第六章控制系統(tǒng)綜合校正現(xiàn)代方法

第六章控制系統(tǒng)綜合校正的現(xiàn)代方法——狀態(tài)反饋校正2021/6/121北科大信息工程學院自動化系①

狀態(tài)反饋與輸出反饋；②

SISO線性定常系統(tǒng)的極點配置；③

系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；④

狀態(tài)觀測器；⑤

基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。⑥

控制系統(tǒng)的解耦方法1、輸出反饋AH∫BCxyuv2021/6/122北科大信息工程學院自動化系

y

=

CxH

S

:S:

y

=

Cxx

=

(

A

-

BHC)x

+

Bvx

=

Ax

+

Bu狀態(tài)空間表達式：比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)兩者的狀態(tài)維數(shù)相同；系統(tǒng)矩陣由A變?yōu)锳-BHC。輸出反饋：G

(s)

=

(I

+

G(s)H

)-1

G(s)HG

(s)

=

C(sI

-

A

+

BHC)-1

BH=

C(sI

-

A)-1

(sI

-

A

+

BHC

-

BHC)(sI

-

A

+

BHC)-1

B=

C(sI

-

A)-1

(B

-

BHC(sI

-

A

+

BHC)-1

B)=

G(s)

-

G(s)HGH

(s)6.1狀態(tài)反饋與輸出反饋

y

=

CxK

S

:S

:

y

=

Cxx

=

(

A

-

BK

)x

+

Bvx

=

Ax

+

Bu狀態(tài)空間表達式：比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)兩者的狀態(tài)維數(shù)相同；系統(tǒng)矩陣由A變?yōu)锳-BK。2、狀態(tài)反饋∫BCxyuAvK-2021/6/123北科大信息工程學院自動化系K-1GK

(s)

=

C(sI

-

A

+

BK

)

B=

C(sI

-

A)-1

(sI

-

A

+

BK

-

BK

)(sI

-

A

+

BK

)-1

B=

G(s)(I

-

K

(sI

-

A

+

BK

)-1

B)狀態(tài)反饋：G

(s)

=

G(s)(I

-

K

(sI

-

A

+

BK

)-1

B)3、狀態(tài)反饋與輸出反饋的比較2021/6/124北科大信息工程學院自動化系K中的參數(shù)個數(shù)一般多于H，故狀態(tài)反饋對系統(tǒng)的修正能力優(yōu)于輸出反饋；從實現(xiàn)角度看，輸出反饋優(yōu)于狀態(tài)反饋。K狀態(tài)反饋：G

(s)=G(s)(I

-K(sI

-A+BK)-1B)H輸出反饋：G

(s)

=(I

+G(s)H)-1G(s)變換得到的。]經(jīng)列初等c2

n-1n-1是U

=[B,

AB,

A

B,,

A

B\

UcK

=

B,(A-BK)B,,(A-BK)

B]\U

c與U

cK

的秩相同4、閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性cU

=

[B,

AB,

A2

B,,

An-1B]開環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣：cKU

=

[B,

(

A

-

BK

)B,,(

A

-

BK

)n-1

B]狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣：(A

-

BK

)B

=

AB

-

BKB

(A

-BK

)B是B,AB列的線性組合。(A

-

BK

)2

B

=

A2

B

-

2

ABKB

+

(BK

)2B(A

-BK

)2

B是B,AB,A2

B列的線性組合結(jié)論1：連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)反饋保持系統(tǒng)的能控性；但不一定保持系統(tǒng)的能觀性。輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。結(jié)論2：連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，2021/6/125北科大信息工程學院自動化系

n-1cHc=

C(A

-

BHC)

CAn-1C

CU

=

CA

U,C(A

-

BHC)將HC看成K，能控性得證；

y

=

(1

2)x

0x

+

u1

1x

=

3

1

2的狀態(tài)反饋，試討論開環(huán)系統(tǒng)與閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性。系統(tǒng)能觀系統(tǒng)能控滿秩，

