2023年河北省唐山市開灤重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）-普通用卷

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年河北省唐山市開灤重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={x|4x2?x?5≤0}，B={x|y=2x?1A.[12,54] B.[2.已知復(fù)數(shù)z1與z=4?2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則z11?iA.?1?3i B.?1+3i C.1?3i D.1+3i3.某市為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度．為了確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：噸)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．估計(jì)該市居民月均用水量的中位數(shù)為(

)A.8.25 B.8.45 C.8.65 D.8.854.已知數(shù)列{ann}為等比數(shù)列，且a4=2，A.30 B.±30 C.40 D.±405.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面積為A.x29+4y227=1 6.某公司人事部安排小張、小胡等6名工作人員去4個(gè)不同的崗位工作，其中每個(gè)崗位至少一人，每個(gè)人只去一個(gè)崗位工作，且小張、小胡這2人必須在一起，則不同的安排方法有(

)A.240種 B.320種 C.156種 D.180種7.已知函數(shù)f(x)=x2?1,x>a|x?a?1|,x≤a，若f(x)的最小值為1，則aA.[22,+∞) B.[28.設(shè)a=114，b=34sin121，c=e121A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知b<a<0，則下列不等式正確的是(

)A.b2>ab B.a+1b<b+110.下列命題正確的是(

)A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.86，則P(0≤X≤2)=0.36

B.已知隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，則p=23

C.已知P(BA)=0.46，P(B)=0.73，則P(BA?)=0.27

D.某人在11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為正方形AA.存在點(diǎn)P，使得PA1=PB

B.三棱錐A1?BDP的體積為定值

C.△PA1B的面積的最小值為3

12.已知雙曲線C：x2a2?y24=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作直線y=2ax的垂線，垂足為P，OA.C的離心率為213 B.C的離心率為133

C.△OPQ的面積為2三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知向量a=(2,1)，b=(λ,?2)，(2a?b)⊥a14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(a,b)在直線ax+by+6a+8=0上，則當(dāng)a，b變化時(shí)，直線OP的斜率的取值范圍是______．15.已知函數(shù)f(x)=12sin(2x+π3)的圖像在(x116.在三棱錐A?BCD中，△ABD和△BCD都是等邊三角形，BD=6，平面ABD⊥平面BCD，M是棱AC上一點(diǎn)，且AM=2MC，則過M的平面截三棱錐A?BCD外接球所得截面面積的最大值與最小值之和為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8=3S5?11，a2n=2an+1(n∈N?)18.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=2，c=4．

(1)若D是邊BC的中點(diǎn)，且AD=6，求cosB的值；

(2)若C?B=π3，求19.(本小題12.0分)

長(zhǎng)距離跑簡(jiǎn)稱長(zhǎng)跑，英文是long?distancerunning.最初項(xiàng)目為4英里、6英里跑，從19世紀(jì)中葉開始，逐漸被5000m跑和10000m跑替代.長(zhǎng)跑對(duì)于培養(yǎng)人們克服困難，磨煉刻苦耐勞的頑強(qiáng)意志具有良好的作用，特別是對(duì)那些冬季怕冷愛睡懶覺不想鍛煉的人起到促進(jìn)作用，從而使他們嘗到健身長(zhǎng)跑鍛煉的好處，某校開展陽(yáng)光體育“冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”，為了解學(xué)生對(duì)“冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否感興趣與性別是否有關(guān)，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取該校100名高中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)制成如表；感興趣不感興趣合計(jì)男生_____8_____女生32__________合計(jì)80_____100(1)完成上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)“冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)若不感興趣的男生中恰有3名是高三學(xué)生，現(xiàn)從不感興趣的男生中隨機(jī)選出3名進(jìn)行二次調(diào)查，記選出高三學(xué)生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考公式χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.7022.7063.8415.0246.6357.879

10.82820.(本小題12.0分)

如圖1，在梯形ABCD中，AB/?/CD，AD⊥DC，AB=2，DC=3，AD=3，E是CD上的一點(diǎn)，CE=2ED，將△CBE沿BE折起，使得點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且AC1=6，P是DC1上的一點(diǎn)，且DC1=3DP，如圖2．

