第四章穩(wěn)定性分析拓展

第四章

穩(wěn)定性分析方法的拓展——李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性分析方法的拓展——李雅普諾夫方法2006-3-262北京科技大學(xué)自動化系穩(wěn)定性的傳統(tǒng)判別方法關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念李亞普諾夫第一方法李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二方法在線性系統(tǒng)分析與設(shè)計中的應(yīng)用本章小結(jié)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架第一方法第二方法穩(wěn)定性分析1892年俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫SISO的代數(shù)分析方法解析方法Routh判據(jù)Houwitz判據(jù)根據(jù)SISO閉環(huán)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)狀態(tài)方程A陣判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性2006-3-263北京科技大學(xué)自動化系一、穩(wěn)定性基本概念如果一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受

到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參

數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的特征，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。因此，可以說“若處于平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)在脈沖信號的作用下，系統(tǒng)的相應(yīng)最終能夠回到平衡狀態(tài)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定?！?006-3-264北京科技大學(xué)自動化系5.1穩(wěn)定性的傳統(tǒng)判別方法5.1關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念2006-3-265北京科技大學(xué)自動化系推論1：如果當(dāng)時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)趨于零，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。推論2：若系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點全部位于S左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。推論3：如果當(dāng)時間趨于無窮時，線性定常系統(tǒng)的階躍響應(yīng)函數(shù)趨于某一個常數(shù)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。二、SISO系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的穩(wěn)定問題實根情況：2006-3-266北京科技大學(xué)自動化系虛根情況：2006-3-267北京科技大學(xué)自動化系三、SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法：求脈沖響應(yīng)求階躍響應(yīng)求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根不簡單其它簡單的判定方法?工程分布區(qū)域S平面2006-3-268北京科技大學(xué)自動化系四、Routh穩(wěn)定判據(jù)(Routh’s

stability

criterion)將閉環(huán)特征方程的各項系數(shù)，按右面的格式排成

Routh表。121321321432175316420feedddS

2S

1S

0cccabbaaabaaaa

aS

n

S

n-1

S

n-2

S

n-300

1

2>0=0

as

+a+…

+ann

-1a

sn

+a

sn

-1

+a

sn

-2系統(tǒng)閉環(huán)特征方程112006-3-269北京科技大學(xué)自動化系11baba11aa32

--ba20aa13bc

==2211baba

a

-

baaacb

=

11

54

30

1

5系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的必要條件是特征方程的系數(shù)均大于零。如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。③如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，則符號的變化次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。勞斯穩(wěn)定判據(jù)這樣可求得

n+1行系數(shù)12006-3-2610北京科技大學(xué)自動化系1131211131211efb,

cb,

cbca,

ba,

ba表中b=

e1

d2

-d1

e2┇…=

b1

a7

-a1

b4=

b1

a5

-a1

b3=

b1

a3

-a1

b2=

a1

a6

-a0

a7=

a1

a4

-a0

a5=

a1

a2

-a0

a3…五、Routh判據(jù)的兩種特殊情況勞斯表某一行中的第一項元素等于0，而該行的其余各項不等于0或沒有其余項。解決的辦法以一個很小的正數(shù)

來代替為0的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列

上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。結(jié)論2006-3-2611北京科技大學(xué)自動化系勞斯表某一行元素全為0。這表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。利用系數(shù)全為0行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全0的行。從而完成勞斯表的排列。解決辦法關(guān)于原點對稱的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。③如果第一列上的元素沒有符號變化，則表示該方程中有共軛純虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。結(jié)論2006-3-2612北京科技大學(xué)自動化系六、Routh判據(jù)的推廣實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生一定變化時仍能保持穩(wěn)定。令s=s1-a，代入原系統(tǒng)地閉環(huán)特征方程中，得到以s1為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線s1=-a右側(cè)。此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中最靠近虛軸的距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。s2006-3-2613北京科技大學(xué)自動化系s1-a0Routh判據(jù)的推廣七、Routh判據(jù)的應(yīng)用例4.11

系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為S

3

+

41.5S

2

+

517S

+1670(1

+

K

)

=

0求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。000S

0S

3S

2S

141.5

·517

-1670(1

+

K

)41.51670(1

+

K

)1

51741.5

1670(1

+

K

)由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)1670(1+

K)