=

滿秩，

1

21

1

0

2

cA

7

4

c

Uo

=

Uc

=

(b,

Ab)

=閉環(huán)系統(tǒng)：\系統(tǒng)不能觀不滿秩，

=

滿秩，\系統(tǒng)能控

1 2

1 2

0

0 2

1 2

c(

A

-

BK

)

cU

=

=

(B,

(

A

-

BK

)B)

=

1A

-

BK

=

0

0

y

=

CxoUcKx

=

(A

-

BK

)x

+

Bv例6.1設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下，引入反饋增益矩陣K

=

(3

1)2021/6/126北科大信息工程學院自動化系解解：開環(huán)系統(tǒng)：一、問題的提法系統(tǒng)期望性能指標一組期望極點設計反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定性,動態(tài)和靜態(tài)指標λ1

λ2,…,

λn確定K,H使得A-BK或A-BHC的特征根為

λ1

λ2,…,λn6.2

SISO線性定常系統(tǒng)的極點配置2021/6/127北科大信息工程學院自動化系結(jié)論3：SISO

連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)

(

A,

b,

c)，通過狀態(tài)反饋可以任

意配置極點的充要條件是系統(tǒng)

能控。n21101=

(b

b

b

)=

1,b

0,

c

0

0

10

y

=

cxx

=

Ax

+

bun-1

,其中：A

=證明：(充分性)系統(tǒng)能控

可以任意配置極點(A,b,c)能控

存在可逆矩陣P使得系統(tǒng)經(jīng)線性變換化為能控規(guī)范型-

a

-

a

-

ak2

kn

)引入狀態(tài)反饋增益陣K

=k1則閉環(huán)的狀態(tài)空間表達式為：x

=

(

A

-

b

k

)

x

+

b

uy

=cx2021/6/128北科大信息工程學院自動化系其中A

-

BK=

1

0

1-

an-1

100

-

nk

k

)10001

n-1-

a0

=

-a

-k

0

n

1

00

0

1-a1

-k2

-a

-k

所以此系統(tǒng)的特征多項式為：+

an

-1

+

k

n

)l

+

+

a

+

k

)=

0n

-10

12021/6/129北科大信息工程學院自動化系ln01**

*+

a*

n-1n-1nn+

+

a

=

0l

-

l

)

l

-

l

)=

l

l設為期望特征根，則其特征多項式為：比較系數(shù)有：k

=

a*

-a1

0

0*k

=

a*

-an

n-1

n-1k2

=

a1

-a1*0

1

0a

+

k

=

a1a

+

k

=

a*n-1a

+

k

=

a*n

n-12

1\**"

l

l1

n對都可以找到相應的k，須引入狀態(tài)反饋后使系統(tǒng)*

*l

l1

n必要性：可以任意配置極點能控反證：若系統(tǒng)不能控，則由可控性分解將系統(tǒng)化為：122021/6/1210北科大信息工程學院自動化系0ccccxbAx?-

x

Ac

AC

)c

u y

=(C

x

x

=c

c

c

+

，的極點位于，則閉環(huán)的狀態(tài)空間(

)0

00ck

k

xAA?-

Ac

A12

Ac

-bc

kcA12

-bc

kc

bc

bc

bc

-+

u

=x

=

0

c

x

+

0

u

c

c

\閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為：0cAAc

-bc

kcA12

-bc

kc

=

0det

lt

-det

(lt

-

Ac

+

bc

kcdet

(lt

-

Ac

=

0\不能控部分的特征根無法改變不能任意配置極點，矛盾。引入狀態(tài)反饋，設增益陣為(kc表達式為：kc2021/6/1211北科大信息工程學院自動化系step1.

求A陣特征多項式det(lt

-

A)=

ln

+

a

ln-1

+

+

an-1

0step2.

求期望的閉環(huán)特征多項式0*

*n1

nn

-1+

+

a

*ln

-1=

l

+

a

*l

-

l

)

l

-

l

)step3.

