函數(shù)部分答案2 11一變量與概念

第二章函 函afyay＝f(a)y|所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}y＝f(x)也經(jīng))所以確定一個函數(shù)就只需兩個要素:定義域和對應(yīng)法則.)[a,b)或R用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)∞),(－∞,b],(－∞,b)知識點一已知解析式求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：y＝3

；(4)y＝2x＋3－

解(1)

1

函數(shù)y＝ 的定義域為x|x≤0且x≠－＝－∞，－∪－2x

函數(shù)y＝

＝x6

－ －

f(x)＝ 的定義域是{x∈R|x≠1x f(x)＝3x－1＋1－2x＋4的定義域是知識點二兩函數(shù)相同的判定2下列各題中兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù):(1)f(x)＝x,g(x)＝(x)2;f(t)＝t,g(x)＝3x3;解(1)f(x)R,g(x)的定義域為{x|x≥0},兩個函數(shù)的定義域不同,故不是同(1)f(x)＝x·x＋1g(x)＝x(x＋1);(2)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t;(3)f(x)＝1解(2)是,(1)、(3)知識點三例 已知解(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3解－1)2－3(a－1)＋2＝a2－5a＋6.－1)2－3(x－1)＋2＝x2－5x＋6,f(x)＝x2－5x＋6,即y＝f(x)是難以理解的抽象符號,它的內(nèi)涵是“x,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下即可得到y(tǒng)”．在學(xué)習(xí)過程中,不容易認識到函數(shù)概念的整體性,而將函數(shù)單一地理正確理解函數(shù)的二要素,其中對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的,而函數(shù)的定義域就是指能使這個解析◆作業(yè)

2－1 f(f( f(f(222

x f ,則1等x f

B．1 C．2 3 (2)y＝x－1＋f(x)＝11＋x2.(1)f(2)f,f(3)f

1 2 4 2 解 1

1＋＝ 3＝＝

9＝

＝11＋

1＋12

1 1＋ 4∴原式＝2＋1＋1＋1＋…＋1＝2009＋2＝ 有且只有一個原象,這時我們說這兩個集合的元間存在一一對應(yīng)關(guān)系,并把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射．構(gòu)成函數(shù)的兩個集合A，B必須是非空數(shù)集．知識點一1在下列對應(yīng)關(guān)系中,AB的映射？哪些不是;若是映射,是否解(1)是，一一映射 1 A0，+∞，=，fx→y2＝x; 知識點二例 解A中元素(1,2)的象為 變式遷移 1),A2BB中元素2，4A 解B中的象為(2＋1,3),2，4在A中對應(yīng)的原象為知識點三例 ()＋()＝(c)f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)2＋0＝2,0＋2＝2,(－1111110000000100010應(yīng)元素,若有,再看對應(yīng)元素是否唯一,至于B中的每一個元素是否都有原象,則不作要求. 設(shè)集合A＝{x|0≤x≤6},B＝{y|0≤y≤2},對于以下對應(yīng)的關(guān)系中,不是A到B(

設(shè)集合A、B都是坐標平面上的點集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x＋y,x－y),則在f下,象(2,1)的原象是

, ,． A．3個2個1C．4個2個2B．3個3D．2個221 A．3個 B．4個 C．5個 A=Z，B={x|x=2n+1,n∈Z},C=R.,ABx→2x－1,BC

,則經(jīng)過兩次映射,A中元素1在C中的象為 121234象34211234象4312則f[g(1)]的值為 ④A＝R，B＝R，f：x→y＝1 ，是函數(shù)的是A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．解 解f(1)＝4，f(2)＝7,列方程組

值)Amn43m＋1＝16m＝5.知,舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.解析法——圖象法——用圖 列表法——列出表 知識點一1tx

b解(1)x＝2

＋當(dāng)x＝14時，t＝28得方程組

解此方程組得

14a＋b x≤20123456789然后以80km/h的速度勻速行駛1小時到達丙地．下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是 B)知識點二函數(shù)解析式的求法2已知f(x＋4)＝x＋8x，求 1 變式遷移 2

xy1xy1x0xy1xy1x0y10xy10 若f(1－2x)＝ (x≠0),那么f2等 已知f(x)是一次函數(shù),2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1,則 10點到3點只進水不出水; 23點到4點不進水只出水;③4點到6點不進水不出水．則一定能確定正確的論斷序號是1 ;當(dāng)g[f(x)]＝2時,x＝ x1x123211x123321 f(x)＝2x分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值范圍,有著不同的對應(yīng)關(guān)系分段函數(shù)是一個函數(shù),其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集 作分段函數(shù)圖象時,知識點一分段函數(shù)的求值問題x＋2例1已知函數(shù) 2x