>

0必須全為正值：517-40.2(1+K)>0\

-1<K

<11.9解：列勞斯表2006-3-2614北京科技大學(xué)自動化系當(dāng)K=2時，Routh表的第三、五列元素全為0。系統(tǒng)將有對稱于原點的閉環(huán)特征根。2

求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根例4.2已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：S5

+

S4

+

KS3

+

2S2

+S+1=0試確定使系統(tǒng)有對稱于原點的閉環(huán)特征根的K值，并求出此時系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根。S5S4S3S2S1S01K1121K-2021-K-221S4

+

2S2

+1

=

0，進而得解：列勞斯表2006-3-2615北京科技大學(xué)自動化系4.3狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理4.1:

線性定常系統(tǒng)

y

=

cx

+

du

x

=

Ax

+

bu平衡狀態(tài)

漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負實部.xe

=

0證明：充分性，由其齊次解x(t)=eAt

x(t

)可知：若A的特征0值均具有負實部。

則當(dāng)

x0有界，

x(t)

→0(t→∞)。必要性可以用反證法來完成，請同學(xué)們自己完成證明。系統(tǒng)狀態(tài)

(內(nèi)部)穩(wěn)定條件系統(tǒng)輸出穩(wěn)定：如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的.則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定.定理5.2：線性定常系統(tǒng)

(

A,

b,

c)

輸出穩(wěn)定的充要條件是傳函G(S

)=c(SI

-A)-1

b

的極點全部位于s的左半平面.2006-3-2616北京科技大學(xué)自動化系設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為:

-1 0

1y

=

[1,

0]xx

=

0 1

x

+1

u?1W

(S

)=

C(SI

-

A)-1

b=

s

-1

=(s

+1)(s

-1)

s

+1故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定.這是因為具有正實部的特征值

l2

=

+1被系統(tǒng)的零點s=+1對消了，不穩(wěn)定部分被掩蓋。例4.3

試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性.解：1)有A的特征方程:det[lI

-A]=(l

+1)(l

-1)=0可知系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的.2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù):2006-3-2617北京科技大學(xué)自動化系說明:1)這種系統(tǒng)在實際應(yīng)用時是極不可靠的.若系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化,則零、極點就無法實現(xiàn)對消.這樣輸出就能表現(xiàn)出不穩(wěn)定特性.2)只有當(dāng)G(S不)

出現(xiàn)不穩(wěn)定的零、極點對消(可以有穩(wěn)定的零、極點對消)，

W(的S)穩(wěn)定性才與(A,b,c)

的穩(wěn)定性是一致的.2006-3-2618北京科技大學(xué)自動化系4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念李雅普諾夫第二方法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)及時變系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析的方法。李雅普諾夫給出了對任何系統(tǒng)都普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)初始條件外界信號的類型和大小非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性2006-3-2619北京科技大學(xué)自動化系4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念一、系統(tǒng)狀態(tài)的運動及平衡狀態(tài)狀態(tài)軌跡：設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為x

=

f

[

x

,

t

](4-1)x

=?

(t,

x0

,

t0

)2006-3-2620北京科技大學(xué)自動化系(4-2)式中：x—n維狀態(tài)矢量；f—與x同維的矢量函數(shù)；是xi和時間t的函數(shù)；一般f為時變的非線性函數(shù)，如果不含t，則為定常的非線性函數(shù).。設(shè)(4-1)在給定初始條件(t0

x0

)下,有唯一解：式(4-2)描述了系統(tǒng)(4-1)在n維狀態(tài)空間中從初始條件(t0

x0

)出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，簡稱為系統(tǒng)的運動和狀態(tài)軌線。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：若系統(tǒng)(4-1)存在狀態(tài)矢量xe，對所有t，使得：(4-3)f

(

xe

,

t

)

”

0成立，則稱

xe

為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。2006-3-2621北京科技大學(xué)自動化系說明:

1)對于任一個系統(tǒng),不一定都存在平衡狀態(tài).如果一個系統(tǒng)存在平衡狀態(tài),其平衡狀態(tài)也不一定是唯一的.當(dāng)平衡態(tài)的任意小鄰域內(nèi)存在系統(tǒng)的別的平衡態(tài)時， 稱此平衡態(tài)為孤立的平衡態(tài)。4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念對于線性定常系統(tǒng)

x

=

f

[

x

t]

=

Ax

，當(dāng)A為非奇異矩陣 時，Axe

”

