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文檔簡介
9.2.4總體離散程度的估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差,利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的離散程度.2.理解并掌握方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算和應(yīng)用3.理解掌握分層隨機(jī)抽樣的方差1知識回顧
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法,但僅知道集中趨勢的信息,很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策,下面的問題就是一個(gè)例子.眾數(shù):最高矩形的中點(diǎn)中位數(shù):中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等
平均數(shù):每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和
總體集中趨勢的估計(jì)2總體離散程度的估計(jì)引例
:有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:78795491074乙:9578768677甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看,兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒有差別.思考:兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少?問題1
如何評價(jià)?如何選擇?甲:44577789910乙:566777788910環(huán)數(shù)頻率456789(甲)10環(huán)數(shù)頻率456789(乙)結(jié)論2:甲的成績比較分散,乙的成績相對集中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7結(jié)論1:問題2:上述問題中,甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同,但二者的射擊成績存在差異,還有什么數(shù)字特征能度量甲和乙的差異?甲:78795491074乙:9578768677極差甲的成績波動(dòng)范圍比乙的大甲的極差=10-4=6乙的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息,所含的信息量很少。也就是說,極差度量出的差異誤差較大.方差與標(biāo)準(zhǔn)差問題3:你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎?成績很穩(wěn)定離平均成績不會太遠(yuǎn)波動(dòng)幅度很大離平均成績會比較遠(yuǎn)通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動(dòng)幅度.問題4:什么叫做平均成績的“平均距離”?假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,
用
表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
到
的距離
平均距離我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”
想一想,為什么用“平均距離”刻畫離散程度,用“總距離”行嗎?為了避免式中含有絕對值,通常改用平方來代替,即方差有時(shí)為了計(jì)算方便,還把方差寫成:方差刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量=知識梳理(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義
一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,用
表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差為
s2=____________=____________,.思考:標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么?標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我們對方差開平方.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s=知識梳理(2)總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義
如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為
Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為
,則稱
S2=_______________為總體方差,S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差
.
加權(quán)形勢總體方差:如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為知識梳理(3)樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義
如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為
,則稱
s2=_______________為樣本方差,s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差
.
(4)特征:標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的______程度或波動(dòng)幅度.標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越____,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越____,越穩(wěn)定.在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中,一般多采用_______.離散大小標(biāo)準(zhǔn)差有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:78795491074
乙:9578768677如果你是教練,你如何對兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評價(jià)?如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?
甲甲乙成績穩(wěn)定的乙甲新知1:方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義甲:44577789910乙:5667777889例:甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測量,數(shù)據(jù)為甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.
新知1:方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算新知2:分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差
[練習(xí)]甲、乙兩只田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為:甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙對體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1:4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么?新知3:樣本和總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小,平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.
月均用水量/t0.077頻率/組距0.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.00700.020.080.10.060.044.21.27.210.213.216.219.222.225.228.22.5914.9921.19課堂小結(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度:方差和標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;方差和標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.1.刻畫數(shù)據(jù)的離散程
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