，07，01，所以第5個個體編號為01.(2)A，D中的總體中個體數(shù)較多，不適宜抽簽法，C中甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)別，也不適宜抽簽法，故選B.答案(1)D(2)B考點二系統(tǒng)抽樣【例2】(1)已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機按1～40編號，并按編號順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個號碼．若第1組抽出的號碼為2，則所有被抽出職工的號碼為________．(2)為了解1000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50B．40C．25D．20解析(1)由系統(tǒng)抽樣知識知，第一組1～8號；第二組為9～16號；第三組為17～24號；第四組為25～32號；第五組為33～40號．第一組抽出號碼為2，則依次為10，18，26，34.(2)由系統(tǒng)抽樣的定義知，分段間隔為eq\f(1000,40)＝25.故答案為C.答案(1)2，10，18，26，34(2)C規(guī)律方法(1)系統(tǒng)抽樣又稱“等距抽樣”，所以依次抽取的樣本對應的號碼就組成一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取的樣本號碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼，但有時也不是按一定間隔抽取的．(2)系統(tǒng)抽樣時，如果總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡單隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行．【訓練2】(1)從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射實驗，若采用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是()A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，6，16，32(2)(2014·臨沂模擬)某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10B．11C．12D．16解析(1)間隔距離為10，故可能編號是3，13，23，33，43.(2)因為29號、42號的號碼差為13，所以3＋13＝16，即另外一個同學的學號是16.答案(1)B(2)D考點三分層抽樣【例3】(1)(2014·湖北卷)甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．(2)某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取________名學生．解析(1)由題意知，甲、乙兩套設備產(chǎn)品數(shù)量抽樣比為5∶3，故乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品共4800×eq\f(3,8)＝1800(件)．(2)高二年級學生人數(shù)占總數(shù)的eq\f(3,3＋3＋4)＝eq\f(3,10).樣本容量為50，則高二年級抽?。?0×eq\f(3,10)＝15(名)學生．答案(1)1800(2)15規(guī)律方法在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N.【訓練3】(1)(2014·云南檢測)某公司一共有職工200人，其中老年人25人，中年人75人，青年人100人，有關部門為研究老年人、中年人、青年人對公司發(fā)展的態(tài)度問題，現(xiàn)在用分層抽樣的方法從這個公司抽取m人進行問卷調(diào)查，如果抽到老年人3人，那么m＝()A．16B．20C．24D．28(2)(2014·廣東卷)已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示．為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為()A．100，10B．200，10C．100，20D．200，20解析(1)由eq\f(3,25)＝eq\f(m,200)，解得m＝24，故選C.(2)共有10000名學生，樣本容量為10000×2%＝200，高中生近視人數(shù)200×eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＝20，故選D.答案(1)C(2)D[思想方法]三種抽樣方法中簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，是其他兩種方法的基礎，適用范圍不同，要根據(jù)總體的具體情況選用不同的方法；它們的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性，若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時，每一個個體被抽到的概率都是eq\f(n,N).[易錯防范]應用分層抽樣應遵循的三點：(1)分層，將相似的個體歸為一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即不重復不遺漏．(2)分層保證每個個體等可能被抽取，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等．(3)若各層應抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，則應當調(diào)整樣本容量，先剔除“多余”的個體.基礎鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．某中學進行了該學年度期末統(tǒng)一考試，該校為了了解高一年級1000名學生的考試成績，從中隨機抽取了100名學生的成績，就這個問題來說，下面說法正確的是 ()A．1000名學生是總體B．每個學生是個體C．1000名學生的成績是一個個體D．樣本的容量是100解析1000名學生的成績是總體，其容量是1000，100名學生的成績組成樣本，其容量是100.答案D2．(2014·西安質(zhì)檢)現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查：①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查．②科技報告廳有32排，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，需要請32名聽眾進行座談．③高新中學共有160名教職工，其中一般教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學校在校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．較為合理的抽樣方法是 ()A．①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣B．①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層抽樣D．①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣解析對于①，個體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機抽樣法，是簡單隨機抽樣；對于②，將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整數(shù)倍即為抽樣編號，是系統(tǒng)抽樣；對于③，個體有明顯的差異，所以選用分層抽樣，故選A.答案A3．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為 ()A．11 B．12C．13 D．14解析由eq\f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為eq\f(720－480,20)＝eq\f(240,20)＝12(人)．答案B4．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 ()A．800 B．1000 C．