0

的解

xe

=

0是系統(tǒng)唯一存在的平衡狀態(tài)， 當(dāng)A為非奇異時，則xe會有無窮多個。由于任意一個已知的平衡狀態(tài),都可以通過坐標變換將其 變換到坐標原點

xe

=

0

處。所以今后將只討論系統(tǒng)在坐標原點處的穩(wěn)定性就可以了。穩(wěn)定性問題都是相對于某個平衡狀態(tài)而言的。(這一點從線性定常系統(tǒng)中的描述中可以得到理解)如果一個系統(tǒng)有多個平衡點。由于每個平衡點處系統(tǒng)的穩(wěn) 定性可能是不同的。因此對有多個平衡點的系統(tǒng)來說，要 討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性必須逐個對各平衡點的穩(wěn)定性都要逐 個討論。2006-3-2622北京科技大學(xué)自動化系4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念二、穩(wěn)定性的幾個定義預(yù)先說明：若用

x

-

xe表示狀態(tài)變量x與平衡狀態(tài)xe

的距離，用點集s(e)

表示以xe

為中心，e為半徑的超球體，那么x

?

s(e)

則可表示成

x

-

xe

<

s(e)

。式中

x

-xe

為歐幾里德范數(shù)。當(dāng)

e很小時，則稱s(e)為

xe的鄰域.因此若有x0

?

s(d)

，則意味著

x0

-

xe￡

d

，同理，若方程式

x

=

f

(x,t)

的解?

(t;x0,t0

)

位于球域s(e)內(nèi)，便有:?

(t

;

x0

,

t0

)

-

xe2006-3-2623北京科技大學(xué)自動化系￡

e

t

?

t0李雅普諾夫根據(jù)

x

=

f

(x,t)

系統(tǒng)的自由響應(yīng)是否(沒有控制信號u的驅(qū)動)有界把系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為四種情況:4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念李氏穩(wěn)定：對于自治系統(tǒng)

x

=

f

(x,t)

,如果對任意實數(shù)e

>0

,都對應(yīng)存在實數(shù)d(e,t0

)>0

,使得滿足不等式x(t0

)

-

xe￡

d(e,

t0

)的任意初態(tài)

x(t0

)

=

x0

出發(fā)的解,￡e

成立。2006-3-2624北京科技大學(xué)自動化系x(t)

-

xex(t)

=F

(t,

x0

,t)

在

t

?

t0時均有當(dāng)d

的選擇不依賴于t0

時,稱系統(tǒng)在xe是一致穩(wěn)定的。說明:

1)這里實數(shù)d(e,t0

)與

e有關(guān)(類似于高數(shù)中極限、收斂的概念)。2)一般情況下d(e,t0

)與t0

也有關(guān)，當(dāng)與

t0

無關(guān)時，則稱為一致穩(wěn)定的。4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念內(nèi)。x0

-

xe求

￡

d(e,t0

)(或d(e))

。即初始狀態(tài)要在一定范圍之漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)xe

是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)d

的選擇不依賴于t0

時,稱系統(tǒng)在xe是一致漸近穩(wěn)定的。說明:1)漸近穩(wěn)定是個比穩(wěn)定更加苛刻的限制定義.如果一個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,那么它一定穩(wěn)定,反之不一定成立。2)不論是穩(wěn)定還是漸近穩(wěn)定,都有一個共同的限制條件,即要是穩(wěn)xe定的，而且當(dāng)t

無限增長時,對于任意使

x0

-

xe

,均有t

fi

￥2006-3-2625北京科技大學(xué)自動化系?

(t;

x0

,

t0

)

-

xe=

0

成立時,稱系統(tǒng)

x

=

f

(x,t)在￡d(e,t0

)

成立的x04.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念(即沒有而只有大范圍漸近穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的,而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性x0

-

xe￡

d

(e,t0

)(或d

(e))的限制)，?

(t;

x0

,

t0

)

-

xe

￡

e,

t0

￡

t

<+￥

且有?