計算k

=

a*

-

a

,,

a*

-

a

]0

0

n-1

n-1step4.

計算矩陣

1

11

n-1

n-1a

a

ap

=

[An-1bb]

，求p-1=

k

p

-

12021/6/1212北科大信息工程學院自動化系step5.

求反饋增益陣

k極點配置步驟與方法一——可控標準型法

1

01

0 0

Uc

=

0

1

-

60滿秩，系統(tǒng)能控，所以極點可以任意配置2.

求反饋增益陣step1.

計算開環(huán)的特征多項式00

=

l3

+18l2

+

72l

0

l

0det

(lt

-

A)=

det

-1

l

+

6-1l

+12

\

a0

=

0,

a1

=

72,

a2

=

18系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

?

0

1-12

00

x

+

0u

0

0

0

x

=

1

-

61=

-=

-1-

j*2

3*1l

2,

l

=

-1+

j,

l*例6.2求狀態(tài)反饋增益陣k,使閉環(huán)極點位于解解：1.

判斷系統(tǒng)的能控性2021/6/1213北科大信息工程學院自動化系step3.計算step4.20]

=

[

4

,-66

,-14

]-

a

,

a

*

-

a

,

a

*

-

a0

1

1

2K

=

[

a

*100

1

10

=

12

1

=

-

6

0

0

1

1

0

0

72

18

11

018

1

10

072

18

0.................1..10

0

1

1

-12-18 144

p

-1

=

0a

...........aan-1,

1n-1p

=

[

An-1b,.....b]12021/6/1214北科大信息工程學院自動化系

1

0

00

-

12

=

[-

14

,186

,-

112

]-

18

144

k

=

k

?

p

-1

=

[

4

,-

66

,-

14

]

0step5.

驗證：det(lt

-A

+bk

)=l3

+4l2

+6l

+4step2.計算期望特征多項式.(l

-

l*

)(l

-

l*

)(l

-

l*

)

=

(l

+

2)(l

+1-

j)(l

+1+

j)1

2

3=

l3

+

4l2

+

6l

+

4\

a*

=

4,

a*

=

6,

a*

=

40

1

2Step1

計算期望特征多項式，得到2021/6/1215北科大信息工程學院自動化系0

n-1a*

......a*Step2

設反饋增益陣為k

=(k1

........kn

)，求閉環(huán)的特征多項式，det(

lt

-

A

+

bK

)

=

0得

ln

+

a

(k

)ln-1

+

...

+

a

(k

)

=

0n-1

0Step3

求聯(lián)立方程0

0a

(k

)

=

a*(k

)

=

a*an-1n-1

k

=

(k1......kn

)極點配置步驟與方法二——直接計算的方法

?

0

1

-

12

00

0

0x

=

1

-

6

0

x

+

0

u1試求狀態(tài)反饋增益陣k,使閉環(huán)極點位于3*2*1=

-1+

j,

l*

=

-1-

j=

-2,

llStep

1:Step

2:**323+

4

+

6l

l

l

+

4=(l

-l

)(*

(l

-l

)1

2l

-l

)設

K=

[k1

,

k2

,

k3

]det

(lt

-

A

+bK)

=0

,

-131

2,

l

+12

-1

,

l

+

6,

0l

+

k

,

k

,

k=

(l

+

k1

)(l

+

6)(l

+12)

+

k3

+

k2

(l

+12)=

l3

+

(18

+

k

)l2

+

(72

+18k

+

k

)l

+

72k

+12k

+

k1

1

2

1

2

3Step

3:

解如下線性方程18

+

k1

=

4

k1

=

-1472

+18k1

+

k2

=

6

k2

=

18672k1

+12k2

+

k3

=

4

k3

=

-1220例6.3已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為解2021/6/1216北科大信息工程學院自動化系性質(zhì)1

SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋不會移動系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。線性定常系統(tǒng)極點配置的性質(zhì)性質(zhì)2狀態(tài)反饋可能導致傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點對消的現(xiàn)象。性質(zhì)3不完全能控的系統(tǒng)，狀態(tài)反饋僅能改變能控子系統(tǒng)的特征根，不能改變不能控子系統(tǒng)的特征根。性質(zhì)4完全能控的SISO系統(tǒng)，（A,B,C）不能采用輸出線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。2021/6/1217北科大信息工程學院自動化系性質(zhì)5系統(tǒng)(A,b,c)采用從輸出到狀態(tài)的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是(A,c)能觀。1232u3x2x11x1.