1200 D解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占12月份生產(chǎn)總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．答案C5．(1)某學校為了了解2014年高考數(shù)學學科的考試成績，在高考后對1200名學生進行抽樣調(diào)查，其中文科400名考生，理科600名考生，藝術和體育類考生共200名，從中抽取120名考生作為樣本．(2)從10名家長中抽取3名參加座談會．Ⅰ.簡單隨機抽樣法；Ⅱ.系統(tǒng)抽樣法；Ⅲ.分層抽樣法．問題與方法配對正確的是 ()A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ解析通過分析可知，對于(1)，應采用分層抽樣法，對于(2)，應采用簡單隨機抽樣法．答案A二、填空題6．課題組進行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數(shù)為________．解析由已知得抽樣比為eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，∴丙組中應抽取的城市數(shù)為8×eq\f(1,4)＝2.答案27．(2015·青島模擬)某班級有50名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，…，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為________的學生．解析因為12＝5×2＋2，即第三組抽出的是第二個同學，所以每一組都相應抽出第二個同學，所以第8組中抽出的號碼為5×7＋2＝37號．答案37

8.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1～200編號為40組，分別為1～5，6～10，…，196～200，第5組抽取號碼為22，第8組抽取號碼為______．若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應抽取________人．解析將1～200編號分為40組，則每組的間隔為5，其中第5組抽取號碼為22，則第8組抽取的號碼應為22＋3×5＝37；由已知條件200名職工中40歲以下的職工人數(shù)為200×50%＝100，設在40歲以下年齡段中抽取x人，則eq\f(40,200)＝eq\f(x,100)，解得x＝20.答案3720三、解答題9．某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？解(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19.∴x＝380.(2)初三年級人數(shù)為y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在初三年級抽取的人數(shù)為：eq\f(48,2000)×500＝12名．10．某政府機關有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級機關為了了解政府機構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽取．解用分層抽樣方法抽?。唧w實施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4，∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．(2)因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00，01，02，…，69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人．(3)將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本．能力提升題組(建議用時：20分鐘)11．某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270，使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號為1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段，如果抽得號碼有下列四種情況：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270.關于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 ()A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②、④都不能為分層抽樣C．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①、③都可能為分層抽樣解析①在1～108之間有4個，109～189之間有3個，190～270之間有3個，符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣．同時，從第二個數(shù)據(jù)起每個數(shù)據(jù)與其前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，則可能是系統(tǒng)抽樣得到的；同理③符合分層抽樣的規(guī)律，可能是分層抽樣時，從第二個數(shù)據(jù)起每個數(shù)據(jù)與其前一個的差都為27，符合系統(tǒng)抽樣的規(guī)律，則可能是系統(tǒng)抽樣得到的，故選D.答案D12．(2015·青島模擬)將參加夏令營的600名學生編號為001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為 ()A．26，16，8 B．25，17，8C．25，16，9 D．24，17，9解析由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學生按編號依次分成50組，每一組各有12名學生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤eq\f(103,4)，因此第Ⅰ營區(qū)被抽中的人數(shù)是25；令300<3＋12(k－1)≤495得eq\f(103,4)<k≤42，因此第Ⅱ營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17.結(jié)合各選項知，選B.答案B13．一個總體中有90個個體，隨機編號0，1，2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1，2，3，…，9.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝8，則在第8組中抽取的號碼是________．解析由題意知：m＝8，k＝8，則m＋k＝16，也就是第8組抽取的號碼個位數(shù)字為6，十位數(shù)字為8－1＝7，故抽取的號碼為76.答案7614．某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數(shù)增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，求n.解總體容量為6＋12＋18＝36.當樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(36,n)，分層抽樣的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程師人數(shù)為eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技術員人數(shù)為eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人數(shù)為eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n應是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6，12，18.當樣本容量為(n＋1)時，總體容量是35人，系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(35,n＋1)，因為eq\f(35,n＋1)必須是整數(shù)，所以n只能取6.即樣本容量n＝6.