(t;x0

,t0

)-xe

tfi

￥

fi

0

,則稱系統(tǒng)x

=f

(x,t)在xe

是大范圍漸近穩(wěn)定的。說明:

1)平衡狀態(tài)

xe是大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是:2006-3-2626北京科技大學(xué)自動化系的唯一的平衡點.xe

是

x

=

f

(x,

t)2)對于線性系統(tǒng)來說,如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則必然也是大范圍漸近穩(wěn)定的.但對非線性統(tǒng)來說則不一定.4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念軌線，至少有一個軌線越過，這個實數(shù)多么小,由

x0

-

xe￡

d(e,t0

)(或d(e))內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)x(t)

-

xe￡

d(e,t0

)(或d(e))不穩(wěn)定：如果對于某個實數(shù)e>0

和任一實數(shù)

d

>0

，不管

e則稱系統(tǒng)x

=f

(x,t)在xe

附近是不穩(wěn)定的。總而言之,球域

s(d)

限制著初始狀態(tài)

x0

的取值,規(guī)定了系統(tǒng)自身響應(yīng)

x(t)

=?

(t;

x0

,

t0

)

的邊界.x(t)

無界+

limt

fi

0x

(t

)

-

xe

=

0大范圍漸近穩(wěn)定穩(wěn)定x0

-xe￡d(e,t0)+x(t)

有界+x(t)有界+et

fi

0lim

x(t

)

-

x

=

0漸近穩(wěn)定0x0

-xe￡d(e,t)t

fi

0x

(t

)

-

xe

=

0一致漸近穩(wěn)定x0

-xe

￡d

+x(t)無界+lim2006-3-2627北京科技大學(xué)自動化系4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念δx0εεδx0δx0εεδx0幾何意義解釋2006-3-2628北京科技大學(xué)自動化系4.2關(guān)于穩(wěn)定性的基本概念4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2006-3-2629北京科技大學(xué)自動化系李雅普諾夫第二方法又稱直接法，它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運動方程，而是借助于一個李雅普諾夫函數(shù)來直接對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出判斷。李雅普諾夫定義了一個正定的標量函數(shù)V(x),作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)V(x)=dV

(x)/dt的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個V(x)叫做李雅普諾夫函數(shù)。李雅普諾夫第二方法的關(guān)鍵問題是尋找李氏函數(shù)V(x).平衡點平衡點穩(wěn)定漸進穩(wěn)定圖4.2能量函數(shù)表示穩(wěn)定的示意圖2006-3-2630北京科技大學(xué)自動化系4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)一：預(yù)備知識標量函數(shù)的符號性質(zhì)：2006-3-2631北京科技大學(xué)自動化系,且在x=0處設(shè)V(x)為由n維矢量x所定義的標量函數(shù)x

?

恒有V(x)=0,對所有域

中的任何非零矢量x，如果成立：1

21)

V(x)

>

0

,

則稱V(x)為正定的,例如：V

(x)

=

x

2

+

2x

22)

V(x)?0

,則稱V(x)為半正定的(或非負定的)，例如：1

2V

(x)

=

(x

+

x

)23)

V(x)<0

,則稱V(x)為負定的,例如：

2

21

2

1

2

0

-

1

x

0

x1

x

]-

1+

x

)

=

[xV

(

x

)

=

-(

x

24)

V(x)￡

0

,則稱V(x)為半負定的,例如：V(x)

=

-(x

+

x

)21

24.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)5)V(x)>0或V(x)<0,則稱V(x)為不定的，例如：V

(

x)

=

x1

+

x2例5.4：判別下列各函數(shù)的符號性質(zhì)1):設(shè)T1

2

3x

=[x

x x

]，標量函數(shù)為：V(x)|x=[a

-a

0]V(x)|x=0=0=0V

(

x)

=

(

x

+

x

)

2

+

x

21

2

3\V

(x)是半正定的2006-3-2632北京科技大學(xué)自動化系:V

(x)=x

+(x

+x

)2,V

(x)不定1

2

3:

V

(x)=x

2

+x

2

+x

2

，V(x)正定。1

2

34.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)二次型標量函數(shù)：二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性中起著重T1

2

3

n要的作用。定義：（二次型標量函數(shù)）設(shè)

x

=

x

x

x

x是一向量，矩陣P為實對稱矩陣1L

=T

-1PT

=

00

0l

n

l

0 0

0正交變換T則稱：

p11

p1n

pn1P

=

[2006-3-2633北京科技大學(xué)自動化系1Tn

p11p1n

x1

pnn

pij

=

p

jiV

(x)

=

x

Px

=

x

pn1

pnn

xn

x

]

為二次型標量函數(shù)。4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2nTi

il

xV

(x)

=

x

L

x

=于是，常稱為二次型函數(shù)的標準型。i=1定理5.4：V

(x)=xT

px

正定的充要條件是對稱矩陣P的所有特征值li

均大于零。簡證：令正交變換陣T,且=T-1

pT

=

T

=TT

p(T-1)T

\

TT

=T-1則V(x)

