中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題精講專題3：二次函數(shù)與等腰直角三角形 (含答案詳解)

二次函數(shù)與等腰直角三角形1.如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】

分析：（1）利用對(duì)稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

由對(duì)稱性得：D（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式為：y=x，

過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，

∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，

=×3×3+PG?AE，

=+×3×（-m2+5m-3），

=-m2+m，

=（m-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；

（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m2-4m+3），

則-m2+4m-3=2-m，

解得：m=或，

∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM，

則-m2+4m-3=m-2，

解得：x=或；

P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．

點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．2.定義：函數(shù)的伴隨函數(shù)是．如：函數(shù)的伴隨函數(shù)是．

（1）函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，

，求它的伴隨函數(shù)；

（2）函數(shù)的圖像與它的伴隨函數(shù)圖像交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與伴隨函數(shù)的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，它的伴隨函數(shù)圖像交軸于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），伴隨函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-l，0)．設(shè)的面積為S．

①函數(shù)與它的伴隨函數(shù)圖像交于點(diǎn)(________，________)，(________，________)（用含b的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)伴隨函數(shù)的對(duì)稱軸在直線右側(cè)時(shí)，求S與b之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）函數(shù)圖像與它的伴隨函數(shù)圖像交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)A關(guān)千它的伴隨函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出c的值．【答案】（1）；（2）①；；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）1，－1，【解析】

【分析】

（1）將點(diǎn)，代入，解得b、c的值，再代入伴隨函數(shù)即可；

（2）①圖象交點(diǎn)即是解析式方程的公共解，聯(lián)立兩個(gè)解析式，轉(zhuǎn)化成解一元二次方程，即可解出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將代入伴隨函數(shù)，可得c與b的關(guān)系式，從而解得交點(diǎn)坐標(biāo)；②由①中c、b的關(guān)系式解得函數(shù)與其伴隨函數(shù)，分別求出點(diǎn)C、D、P的坐標(biāo)，分三種情況討論：或，根據(jù)三角形面積公式解題；

（3）分兩種情況討論：當(dāng)b>0時(shí)與當(dāng)b<0時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性解得坐標(biāo)，進(jìn)而再討論當(dāng)或時(shí)，由直線AQ的斜率解題即可．

【詳解】

解：（1）把（3，0），（0，－3）代入中，

得

解得

∴伴隨函數(shù)是.

（2）①解得或，伴隨函數(shù)經(jīng)過，，函數(shù)與它的伴隨函數(shù)圖象相交于點(diǎn)

，

故答案為：，；

②由①知，伴隨函數(shù)經(jīng)過，，函數(shù)的伴隨函數(shù)是

令y=0，得

函數(shù)當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

（3）分兩種情況討論：

當(dāng)b>0時(shí)，，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，，等腰直角三角形中；

②當(dāng)時(shí)，，，，；

當(dāng)b<0時(shí)，，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，，等腰直角三角形中；

②當(dāng)時(shí)，，，，；

綜上所述，c=1，－1，.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合，其中涉及二次函數(shù)與ｘ軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式、一元二次方程、等腰直角三角形、三角形面積、分類討論法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較難，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3.如圖，已知直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，垂足為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．若四邊形為正方形時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若是以點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）四邊形為正方形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為和；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或－1或或.【解析】

【分析】

（1）先由二次函數(shù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出一次函數(shù)解析式，再求出B點(diǎn)坐標(biāo)，最后把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式解方程即可；

（2）四邊形為正方形時(shí)，，軸，且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，解方程即可；

（3）由是以點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即軸，可得P、Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)，用分別表示Q、F坐標(biāo)即可，最后根據(jù)PQ=PF列方程計(jì)算即可解題.

【詳解】

（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

代入可得，則直線的解析式為.

直線經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)

將點(diǎn)、代入拋物線

解得，

∴拋物線的解析式為.

（2）拋物線的對(duì)稱軸為.

∵四邊形為正方形，∴，軸.

∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.

設(shè)點(diǎn)，則，.

∴，解得：或（舍去）或或（舍去）

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，

∴四邊形為正方形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為和

（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或－1或或.

∵是以點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰直角三角形

∴∠QPF=∠PEB=90°

∴軸

∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.

設(shè)點(diǎn)，則，

∴.