第2講用樣本估計總體最新考綱1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解他們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．知識梳理1．用樣本的頻率分布估計總體分布(1)頻率分布：樣本中所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率，所有數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布．(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1.(3)總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線．(4)莖葉圖：統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來方便．2．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(4)樣本方差、標準差標準差s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])．其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up6(－))是平均數(shù)．標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．(×)(2)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(√)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．(√)(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(×)2.對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53解析由題意知各數(shù)為12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位數(shù)是46，眾數(shù)是45，最大數(shù)為68，最小數(shù)為12，極差為68－12＝56.答案A3．(2014·山東卷)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組．下圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6B．8C．12D．18解析全體志愿者共有：eq\f(20,（0.24＋0.16）×1)＝50(人)，所以第三組有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三組中沒有療效的有6人，∴有療效的有18－6＝12(人)，故選C.答案C4．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________(從小到大排列)．解析不妨設x1≤x2≤x3≤x4，由中位數(shù)及平均數(shù)均為2，得x1＋x4＝x2＋x3＝4，故這四個數(shù)只可能為1，1，3，3或1，2，2，3或2，2，2，2，由標準差為1可得這四個數(shù)只能為1，1，3，3.答案1，1，3，35．(人教A必修3P82A6改編)甲乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數(shù)分別是：甲0102203124乙2311021101則機床性能較好的為________．解析∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝1.5，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝1.2，seq\o\al(2,甲)＝1.65，seq\o\al(2,乙)＝0.76，∴seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,甲)，∴乙機床性能較好．答案乙考點一頻率分布直方圖【例1】(2014·新課標全國Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？解(1)(2)質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)的估計值為100，方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定．規(guī)律方法解決頻率分布直方圖的問題，關鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系．這些數(shù)據(jù)中，直接的有組距、eq\f(頻率,組距)，間接的有頻率、小長方形的面積，合理使用這些數(shù)據(jù)，再結(jié)合兩個等量關系：小長方形面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，小長方形面積之和等于1，即頻率之和等于1，就可以解決直方圖的有關問題．【訓練1】某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是()A．90B．75C．60D．45解析產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36.設樣本容量為n，則eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.750＝90.答案A考點二莖葉圖【例2】(2014·廣東卷)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差．解(1)由題意可知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差是40－19＝21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，∴這20名工人年齡的方差為s2＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(112＋6×22＋7×12＋5×02＋102,20)＝eq\f(252,20)＝12.6.規(guī)律方法(1)莖葉圖的繪制需注意：①“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．(2)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等．【訓練2】(2015·?？谡{(diào)研)某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為85，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．解析依題意得，將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，中間的兩個數(shù)之和等于85×2＝170，因此x＝6，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于eq\f(1,10)(70×2＋80×6＋90×2＋53)＝85.3.答案85.3考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【例3】甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價．解(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)可知乙的成績較穩(wěn)定．從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．規(guī)律方法平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小．【訓練3】(1)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認，在圖中以x表示：eq\a\vs4\al(\a\al(8,9))\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(77,4\a\vs4\al(010x91)))則7個剩余分數(shù)的方差為()A.eq\f(116,9)B.eq\f(36,7)C．36D.eq\f(6\r(7),7)(2)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差解析(1)由題意知eq\f(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91,7)＝91，解得x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(1,7)(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝eq\f(36,7).(2)由題意可知，甲的成績?yōu)?，5，6，7，8，乙的成績?yōu)?，5，5，6，9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6，5，B錯；甲、乙的成績的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯．答案(1)B(2)C[思想方法]1．用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用．在計數(shù)和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計．2．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數(shù)據(jù)的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作．3．若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均值為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))＋b，方差為a2s2.[易錯防范]1．在使用莖葉圖時，一定要注意看清楚所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中的數(shù)字特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．2．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，應注意這三者的區(qū)分：(1)最高的矩形的中點即眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．3．直方圖與條形圖不要搞混(1)條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)的多少，其寬度(表示類別)是固定的；直方圖是用面積表示各組頻率的多少，矩形的高度表示每一組的頻率除以組距，寬度則表示各組的組距，因此其高度與寬度均有意義．(2)由于分組數(shù)據(jù)具有連續(xù)性，直方圖的各矩形通常是連續(xù)排列，而條形圖則是分開排列.