求f[f(3)]的值 f[f(aa＝1 變式遷移1設(shè)f(x)＝11

a<-知識點二2f(x)＝1＋2 ì?-2(x-1 2

)+1,x?[0,2y＝f(x) ??-2x+2,x?[2知識點三分段函數(shù)的簡單應(yīng)用解設(shè)票價為yx 所以y關(guān)于x的函數(shù)為 0.2(nx0.2(n

t(0,,t(n,n1](nN,n

2

x＋x－2， f(x＋2)

函數(shù)

已知 x＋1

，則f(f(f(－1)))的值是

)已知函數(shù) x－3，

{x|0≤x≤13≤x≤4中的任意兩xΔy＝f(x)－f(x時,1 ) 如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù) 或是減函數(shù) 區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間 a>0時，二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c的單調(diào)遞增區(qū)間 時，yk函數(shù) (k>0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞,0)和 1(1) 知識點二例2證明：函數(shù) ＋x證明0<x1<x2<1 ＝(x－x 2

變式遷移2利用單調(diào)性的定義證明函數(shù) －xx1，x2∈(01)f(x)－f(x)＝(x－x) 2＝(x－x 1 ∵0<x<x，∴x－x

知識點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3已知函數(shù) f(x)的最小值為2a

aa

23f(x)＝x[2,5]f(x)<a在[2,5]f

2,f

5a的取值范圍是aa411◆

B．1 C．2 D．3 若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在區(qū)間[4，＋∞)上是增函數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是(B 已知函數(shù)f(x為區(qū)間[1,1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)<f1的實數(shù)x的取值范圍為

1,2

．(,3),(0,y＝ax

＝－x 證明：函數(shù)y f(x)max3,f(x)min1

關(guān)于原 對關(guān)于y 對 關(guān)于y _f(x)ff(x)f2.(1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)等于 f(x)0 知識點一函數(shù)奇偶性的判斷1 f(x)＝x＋1 f(x)＝1－x2＋ f(x)＝ f(x)＝x－1＋ 知識點二 例2已知函數(shù)

變式遷移2判斷函數(shù) x＋1

知識點三)在奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域中,x∈D，－x∈D，這就是說，一個函數(shù)不論是奇函122x

3.y＝(x＋1)(x－a)a ) 如圖是一個由集合A到集合B的映射，這個映射表示的是 若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx是 11_3

已知f(x)＝ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)＝- f(x)＝2x－1＋ －x2－2

f(x)＝x－1 f(x·y)＝y(tǒng)·f(x)＋x·f(y)． 定義在R上的奇函數(shù)，必有 若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數(shù)，且有最小值-M 函數(shù)f(x)＝|x|的奇偶性為_偶函 ，單調(diào)遞增區(qū)間為_(0,)_，單調(diào)遞減區(qū)間 知識點一函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值y<0的x的取值集合為_(2, 式g(x)<0的解集為_(3, (3, 知識點二x23x1(xf(x) x23x1(xf(x)

x1(-1xx1(0x實數(shù)m的取值范圍是 1,2立，求m的取值范圍．實數(shù)m的取值范圍是 1,21y軸對稱，故可直接根據(jù)函數(shù)圖象的對論．3．具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點：對于定義在R上的任何奇函數(shù)f(x)都 ) 數(shù) ( A．x軸對 C．y軸對 若奇函數(shù)f(x)在[1,3]上為增函數(shù)，且有最小值0，則它在[－3，－1]上 A．是減函數(shù)，有最小值0 B．是增函數(shù)，有最小值0

x － f－4_f(af(x)x,g(x)x2

f(x) 1

0t2 ykxb(k0)叫做一次函數(shù)，它的定義域為R，值域為性質(zhì)與圖象：(1)一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象是直線，簡寫為直線ykx 其中 叫做該直線的斜率，b叫做該直線在y軸上的截距，一次函數(shù)又叫線性函數(shù)函數(shù)值的改變量Δy＝y(tǒng)2－y1與自變量的改變量Δx＝x2－x1的比值等于常數(shù)k.當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，是奇函數(shù)；當(dāng)b0 直線y＝kx＋b與x軸的交點為－k，0，與y軸的交點為 函數(shù)yax2bx(ca0 性質(zhì)與圖象：對二次函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))＋k(其中h＝－2a，k＝ 函數(shù)的圖象是拋物 ,拋物線的頂點坐標是 ，對稱軸為y ，函數(shù)在x=h處取最小值ymin＝k (h)上是減函數(shù)，在(h當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在x=h處取最大值ymax＝k＝ ,在區(qū)(h上是增函數(shù),在(h,)知識點一例 13 mR且m2 m2知識點二利用配方法分析二次函數(shù)的性質(zhì)例2y＝f(x)＝3x2－6x＋1. f(x)minf(1)2f(3)．f(3)=變式遷移2 a3知識點三求二次函數(shù)在已知區(qū)間上的最值例3f(x)＝x2－2x＋2.f(x)minf(1)1，f(x)maxf(4)f(x)minf(2)2，f(x)maxf(3)g(t)

