二重積分的計算(習(xí)題課)

二重積分的計算2021/5/91

二重積分的計算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：①作出積分區(qū)域的草圖②選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系③選定積分次序，定出積分限1.關(guān)于坐標(biāo)系的選擇

這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點兩個方面來考慮一、主要內(nèi)容2021/5/92被積函數(shù)呈常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜2.關(guān)于積分次序的選擇選序原則①能積分，②少分片，③計算簡3.關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元為正確定積分限時一定要保證下限小于上限積分區(qū)域為圓形、扇形、圓環(huán)形2021/5/93看圖定限—穿越法定限和不等式定限先選序，后定限①直角坐標(biāo)系ⅰ.先

y

后

x

，過任一x∈[a

,b

],作平行于

y

軸的直線穿過D的內(nèi)部從D的下邊界曲線穿入—內(nèi)層積分的下限從上邊界曲線穿出—內(nèi)層積分的上限ⅱ.先x

后

y過任一

y∈[c,d]作平行于x

軸的直線定限2021/5/94左邊界——內(nèi)層積分的下限右邊界——內(nèi)層積分的上限則將D分成若干個簡單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限分片計算，結(jié)果相加②極坐標(biāo)系積分次序一般是過極點O作任一極角為的射線從D的邊界曲線穿入,從穿出.ⅲ.如D須分片2021/5/95——內(nèi)下限—內(nèi)上限具體可分為三種情況⑵極點在D的邊界上

是邊界在極點處的切線的極角絕大多數(shù)情況下為0⑶極點在D的內(nèi)部化累次積分后外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘r⑴極點在D的外部2021/5/964.關(guān)于對稱性

利用對稱性來簡化重積分的計算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡化定積分的計算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，不可誤用對①若D關(guān)于x

軸對稱2021/5/97②若D關(guān)于

y

軸對稱③若D關(guān)于原點對稱2021/5/98

奇函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)于對稱域的積分等于對稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì).對于變量x,y來說，可以簡述為

“你對稱，我奇偶”①、②、③簡單地說就是：2021/5/991.

設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對稱，D1

是D

中對應(yīng)于

y

≥0的部分。對稱性的證明則2021/5/910證（1）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對稱性于是2021/5/911（2）積分區(qū)域如圖：由積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對稱性于是2021/5/912二、例題分析例.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則2021/5/913解原式2021/5/914例計算解DY—型I=

若先

y

后x

由于D的下邊界曲線在x

的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，須分片積分，計算較麻煩。21212021/5/915解2021/5/916例計算解根據(jù)積分區(qū)域的特點14-12應(yīng)先對x

后對

y

積分但由于對x

的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。2021/5/917先

x

后

y

有奇函數(shù)2021/5/918解2021/5/919例計算解積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號所得的曲線是兩個半圓但它們圍不成區(qū)域都有意義必須限制因此D只能在x=0

，x=2之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點，化成極坐標(biāo)計算較為簡單2021/5/920顯然r

呢？極點在D的邊界上，所以

那就錯了不能以為極點O在區(qū)域的邊界上就誤以為對

r

積分的下限為0定r

的積分限，應(yīng)先固定以原點為起點作射線這射線和兩個半圓相交穿入;從從穿出.積分限如何確定2021/5/921盡管極點在D的邊界上但極角為的射線并不是從極點穿入而不是域D的極坐標(biāo)表示為2021/5/922解例計算D1D22021/5/923三、對稱性的應(yīng)用例舉2021/5/924例.(1)解D

區(qū)域關(guān)于x

軸對稱，且而2021/5/925而因此，2021/5/926解：能否用對稱性？2021/5/927（4）計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,2021/5/928(5)計算D2D1解2021/5/929解D關(guān)于