(1)21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P(4,4)是C上的一點(diǎn)．

(1)若直線PF交C于另外一點(diǎn)A，求|AP|；

(2)若圓E：(x?2)2+y2=r2(0<r<2)，過P作圓E22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=ex?1?ax(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=f(x)?lnx+a，證明：g(x)的極小值不大于1答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由A={x|(4x?5)(x+1)≤0}={x|?1≤x≤54}，B={x|x≥12}，

所以A?B=[12,54]．

2.【答案】D

【解析】解：由z=4?2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4,?2)，則z1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4,2)，

故z1=4+2i，

所以z11?i=2(2+i)1?i=2(2+i)(1+i)2=1+3i3.【答案】B

【解析】解：由頻率分布直方圖，可知月均用水量在5.2噸以下的居民用戶頻率為4×0.06=0.24，

月均用水量在9.2噸以下的居民用戶的頻率為4×(0.06+0.08)=0.56>0.5，

故中位數(shù)落在區(qū)間(5.2,9.2)內(nèi)．

設(shè)中位數(shù)為x，則0.24+(x?5.2)×0.08=0.5，

即x=5.2+0.5?0.240.08=8.45．

故估計(jì)該市居民月均用水量的中位數(shù)為8.45．

故選：B．

由題意分析可知中位數(shù)落在區(qū)間(5.2,9.2)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，再由中位數(shù)兩側(cè)的頻率相等列式求解x值，則答案可求．4.【答案】C

【解析】解：令bn=ann，

設(shè)數(shù)列{ann}的公比為q，

因?yàn)閍4=2，a8=16，

所以b4=a44=12，b8=a88=2，

又b8=b4q5.【答案】B

【解析】解：由題意知：ab=183且ba=32，

則a2=36，b2=27．

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x236+6.【答案】A

【解析】解：將6人分組有兩種情況：{3,1,1,1}、{2,2,1,1}形式，

當(dāng)各組人數(shù)按{3,1,1,1}分組：

小張、小胡必在3人組，從其余4人選1人與小張、小胡捆綁，有C41=4種，

此4組人任意安排到4個(gè)崗位，有A44=24種方法，故共有4×24=96種；

當(dāng)各組人數(shù)按{2,2,1,1}分組：

小張、小胡必在其中一個(gè)2人組，從其余4人選2人為另一2人組，有C42=6種

此4組人任意安排到4個(gè)崗位，有A44=24種方法，故共有6×24=144種；

綜上，不同的安排方法有96+144=240種．

7.【答案】B

【解析】解：由x≤a，則x?a?1≤?1，僅當(dāng)x=a時(shí)等號(hào)成立，

所以|x?a?1|=a+1?x≥1，在(?∞,a]上遞減，且最小值為1，

對(duì)于y=x2?1在(a,+∞)上，當(dāng)a<0時(shí)ymin=?1；當(dāng)a≥0時(shí)y>a2?1，無最小值；

顯然，a<0時(shí)f(x)的最小值不為1，不合題意；

所以a≥0，此時(shí)必有a2?1≥1，可得a≥28.【答案】C

【解析】解：由c=e121?1=e23×114?1，則a?c=114?e23×114+1，

令f(x)=x?e23x+1且x∈(0,12)，則f′(x)=1?23e23x為減函數(shù)，

所以1?23e13<f′(x)<13，而e13<(278)13=32，故0<1?23e13<f′(x)<13，

故f(x)在(0,12)上遞增，則9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，b2?ab=b(b?a)>0，則b2>ab，故A正確；

對(duì)于B，a+1b?(b+1a)=(a?b)+a?bab=(a?b)(1+1ab)>0，而a?b>0,1+1ab>0，

所以a+1b?(b+1a)>0，即a+1b>b+1a，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，ba+ab≥2ba?ab=2且b10.【答案】ACD

【解析】解：A：由對(duì)稱性知：P(0≤X≤2)=P(X≤4)?12=0.36，對(duì)；

B：E(X)=np=30D(X)=np(1?p)=20，則p=13，錯(cuò)；

C：由P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A?)P(A?)=P(BA)+P(BA?)=0.73，則P(BA?)=0.27，對(duì)；