∵，

∴，

解得：或或或

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或－1或或.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，熟記一次函數(shù)、正方形、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度一般，但是計(jì)算量比較大，需要注意.4.將拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線．

（1）直接寫出拋物線，的解析式；

（2）如圖（1），點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖（2），直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2-4x-2；拋物線的解析式為：y=x2-6；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）；（3）直線經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）【解析】

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象上下平移：函數(shù)值上加下減；左右平移：自變量左加右減寫出函數(shù)解析式并化簡(jiǎn)即可；

（2）先判斷出點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，從而證出是等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代數(shù)式表示出來，利用DC=AC列方程求解即可，注意有兩種情況；

（3）根據(jù)直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，從而判斷直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線，

∴拋物線的解析式為：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，

拋物線的解析式為：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．

（2）如下圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接AD，

∵是等腰直角三角形，

∴∠BOA=45°，

又∵∠BDO=∠BAO=90°，

∴點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，

∴∠BDA=∠BOA=45°，

∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，

∴是等腰直角三角形，

∴DC=AC．

∵點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2），

∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，

∴x-2=x2-4x-2，

解得：x=5或x=0（舍去），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，3）；

同理，當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)A在x軸的下方時(shí)，

x-2=-(x2-4x-2)，

x=4或x=-1（舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-2），

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）．

（3）∵直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，

∴，

∴x2-kx-6=0，

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為xE，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為xF，

∴xE+xF=k，

∴中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM==，

中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=kx=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；

同理可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），

設(shè)直線MN的解析式為y=ax+b（a≠0），

將M（，）、N（，）代入得：，

解得：，

∴直線MN的解析式為y=·x+2（），

不論k取何值時(shí)（），當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴直線經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)D象平移的規(guī)律、判斷點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓的方法、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟是解題的關(guān)鍵．5.如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）經(jīng)過點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，若．

①求直線的解析式；

②已知點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸l上，且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且在l右側(cè)．點(diǎn)R是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）【解析】

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），求出直線AC的表達(dá)式，和BD聯(lián)立，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，證明△BDO∽△BEG，得到，根據(jù)比例關(guān)系求出k值即可；

②根據(jù)題意分點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)兩種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，代入，

∴，解得：，

∴拋物線表達(dá)式為：；

（2）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，

∵B（4，0），

設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），

設(shè)AC表達(dá)式為：y=mx+n，將A和C代入，

得：，解得：，

∴直線AC的表達(dá)式為：y=2x+4，

聯(lián)立：，

解得：，

∴E（，），

∴G（，0），

∴BG=，

∵EG⊥x軸，

∴△BDO∽△BEG，

∴,

∵，

∴，

∴，

解得：k=，

∴直線BD的表達(dá)式為：；

②由題意：設(shè)P（s，），1＜s＜4，

∵△PQR是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠PQR=90°，PQ=RQ，

當(dāng)點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，如圖，

分別過點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，

∵∠PQR=90°，

∴∠PQM+∠RQN=90°，

∵∠MPQ+∠PQM=90°，

∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，

∴△PMQ≌△QNR，

∴MQ=NR，PM=QN，

∵Q在拋物線對(duì)稱軸l上，縱坐標(biāo)為1，

∴Q（1，1），

∴QN=PM=1，MQ=RN，

則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線得：y=4，

∴P（2，4）；

當(dāng)點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)，

如圖，分別過點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，

同理：△PMQ≌△QNR，

∴NR=QM，NQ=PM，

設(shè)R（t，），

∴RN==QM，

NQ=1-t=PM，

∴P（，2-t），代入拋物線，

解得：t=或（舍），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（，）.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)，難度較大，解題時(shí)要理解題意，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形.6.已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，B（﹣3，0），C（1，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積最大？

（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3

（2）（﹣，）

（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【解析】

【分析】

（1）用待定系數(shù)法求解；（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)F，直線AB解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則F（t，t+3），則PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根據(jù)S△PAB＝S△PAF+S△PBF寫出解析式，再求函數(shù)最大值；（3）設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，得yE＝y(tǒng)P，即點(diǎn)E、P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情況討論：①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時(shí)，PE＝﹣2﹣2t；②當(dāng)﹣1＜t＜0時(shí)，PE＝2+2t

【詳解】

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)B（﹣3，0），C（1，0）

∴