按圖中所示的x1x2x3

寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，判斷系統(tǒng)的能控性和能現(xiàn)性，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.求狀態(tài)反饋增益K，此系統(tǒng)經(jīng)過此狀態(tài)反饋傳函為

s

+

4

(s

+1)(s

+

2)3.

經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)是否能控？是否能現(xiàn)？為什么？系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：開環(huán)：例6.41.

1）求系統(tǒng)狀態(tài)表達式.

0

1

x

+

0

u

0

1

0

1 0

x

=

0

0-2-3

y

=(12

7 1

x解2021/6/1218北科大信息工程學院自動化系(2)能控性，能觀性：c

17

0

0 1

U

=

0

1

-3-3

滿秩

系統(tǒng)能控0

012

7 1

U

=

0

10-8-2

4

滿秩

系統(tǒng)能觀。s2

+

7s

+122021/6/1219北科大信息工程學院自動化系(s

+

3)(s

+

4)(3)

傳遞函數(shù)G(s)

=

C(SI

-

A)-1

B==s3

+

3s2

+

2s

s(s

+1)(s

+

2)2.經(jīng)過狀態(tài)反饋以后的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

s

+

4

(s

+1)(s

+2)(s

+3)顯然閉環(huán)有零極點對消，傳遞函數(shù)為：(s

+1)(s

+2) (s

+3)(s

+4)

即期望的極點為－1，－2，－3期望的特征多項式為

l3

+

6l2

+11l

+

6

=

0,a*

=

6,

a*

=

11,

a*

=

60

1

2所以K＝6,1

1,6如果受控系統(tǒng)能夠通過狀態(tài)反饋，使閉環(huán)的極點位于復平面的左半部，則稱系統(tǒng)狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的，類似可以定義輸出反饋能鎮(zhèn)定的。結(jié)論1：系統(tǒng)（A,B,C）采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定的。結(jié)論2：系統(tǒng)（A,B,C）通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是結(jié)構(gòu)分解中能控、能觀子系統(tǒng)是能輸出反饋鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。6.3系統(tǒng)鎮(zhèn)定的問題已知系統(tǒng)的狀態(tài).

方程如下：

-1-

6x

=

0

2

x

+

u1-

2能否通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)穩(wěn)定。例6.52021/6/1220北科大信息工程學院自動化系2．判斷系統(tǒng)的能控性

2-

2

-

4Uc=

1

，不滿秩，系統(tǒng)不完全能控。3．將系統(tǒng)按能控性能分解

-

2 1

=

1

2

0 1

-1取p

=

，則p1

0令

x

=

px,則有

.

x

=

p

-1

Ap x

+

p

-1

bux

+

uu

=

x

+=

01

0

-1

2

0

0 1

-

20

1

2111 2

0

2

0 1

-1

-

6-

2 1

.

x1

=

2

x1

+

u.

x

2

=

-1?

x2故系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

l

+1

6Det(st

-

A)

=

det

=

00

l

-

2

l1

=

-1,

l2

=

2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.求系統(tǒng)的特征根解2021/6/1221北科大信息工程學院自動化系?2021/6/1222北科大信息工程學院自動化系{

x

=

A

x

+

Bux

(

to

)