D：由P(X)=C10n0．8n(1?0.8)10?n=C11.【答案】ABC

【解析】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

選項(xiàng)A：D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，O(1,1,2)，

若存在P點(diǎn)，因P為線段CO上，可設(shè)CP=λCO=λ(1,?1,2)=(λ,?λ,2λ)，λ∈[0,1]，

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(λ,2?λ,2λ)，

若PA1=PB，則(λ?2)2+(2?λ)2+(2λ?2)2=(λ?2)2+(?λ)2+(2λ)2，

得λ=23，故存在P點(diǎn)，A正確；

選項(xiàng)B：取BD的中點(diǎn)O1，則O1(1,1,0)，

A1O1=(?1,1,?2)，OC=(?1,1,?2)，所以A1O1=OC，

故A?1O1//OC，又A1O1?平面BA1D，OC?平面BA1D，

所以O(shè)C/?/平面BA1D，

因P為線段CO上，故P到平面BA1D的距離不變，

故三棱錐A1?BDP的體積為定值，B正確；

選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A知BP=(λ?2,?λ,2λ)，BA1=(0,?2,2)，

P到A1B的距離為：d=|BP|2?|BP?BA1|BA1||2=(λ?2)2+(?λ)2+(2λ)2?|6λ8|2=32λ2?4λ+4，

△PA1B的面積的最小時(shí)，d取最小值，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)λ=1時(shí)，d12.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)殡p曲線C：x2a2?y24=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，

且過F2作直線y=2ax的垂線，垂足為P，

又O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠F1PO=π6，過P作C的切線交直線y=?2ax于點(diǎn)Q，

則直線y=2ax和直線y=?2ax，是雙曲線C：x2a2?y24=1(a>0)的兩條漸近線，

設(shè)∠POF2=α，則有tanα=2a，

又F2P垂直于漸近線y=2ax，漸近線方程為2x?ay=0，F(xiàn)2(c,0)，c=a2+22，

∴|PF2|=|2c|a2+22=2，而tanα=|PF2||OP|=2a，∴|OP|=a，

∴sinα=2c,cosα=ac，

在△OF1P中，∠F1PO=π6，由正弦定理：asin(α?π6)=csinπ6，

∴a2c?32?ac?12=2c，

∴a=23?a，∴a=3，c=a2+b2=7

∴e=c13.【答案】2【解析】解：由2a?b=(4?λ,4)，又(2a?b)⊥a，

所以(2a?b)?a=2(4?λ)+4=0，可得λ=6．

所以14.【答案】[?【解析】解：由題設(shè)a2+b2+6a+8=(a+3)2+b2?1=0，則(a+3)2+b2=1，

所以P在以A(?3,0)為圓心，1為半徑的圓上，

如圖，

當(dāng)OP與圓相切時(shí)，直線OP的斜率出現(xiàn)最值(最大、最小)，

當(dāng)與圓上方相切，則sin∠AOP=|AP||AO|=13，故tan∠AOP=24，此時(shí)OP斜率為?15.【答案】π2【解析】解：因?yàn)閒(x)=12sin(2x+π3)，

所以f′(x)=12cos(2x+π3)×2=cos(2x+π3)，

依題意可得f′(x1)?f′(x2)=?1，

所以cos(2x1+π3)?cos(2x2+π3)=?1，

所以cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=?1，

或cos(2x1+π3)=?1且cos(2x2+π3)=1，

當(dāng)cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=?1時(shí)，2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π316.【答案】27π

【解析】解：由題設(shè)，若G為BD中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是等邊△ABD和等邊△BCD的中心，