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2014·青島檢測)如圖是一容量為100的樣本的質(zhì)量的頻率分布直方圖，樣本質(zhì)量均在[5，20]內(nèi)，其分組為[5，10)，[10，15)，[15，20]，則樣本質(zhì)量落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．10 B．20C．30 D．40解析由題意得組距為5，故樣本質(zhì)量在[5，10)，[10，15)內(nèi)的頻率分別為0.3和0.5，所以樣本質(zhì)量在[15，20]內(nèi)的頻率為1－0.3－0.5＝0.2，頻數(shù)為100×0.2＝20，故選B.答案B2．(2015·西安檢測)某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93.下列說法中一定正確的是 ()A．這種抽樣方法是一種分層抽樣B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D．該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)解析依題意，顯然不能確定題中的抽樣方法是屬于哪種抽樣，因此選項A，B均不正確；選項D，僅有5名男生，5名女生的數(shù)學成績，而不能得出該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)；對于C，注意到將這五個男生與女生的成績均按由小到大排列，這五名男生的成績相對較為分散，因此這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差，故選C.答案C3.(2014·臨沂一模)某中學高三從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽?滿分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學生成績的眾數(shù)是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83，則x＋y的值為 ()A．7 B．8 C．9 D．10解析由莖葉圖可知，甲班學生成績的眾數(shù)是85，所以x＝5.乙班學生成績的中位數(shù)是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.答案B4．(2015·東北三省三校聯(lián)考)在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應相同的是 ()A．平均數(shù)B．標準差C．眾數(shù)D．中位數(shù)解析利用平均數(shù)、標準差、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計特征數(shù)的概念求解．由B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，可得平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是原來結(jié)果減去5，即與A樣本不相同，標準差不變，故選B.答案B5．(2015·沈陽監(jiān)測)某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機調(diào)查了24名筆試者的成績，如下表所示：分數(shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是 ()A．75 B．80C．85 D．90解析因為參加筆試的400人中擇優(yōu)選出100人，故每個人被擇優(yōu)選出的概率P＝eq\f(100,400)＝eq\f(1,4)，因為隨機調(diào)查24名筆試者，則估計能夠參加面試的人數(shù)為24×eq\f(1,4)＝6，觀察表格可知，分數(shù)在[80，85)有5人，分數(shù)在[85，90)的有1人，故面試的分數(shù)線大約為80分，故選B.答案B二、填空題6．(2014·甘肅診斷)如圖是根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運動員參加11場比賽的得分情況畫出的莖葉圖．若甲運動員的中位數(shù)為a，乙運動員的眾數(shù)為b，則a－b＝________．解析由莖葉圖可知甲運動員的中位數(shù)為a＝19，乙運動員的眾數(shù)為b＝11，所以a－b＝8.答案87．樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________．解析由題可知樣本的平均值為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案28．(2015·銀川檢測)某企業(yè)3個分廠同時生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法(每個分廠的產(chǎn)品為一層)從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為________h.解析依題意，抽取的100件產(chǎn)品來自于第一、二、三分廠分別有25，50，25件，因此抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為eq\f(1,100)(980×25＋1032×25＋1020×50)＝1013(h)．答案1013三、解答題9．某校高一某班的某次數(shù)學測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：(1)求分數(shù)在[50，60]的頻率及全班人數(shù)；(2)求分數(shù)在[80，90]之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80，90]間的矩形的高．解(1)分數(shù)在[50，60]的頻率為0.008×10＝0.08.由莖葉圖知，分數(shù)在[50，60]之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25.(2)分數(shù)在[80，90]之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80，90]間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.10．(2014·北京卷)從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)1[0，2)62[2，4)83[4，6)174[6，8)225[8，10)256[10，12)127[12，14)68[14，16)29[16，18]2合計100(1)從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結(jié)論)．解(1)根據(jù)頻數(shù)分布表知，100名學生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6＋2＋2＝10(名)，所以樣本中的學生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－eq\f(10,100)＝0.9.故從該校隨機選取一名學生，估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組[4，6)內(nèi)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時間落在組[8，10)內(nèi)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.(3)樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組．能力提升題組(建議用時：25分鐘)11．某學校隨機抽取20個班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]時，所作的頻率分布直方圖是 ()073176443027554320385430解析由于頻率分布直方圖的組距為5，排除C、D，又[0，5)，[5，10)兩組各一人，排除B，應選A.答案A12．(2014·益陽模擬)為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是 ()A．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次B．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次C．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人D．該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有32人解析由題圖可知中位數(shù)是26.25次，眾數(shù)是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的頻率為0.2，所以估計該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約有320人；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的頻率為0.1，所以該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有160人．故D是錯誤的，選D.答案D13．在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，已知a2＝2a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為________．解析∵小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}，且a2＝2a1，∴樣本的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列，且公比為2，∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，∴a1＝eq\f(1,15)，∴小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為300×8a1＝160.答案16014．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)，試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解(1)設A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))A，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))B，則eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(1,20)(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.則eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，因此A藥的療效更好．(2)由觀測結(jié)果繪制如下莖葉圖：從莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“2.”，“3.”上；B藥療效的試驗結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“0.”，“1.”上．由上述可看出A藥的療效更好.