t21(t1(0t t22t2(t當(dāng)a<0時，值域為：[-1，3- ，當(dāng)0a1時，值域為：[a21,3當(dāng)1a2時，值域為：[a21,1]，a〉2時，值域為：[3-4a，-一次函數(shù)定義：y＝kx＋b(k≠0)k≠0.b＝0時，此函數(shù)為正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)的特例．一次函數(shù)的性質(zhì)：k>0時，單調(diào)遞增；k<0時，單調(diào)遞減．3.222<h≤n,已知正比例函數(shù)，可設(shè)解析式為ykx(k0ykxb(k0)kky(k≠0) yax2bx(c ②已知頂點坐標為(h，k),ya(xh)2k(a0)③已知函數(shù)與x軸有兩個交點(x1,0)，(x2,0)，可設(shè)ya(xx1)(xx2)(a0) 獨立條件求a.知識點一已知函數(shù)類型，求解析式例1求下列函數(shù)的解析式：f(x)4x24xf(x)2x f(x)變式遷移1 (1)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標分別是－2,6，圖象與y軸相交，交點和原點的距離為3，求此函數(shù)解析式； f(x)1x21x 2f(x)Rx≤－1時，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過點(－2,0)，斜率為1y＝f(x)的圖象上有一部分是頂點在(0,2)，且過點(－1,1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達式，并作出其圖象． x+2(xf(x)x2+2(1x x2(x二次函數(shù)，f(6)＝2，又當(dāng)3≤x≤6時，f(x)≤f(5)＝3，求f(x)的解析式．(x+5)2-3(6xf(x)

13

(3xx、y的幾對值，或圖象上的幾個點的坐標或其他條件，建立以待定系數(shù)為未知數(shù)的 函數(shù)的應(yīng)用k b(k、b為常數(shù)知識點一一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型辦法：(1)買1只茶壺1只茶杯；(2)按總價的92%付款．某顧客需買茶壺4只，茶杯若干(不少于4只)，若茶杯x只付款y元，試分別建立兩種辦法中y與x之間的杯數(shù)x＝34時，兩種辦法一樣．變式遷移1為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對移動采用不同的方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)x(分)y(元)的關(guān)系 22當(dāng) y＝y(tǒng)，兩種卡一致23時， 當(dāng) y>y，即便民卡便宜3時， 當(dāng)x>96 y<y，即如意卡便宜3時， 知識點二二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型22005元，6789 11.51490 y甲＝0.2(x＋4)，y乙 20萬只

知識點三分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型例 又是多少元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)550xx

x＝500時，L＝6000x＝1000時，L＝11變式遷移3某市居民自來水標準如下：每戶每月用水不超過4噸時每噸為1.80元，當(dāng)該月用水量分別為5x、3x(噸)．4 ， ， 一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實數(shù)α處的值等于零，即f(α)＝0 這個函數(shù)的零點 ＝ax2＋bx＋c有兩 零點當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等 次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有 零點或者說有二階 Δ＝b2－4ac<0時,ax2＋bx＋c＝0y＝ax2＋bx＋c沒 相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同 知識點一求函數(shù)的零點1求下列函數(shù)的零點： -1，1(3)f(x) -知識點二利用二次函數(shù)的零點解不等式例2解下列不等式．解集為{x|x<－2 3解集為x|3

知識點三函數(shù)零點的綜合應(yīng)用3xx2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍． 如果函數(shù)y＝f(x)在一個區(qū)間[a，b]上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號,即f(a)f(b)<0 ，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點x0∈（a，b），使f（x0）=0 如果函數(shù)圖象通過零點時穿過x軸x在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二知識點一1x3－3x＋1＝0的根一個在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)，一個在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個F(－2)F(－1)＝－1×3<0變式遷移1 x012解(1)在(－2，－1.5)，(－0.5,0)，(0,0.5)令f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點．∴方程知識點二例 知識點三例 用二分法求函數(shù)y＝f(x零點近似值，它必須具備兩個條件：①在[ab上連續(xù)；(a，b)f(a)·f(b)>0y＝f(x)在區(qū))(0,3)1知識點一函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用 f(x)的圖象如右圖所示，那么不等式xf(x)<0的解集為( 知識點二例 2f(x)=x2-2ax+2，x?[1,+時，f(x)≥aa知識點三2