=

xTTT-1

pTT-1x

=(TT

x)T

(T-1x)

=(TT

x)T

(TT

x)令:Y

=T

T

x,則x

=(T

T

)T

Y

=TY2ni

iV

(x)

=YT

Y

=V

(Y)

=i=1l

y

>0,正定4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2006-3-2634北京科技大學(xué)自動化系二次型標量函數(shù)V(x)中P的性質(zhì)和說明：2006-3-2635北京科技大學(xué)自動化系若V(x)正定，則稱P為正定，若V(x)負定，則稱P為負定，記作P>0；記作P<0；若V(x)半正定，則稱P為半正定，記作P≥0；若V(x)半負定，則稱P為半負定，記作P≤0。由上可見，P的符號性質(zhì)與V(x)定義的符號性質(zhì)完全相同。4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)希爾維斯特判據(jù)法：設(shè)實對稱矩陣pnn

P

=

p

p

pn11n11jiijp

=

p二次型標量函數(shù)性質(zhì)的判別方法：定義法：見例5.4。例5.5

試判斷如下P陣對應(yīng)的二次型函數(shù)的正定性。1(1)

P

=

111

1半正定。

(2)

P=

2

1

1

正定。4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2006-3-2636北京科技大學(xué)自動化系則P（或V（x））為半負定的2006-3-2637北京科技大學(xué)自動化系則P（或V（x））為半正定的則P（或V（x））為負定的ii21

2222）：若Di

=

=

0(i

=

n)=

0(i

=

n)<0(i為奇數(shù))>0(i為偶數(shù))p

pD1

=

p11,

Dn4）：若D=￡

0(i=1，2，n

-1)3）：若D=?0(i

=1，2，n

-1)矩陣P（或V

(x)）定號性的充要條件是:1）：若Di

>

0(i

=1,2n),則P（或V（x））為正定的。p11

p12=

D

=

pDi

(i

=1,2n)為其各階主子行列式：在李雅普諾夫意義二：李雅普諾夫第二方法的穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x

=

f

(x)

,

平衡狀態(tài)滿足

f

(xe

)

=0

,如果存在一個標量函數(shù)V(x),它滿足：；V(x)是正定的，即當(dāng)x

=0,V(x)=0;x

?0,V(x)>0V(x)沿狀態(tài)軌道方向計算時間導(dǎo)數(shù)分別滿足下列條件：dV

(

x

)2006-3-2638北京科技大學(xué)自動化系dt?(1)V(x)對所有x都是有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)V

(x

)=1)

若V(x)為半負定，那么平衡狀態(tài)下穩(wěn)定——稱為李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)。2)若V

(x)為負定，或者雖然V(x)為半負定，但對xe滿足

x

?

0,

V

(

x

)

不恒為零，那么原點平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)如果進一步還有

x

fi

￥時，V

(x)

fi

￥，，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的——李雅普諾夫漸近穩(wěn)定判據(jù)。3)

若

V(x)

為正定，那么平衡狀態(tài)

xe

是不穩(wěn)定的——李雅普諾夫不穩(wěn)定判據(jù)。幾點說明：1)對于同一個系統(tǒng)(不論它是線性的，還是非線性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使V

(x)負定或半負定的V(x)（正定），則按照上述判據(jù)即知系統(tǒng)穩(wěn)定性情況。2006-3-2639北京科技大學(xué)自動化系4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)即使找不到使V(x)正定，V

(x)負定的V(x)，也不能說明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而只是沒有找到而已，當(dāng)然若找到了符合條件（3）的V(x)則可證明系統(tǒng)不穩(wěn)定，找不到符合上面1)、2）、3）的V(x)不能下結(jié)論。對于V(x)”0

，則V

(x)”const

，這意味著運動將在V

(x)”const

形成的曲面上運動而不會收斂于原點，這相當(dāng)于極限環(huán)或者臨界穩(wěn)定。4)若V

(x)非”0

，這時運動軌跡只在某一時刻與某特定曲面V

(x)”const

相切，運動軌跡通過切點后會繼續(xù)向原點收斂，因此此情況的屬于漸進穩(wěn)定。2006-3-2640北京科技大學(xué)自動化系4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)例：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：2006-3-2641北京科技大學(xué)自動化系

?-1

xx

=

-1

0 1

試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，(線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與

A有關(guān)，與控制和輸出無關(guān))。解：（1）求平衡狀態(tài)：x

=0得xe

=0（2）選取李雅普諾夫函數(shù)V(x),（多半線性狀態(tài)方程系統(tǒng)可選擇標準二次型的V(x)）]12212120x1

0

V

(x)

=

xTx

=

[x

x=

x+

x

>

0

1

x

2

4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)(3)求v(x)1

1

2

2

2v(

x

)

=

2

x

x

+

2

x

x

=

-2

x

2可見只要

x2

?

