總體離散程度的估計【核心素養(yǎng)提升+備課精講精研】高一下學期數學人教A版（2019）必修第二冊

9.2.4總體離散程度的估計學習目標1.掌握方差和標準差，利用方差和標準差估計總體的離散程度.2.理解并掌握方差、標準差計算和應用3.理解掌握分層隨機抽樣的方差1知識回顧

平均數、中位數和眾數為我們提供了一組數據的集中趨勢的信息，這是概括一組數據的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策，下面的問題就是一個例子.眾數：最高矩形的中點中位數：中位數左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數：每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和

總體集中趨勢的估計2總體離散程度的估計引例

：有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數如下:

甲：78795491074乙：9578768677甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數、中位數、眾數都是7.從這個角度看，兩名運動員之間沒有差別.思考：兩名運動員射擊成績的平均數、中位數、眾數各為多少？問題1

如何評價？如何選擇？甲：44577789910乙：566777788910環(huán)數頻率456789（甲）10環(huán)數頻率456789（乙）結論2：甲的成績比較分散,乙的成績相對集中平均數、中位數、眾數都是7結論1：問題2：上述問題中，甲、乙的平均數、中位數、眾數相同，但二者的射擊成績存在差異，還有什么數字特征能度量甲和乙的差異？甲：78795491074乙：9578768677極差甲的成績波動范圍比乙的大甲的極差=10-4=6乙的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數據的離散程度.但由于極差只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少。也就是說，極差度量出的差異誤差較大.方差與標準差問題3：你還能想出其他刻畫數據離散程度的辦法嗎？成績很穩(wěn)定離平均成績不會太遠波動幅度很大離平均成績會比較遠通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.問題4：什么叫做平均成績的“平均距離”？假設一組數據是x1,x2,…,xn，

用

表示這組數據的平均數為

到

的距離

平均距離我們用每個數據與平均數的差的絕對值作為“距離”

想一想，為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用“總距離”行嗎？為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即方差有時為了計算方便，還把方差寫成：方差刻畫一組數據離散程度的統(tǒng)計量=知識梳理（1）方差、標準差的定義

一組數據是x1，x2，…，xn，用

表示這組數據的平均數，這組數據的方差為

s2=____________=____________，.思考：標準差的取值范圍是什么？標準差為0的一組數據有什么特點？由于方差的單位是原始數據的單位的平方，與原始數據不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方.這組數據的標準差為s=知識梳理（2）總體方差、總體標準差的定義

如果總體中所有個體的變量值分別為

Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標準差

．

加權形勢總體方差：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為知識梳理（3）樣本方差、樣本標準差的定義

如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標準差

．

（4）特征：標準差和方差刻畫了數據的______程度或波動幅度．標準差（或方差）越大，數據的離散程度越____，越不穩(wěn)定；標準差（或方差）越小，數據的離散程度越____，越穩(wěn)定．在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用_______.離散大小標準差有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數如下：

甲：78795491074

乙：9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？

甲甲乙成績穩(wěn)定的乙甲新知1：方差和標準差的意義甲：44577789910乙：5667777889例：甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，各從中抽取6件測量，數據為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數據的平均數及方差；(2)根據計算結果判斷哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．

新知1：方差和標準差計算新知2：分層隨機抽樣的方差和標準差

[練習]甲、乙兩只田徑隊的體檢結果為：甲隊的體重的平均數為60kg，方差為200，乙對體重的平均數為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1:4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是什么？新知3：樣本和總體的方差和標準差樣本標準差刻畫了樣本數據離平均數波動的幅度大小，平均數和標準差一起能反映數據取值的信息.

月均用水量/t0.077頻率/組距0.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.00700.020.080.10.060.044.21.27.210.213.216.219.222.225.228.22.5914.9921.19課堂小結方差和標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度：方差和標準差越大，數據的離散程度越大；方差和標準差越小，數據的離散程度越小.1.刻畫數據的離散程