例 值域為 G(x)＝1的解集為{x|x＝1x＝1＋G(x)≥1的解集為{x|x≥1＋2知識點四例14ABCDBC上有一動點P，B(起點)A(終點)P運動的路x，△APB的面積為y. yt中怎樣安排服藥的時間(共4次)效果最佳？解(1)依題意，得y＝2 —t—t3 第三章基本初等函數(shù) 式子na叫

n n3．(1)n∈N時，(a) .(2)n為正奇數(shù)時

a＝；n為正偶數(shù)時，a m nn

n m且n為既約分數(shù) 知識點一 a3·a2；a

33a2·a3·(33a2·a3·(a)52(a2)變式遷移

2 3

；xx(5

(2)(b3)3(b0).例2計算(或化簡)下列各式：2(1)4212

8 (2)(0.064)3 )0[(2)3]316075|0.01|28 a2

a2 變式遷移2求值:1.5－×－0＋8025×2＋(2× 3 知識點三靈活應(yīng)用——例 3

.x2y2. x2y

xx1

的值1. Rx＝；.；RR知識點一求定義域、值域問題1求下列函數(shù)的定義域和值域：1( (y2x4;(2)y2 1( ( }{x|x4}{y|y0且y1}(2)R{y|y (2)R{y|y}2(1)y＝3 ； {x|x2}{y|y (2){x|x0}{y|0y知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象問題例2如圖所示是指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是 知識點三指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例30.99－1010.99－14 34 比較()3,23,()3,()2的大小 3 4 ()3()2()3 例4 (1)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[1,2] a1或a

a3或a3變式遷移 110≤x≤2y＝42－3·2x＋55a (2)ymax5

ymin 如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N，就是 ，那么數(shù)b叫做 作，其中a叫做 ，N叫做 ；(2)底的對數(shù)為；(3)零和負 若a>0，且a≠1，則ab＝N (a>0且a≠1)．知識點一對數(shù)式有意義的條件例(1)(1){x|x10}(2){x|x1且x2(3){x|x0且-1<x變式遷移1在b＝log(a－2)(5－a)中，實數(shù)a的取值范圍 A．a(chǎn)>5或 知識點二 (1)5＝625；(2)log8＝－3； (4)log1 變式遷移 log

log

log(log

2 (1)x9(2)x43(3)x2(4)x (5)x3

例3計算：1(log9log 2

(1)35(2)55 (5

log635 65記作logaN＝b，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N(1)log(MN)＝logM＋log logM－logN；(3)logMn＝nlog 對數(shù)換底：log a 為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，logeN通常記作 (2)自然對數(shù)與常用對數(shù)的關(guān)系：lnN≈ 例 logx÷log ④log(xy)＝logx·logaaaaaA．0B．1C．2D．3A．loga≠1，x>0，n∈N*，則下列各式正確的是(AB．(logx)n＝nlogx C．(logx)n＝logxn)D．logaaaaaaax 例 計算： log log7－log (2)2(lg2)＋lg2·lg5＋(lg2) (1)log11(1)log115og2 －log5 例 設(shè)

12

3 用“l(fā)g5＋lg2＝1”來解題．(1)logb·log (2)ma一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做 ，其中x是自變量，函數(shù)的定義Ry＝logxy＝lox x1求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3 (2)y＝log0 {x|x0}

{x|1x2且x變式遷 ， 的定a1{x|x1}a1{x|3x4例 下圖是對數(shù)函數(shù)y＝loga 43, , ,

的圖象，已知a值取 C，C，C，3，5，10，則圖象 41, 35 310 3 ,

4,3,1, 5 10例

a1xlog081.5與log0 (2)log35與> (1)log052.7，log052.8；(2)log34，log65；(3)logaπ，logaea>0

知識點一利用對1例 1（1）(2

0a1或a1知識點二對數(shù)函數(shù)最值問題a 變式遷移2函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為a，則a( 知識點三利用圖象求參數(shù)范圍 例 若不等式2－logax<0，當(dāng)x∈，2時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍 ()2

a3x∈(1,2)(x－1)2<logaxa

1 1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給 知識點一求函數(shù)的反函數(shù)問題例11列函數(shù)的反函數(shù)．(1)y＝x；(2)y＝logx，x∈(1,8)； 114

（3）f1(x) 21x(1)y＝log ； （3）f1(x)x1,x5

（2）f1(x)logx,x(0,131知識點二