0

就有v(x)

<

0成立。下面需要討論當(dāng)x1

?0x2

=0時v(x)”0

成立否。若v(x)

”

0x2

(t

)

”

0x2

(t

)

”

0狀態(tài)方程x1

(t)

”

0

-x1(t)

-x2(t)

”0已知條件

x1

?

0矛盾可見

v(x)

”

0

不可能成立。

∴該系統(tǒng)是穩(wěn)定。(4)判斷大范圍漸進穩(wěn)定性

x

fi

￥v(x)

=

xT

px

=

x

fi

￥大范圍漸進穩(wěn)定性4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2006-3-2642北京科技大學(xué)自動化系另選一個李氏函數(shù)(

)2006-3-2643北京科技大學(xué)自動化系22

21

2

11v(

x)

=x

+

x

+

2

x+

x2

2

221

21

1222x

=

x

-

x

(x+

x

)x

=

x

-

x

(x

+

x

)

2

2

2

1

2

，請同學(xué)們用此李氏再判斷這道例題的穩(wěn)定性問題。例3：已知非線性狀態(tài)方程：試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：①求平衡狀態(tài)xe222

1

1222x

-x

(x+

x

)

=0,

x1

=0,

x2

=0由

x

=

0

得

x

-x

(x

+

x

)

=0

2

2

1

2是唯一解4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)②取

v(x)

=

x2

+

x2

>

01

21

1

2

2

1

2③求

v(x)

=

2x

x

+2x

x

=

-2(x2

+

x2

)2

<0

，因此該關(guān)系是漸進穩(wěn)定的。當(dāng)

x

fi

￥v(x)

=

xT

px

=

x

fi

￥∴是大范圍漸進穩(wěn)定的。例4：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為2

1

2

12006-3-2644北京科技大學(xué)自動化系x1

=

x2

x

=

-(1-

x

)x

-

x試判定其穩(wěn)定性。解：①求平衡點

xe

=0②取

v(x)

=

x2

+

x21

24.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)=

-2x2

(1-

x

)2

1③求

v(x)

=

2x

x

+

2x

x1

1

2

2④穩(wěn)定性分析x1

=

1x1

<

1x1

>

1v(

x)

=

0v(

x)

<

0v(

x)

>

02006-3-2645北京科技大學(xué)自動化系幾點說明：李氏穩(wěn)定判定方法的關(guān)鍵是找v(x)，但并沒有提供找v(x)的方法；對于一個給定系統(tǒng)v(x)的選取一般不是唯一的，但并不影響結(jié)論的一致性；4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)3）如果v(x)為標準二次型2nixv(x)

=5）由于構(gòu)造v(x)較難，因此實際上李氏判據(jù)主要用于其他方法無法判定的情況。我們則主要掌握對線性系統(tǒng)的判定。的情況來延伸。4）v(x)函數(shù)只提供了系統(tǒng)在xe

附近的穩(wěn)定情況，域外情況由

x

fi

0,v(x)

fi

￥i=1則v(x)=ck

=const,ck

<ck

<,k

=1,2,在幾何上表示狀態(tài)空間中以原點為中心，以ck為半徑的超球面。v(x)表征了系統(tǒng)相對原點運動的速度。v(x)

<

0收斂于原點v(

x

)

>

0發(fā)散4.3

李雅普諾夫第二方法(通用方法)2006-3-2646北京科技大學(xué)自動化系三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性判據(jù)定理：設(shè)線性定常系統(tǒng)為

(

A、B、C)

則平衡狀態(tài)

xe

=0為大范圍漸進穩(wěn)定的主要條件是：對任意給定的正定實對稱矩陣Q，必定存在正定的實對稱矩陣P,滿足李雅普諾夫方程。AT

P+PA

=-Q2006-3-2647北京科技大學(xué)自動化系并且:V

(

X

)