第3講變量間的相關關系、統(tǒng)計案例最新考綱1.會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程；3.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用．知識梳理1．變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非確定性關系．(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關關系為負相關．2．回歸分析對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析．其基本步驟是：(ⅰ)畫散點圖；(ⅱ)求回歸直線方程；(ⅲ)用回歸直線方程作預報．(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸直線方程的求法——最小二乘法．設具有線性相關關系的兩個變量x，y的一組觀察值為(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，則回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的系數(shù)為：其中eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點的中心．(3)相關系數(shù)當r＞0時，表明兩個變量正相關；當r＜0時，表明兩個變量負相關．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．3．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aBa＋bx2cDc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機變量K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢．(√)(2)事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(√)(3)由獨立性檢驗可知，有99%的把握認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績有關，某人數(shù)學成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．(×)2．下面哪些變量是相關關系()A．出租車車費與行駛的里程B．房屋面積與房屋價格C．身高與體重D．鐵塊的大小與質(zhì)量答案C3．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算K2≈0.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是()A．有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀B．有99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系C．有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系D．沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系解析只有K2≥6.635才能有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系，而既使K2≥6.635也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”這個論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關．故只有D正確．答案D4．(2014·湖北卷)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則()A.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0B.eq\o(a,\s\up6(^))＞0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0C.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＜0D.eq\o(a,\s\up6(^))＜0，eq\o(b,\s\up6(^))＞0解析作出散點圖，由散點圖可知eq\o(b,\s\up6(^))＜0，eq\o(a,\s\up6(^))＞0，故選A.答案A5．(人教A選修2－3P95例1改編)在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計算K2的觀測值k＝27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的(填“有關”或“無關”)．答案有關

考點一相關關系的判斷【例1】(1)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為()A．－1B．0C.eq\f(1,2)D．1(2)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關解析(1)所有點均在直線上，則樣本相關系數(shù)最大即為1，故選D.(2)由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關；由圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關．答案(1)D(2)C規(guī)律方法對兩個變量的相關關系的判斷有兩個方法：一是根據(jù)散點圖，具有很強的直觀性，直接得出兩個變量是正相關或負相關；二是計算相關系數(shù)法，這種方法能比較準確地反映相關程度，相關系數(shù)的絕對值越接近1，相關性就越強，相關系數(shù)就是描述相關性強弱的，相關性有正相關和負相關．【訓練1】變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則()A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r1解析對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關，即r2＜0，所以選C.答案C考點二回歸方程的求法及回歸分析【例2】(2014·新課標全國Ⅱ卷)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(^))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(^)).解(1)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\o(t,\s\up6(^))＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,7)(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2007至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2015年的年份代號t＝9代入(1)中的回歸方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×9＋2.3＝6.8，故預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元．規(guī)律方法(1)正確理解計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關鍵．(2)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．(3)在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程來估計和預測．【訓練2】(2014·云南檢測)春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖商品的銷售額y(單位：萬元)與當天的平均氣溫x(單位：℃)有關．現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表：平均氣溫(℃)－2－3－5－6銷售額(萬元)20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＝－eq\f(12,5)，則eq\o(a,\s\up6(^))＝________．解析由表中數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝－4，eq\o(y,\s\up6(－))＝25，所以線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－eq\f(12,5)x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(－4，25)，代入方程得25＝－eq\f(12,5)×(－4)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(77,5).答案eq\f(77,5)考點三獨立性檢驗【例3】(2014·安徽卷)某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．(1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879解(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知，300位學生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的．所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2＝eq\f(300×（45×60－165×30）2,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762＞3.841.所以，有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．規(guī)律方法利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預測．獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，具體做法是根據(jù)公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，計算隨機變量的觀測值k，k值越大，說明“兩個變量有關系”的可能性越大．【訓練3】某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下50歲以上合計(2)能否有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關？并寫出簡要分析．解(1)2×2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類合計50歲以下481250歲以上16218合計201030(2)因為K2＝eq\f(30×（4×2－16×8）2,12×18×20×10)＝10>6.635，所以有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關．[思想方法]1．回歸分析是處理變量相關關系的一種數(shù)學方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式；(2)根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程．2．根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度．[易錯防范]1．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值．2．獨立性檢驗中統(tǒng)計量K2的觀測值k的計算公式很復雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時出錯，而導致整個計算結(jié)果出錯.基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2015·湖北七市(州)聯(lián)考)為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a近似地刻畫其相關關系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是 ()A．線性相關關系較強，b的值為3.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值解析依題意，注意到題中的相關的點均集中在某條直線的附近，且該直線的斜率小于1，結(jié)合各選項知，故選B.答案B2.設(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是()A．直線l過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率C．x和y的相關系數(shù)在0到1之間D．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析由樣本的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關系數(shù)表示為x與y之間的線性相關程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關系數(shù)應在－1到0之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本