一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

3.2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)2021/5/913.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）定義能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項式中s的最高冪數(shù)為1的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型形式是慣性環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的一般形式為，式中K為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。2021/5/923.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）系統(tǒng)框圖當(dāng)K=1時，典型一階系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖及化簡形式如圖所示。2021/5/933.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

給一階系統(tǒng)輸入單位階躍信號，根據(jù)一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，計算其拉氏反變換，求出微分方程的解c(t)，即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。其實質(zhì)就是根據(jù)已知條件（單位階躍信號），利用傳遞函數(shù)和拉氏反變換，求出輸出信號c(t)。

因為輸入信號是單位階躍信號，所以又因為

所以，輸出信號的拉氏變換為查拉氏變換對照表得此即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。式中T稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，具有時間量綱，是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，表征了系統(tǒng)過渡過程的品質(zhì)，T越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。2021/5/94一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線結(jié)論一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩。時間常數(shù)T可以定義為系統(tǒng)的響應(yīng)時間達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間。反之，可以用實驗的方法測出響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2％高度時所需時間，即為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T。經(jīng)過時間3T~4T，響應(yīng)曲線已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95％~98％，可認(rèn)為其調(diào)整過程已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時間ts=(3~4)T。在t=0時，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T。時間常數(shù)決定于系統(tǒng)參數(shù)，與輸入信號無關(guān)。2021/5/953.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

因為輸入信號是單位斜坡函數(shù)，所以又因為所以，輸出信號的拉氏變換為查拉氏變換對照表得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為2021/5/96一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線

如圖所示，該響應(yīng)系統(tǒng)存在誤差信號e(t)，誤差信號當(dāng)t→∞時，，此時e(t)=T。所以可得以下結(jié)論：當(dāng)t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為時間常數(shù)T；時間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。2021/5/973.2.4一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

因為輸入信號是單位脈沖信號，所以又所以

對其進(jìn)行拉氏反變換得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為其時間響應(yīng)曲線如右圖所示。2021/5/983.2.5線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)

（1）

單位階躍函數(shù)的定義為單位脈沖函數(shù)的定義為單位斜坡函數(shù)的定義為

現(xiàn)在對單位斜坡函數(shù)求導(dǎo)，得即單位階躍函數(shù)是單位斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。對單位階躍函數(shù)求導(dǎo)，得即單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2021/5/99

現(xiàn)在分析三個典型輸入信號的時間響應(yīng)。一階單位斜坡信號的時間響應(yīng)為一階單位階躍信號的時間響應(yīng)為一階單位脈沖信號的時間響應(yīng)為

顯然，即單位階躍響應(yīng)是單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。3.2.5線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)

（2）2021/5/910由此可得出以下結(jié)論（線性定常系統(tǒng)重要特征）：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，可通過把系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)求導(dǎo)得出；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，