連接AG，CG，則E，F(xiàn)分別在AG，CG上，且EG=FG=13AG=13CG=3，

AG⊥BD，CG⊥BD，AG?CG=G，AG，CG?面AGC，故BD⊥面AGC，

又BD?面ABD，所以，面ABD⊥面AGC，

又面ABD⊥面BCD，過E作面ABD的垂線與過F作面BCD的垂線交于O，

即OE⊥面ABD，OF⊥面BCD，則O為A?BCD外接球球心，

OE⊥面ABD，且E∈AG，O?AG，則OE?面AOG，所以面AOG⊥面ABD，

綜上，結(jié)合面ABD∩面AGC=AG，面ABD∩面AOG=AG，則面AOG、面AGC為同一平面，所以O(shè)∈面AGC，

由面ABD⊥面BCD，AG⊥BD，AG?面ABD，面ABD∩面BCD=BD，

所以AG⊥面BCD，CG?面BCD，即AG⊥CG，且EG=FG知：OEGF為正方形，

如上圖，AE=23AG=23，OE=FG=3，若A?BCD外接球半徑為R，

所以R2=AE2+OE2=15，

由球體的性質(zhì)，要使過M平面截三棱錐A?BCD外接球所得截面面積的最大，則平面必過球心，

所以，最大截面圓面積為S=πR2=15π，

要使過M平面截三棱錐A?BCD外接球所得截面面積的最小，則OM⊥該平面，

因?yàn)锳M=2MC，而E，M都在面AGC上，故AEAG=AMAC=EMGC=23，

而GC=33，故EM=23，顯然E，O，M共線，故OM=EM?OE=17.【答案】解：(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差設(shè)為d，

由S8=3S5?11，可得8a1+28d=3(5a1+10d)?11，

即為7a1+2d=11，①

又a2n=2an+1(n∈N?)，可得a1+(2n?1)d=2[a1+(n?1)d]+1，

化為a1?d=?1，②

由①②解得a【解析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求；

(2)由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：(1)因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π，

所以∠ADB=π?∠ADC，

所以cos∠ADB=cos(π?∠ADC)=?cos∠ADC，

所以cos∠ADB+cos∠ADC=0，

在△ABD中，cos∠ADB=AD2+BD2?AB22?AD?BD，

在△ACD中，cos∠ADC=AD2+CD2?AC22?AD?CD，

所以AD2+BD2?AB22?AD?BD+AD2+CD2?AC22?AD?CD=0，

因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn)，

所以BD=CD，代入上式整理得：

2AD2+2BD2?AB2?AC2=0，

因?yàn)锳C=b=2,AB=c=4,AD=6，

所以2(6)2+2BD2?42?22=0，

解得：BD=2或BD=?2(舍去)，

所以a=BC=2BD=4，

在△ABC中，由余弦定理的推論得：【解析】(1)根據(jù)三角形的余弦定理結(jié)合已知條件即可；

(2)利用三角形的正弦定理以及兩角和的正弦公式和三角形面積公式即可．

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．

19.【答案】解：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：感興趣不感興趣合計(jì)男生48856女生321244合計(jì)8020100零假設(shè)H0：學(xué)生對(duì)“冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否感興趣與性別無關(guān)，

χ2=100×(48×12?8×32)256×44×80×20≈2.597<2.706=x0.1，

∴依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，H0成立，即不能認(rèn)為學(xué)生對(duì)“冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)．

(2)由題意知：X所有可能的取值為0，1，2，3，

∵P(X=0)=C53X0123P515151數(shù)學(xué)期望E(X)=0×528【解析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得到χ2≈2.597<2.706=x0.1，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可得結(jié)論；

(2)根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算得到X20.【答案】解：(1)在圖1中，

由已知得DE=1,DA=3，則AE=2，

∵CE//BA，且CE=BA=AE，∴四邊形ABCE為菱形，

連接AC交BE于點(diǎn)F，∴CF⊥BE，AF⊥BE，

在Rt△ACD中，AC=32+(3)2=23，∴AF=CF=3，

在圖2中，AC1=6,C1F=3，∵AF2+C1F2=AC12，∴C1F⊥AF，

又C1F⊥BE，且AF∩BE=F，AF，BE?平面ABED，∴C1F⊥平面ABED，

S△BC1E=12BE?C1F=12×2×3=3,S△BDE=12DE?DA=12×1×3=32，

設(shè)點(diǎn)D到平面BC1E的距離為?，

由VD?BC1【解析】(1)在圖1中，由已知得四邊形ABCE為菱形，連接AC交BE于點(diǎn)F，得CF⊥BE，在圖2中，求解三角形證明C1F⊥AF，再由線面垂直的判定可得C1F⊥平面ABED，設(shè)點(diǎn)D到平面BC1E的距離為?，利用等體積法，由VD?BC1