=

x0一.全維狀態(tài)觀測器1、狀態(tài)重構(gòu)6.4

狀態(tài)觀測問題由于初始狀態(tài)

x0

不清楚，所以可能導致2021/6/1223北科大信息工程學院自動化系0000ttt0t0e

Bu(e

Bu(t)dtA(t

-t

)A(t

-t

)A(t

-2)A(t

-2)x(t)

-

x(t)

=

e

x

+t)dt

-

ex

+=

e

A(t

-t0

)

(

x

-

x

)0

0所以只有系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定時，才有l(wèi)im[

x(t

)

-

x(t

)]

=

0t

fi

￥此時我們可以用x(t)

來代替

x(t)，但系統(tǒng)不穩(wěn)定時

x(t)

無法表達

x(t)上面構(gòu)造x(t)時沒有使用y(t)，按如下方式構(gòu)造x(t)利用原系統(tǒng)的輸出量與觀測器的輸出量的差修正狀態(tài)的偏差，從而改善觀測器的特性，我們稱如圖所構(gòu)造的狀態(tài)觀測器為全維狀態(tài)觀測器。2021/6/1224北科大信息工程學院自動化系?Ax?

+

Bu

+

EC

(

x

-

x?)

=

(

A

-

EC

)

x?

+

Bu

+

Dy

y?

=

Cx?dt2021/6/1225北科大信息工程學院自動化系d

(x(t)

-

x?(t))=

Ax

+

Bu

-(A

-

EC)x?

-

Bu

-

Ey

=(A

-

EC)(x

-

x?))??0

00\

x(t)

-

x(t)

=

e

?(x

-

x(

A-EC)(t

-t

)此時

x?

=在t

fi

￥

時x(t)

-的x?(t行)

為取決于(A－BC)的特征根。若(A－BC)的特征根全部有負實部，則必有：lim(x(t)

-

x?(t))=

0t

fi

￥在一定的條件下可以求得一個E，使(A－EC)的特征根都有負實部。全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)空間表達式y(tǒng)

(t

)

-

y

(t

)

=

C

(

x(t

)

-

x(t

))通過E配置（A－EC）的特征根1配置（A－EC）的特征根，任意配置的充要條件是（A，B）能控2

（A－EC）的特征根=(AT

-CT

ET

)的特征根。(

AT

,

CT

)

能控

(

AT

-

CT

ET

)

的特征根可以任意配置。34(

AT

,

CT

)能控(

A,

C)能觀（對偶原理）結(jié)論：線性定常系統(tǒng)（A，B，C）能觀，則可以借助全維狀態(tài)觀測器?x?

=

(

A

-

EC)x?

+

Bu

+

Ey來估計系統(tǒng)的狀態(tài)，其誤差由下式確定dt2021/6/1226北科大信息工程學院自動化系d

(x(t)

-

x?(t))=

(A

-

EC)(x(t)

-

x?(t))5E的計算：與極點配置比較ATACTBETK系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

0

10

x

+

0u

0

-1

0

0 0

x

=

1

-11?y

=

(0

1

1)x設計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點位于2,31*=

-5,

l

*

=

-4

–

4

jl-1

0

0

1 0

=

0

-1

10AT

1

=

1

0CT=

(1

0

0)BT計算：1l

+1

0-1

=

l3

+

2l2

+

l

l

-1

0det(lI

-

AT

)

=

det

0

l

+10解例6.62021/6/1227北科大信息工程學院自動化系23

2321**

*=

l

+13l

+

72l

+160l

-

l

)(l

-

l

)(l

-

l

)(210**=

72,

a

*

=

13=

160,

a\

a160

71

11]2

21**-

a

a

-

a

)=

[34K

=

E

T

=

a

*

-

a

a0

0

1求變換矩陣4

2021/6/1228北科大信息工程學院自動化系01

-1 1

2

-

2-

22

1110

=

0P-1

=

1

01

0

0

2

1

0C

]2

1

22

1

0

1T

AT

CTP

=

[(AT

)2

CT\

a0

=

0,

a1

=

1,

a2

=

2計算期望特征多項式

2021/6/1229北科大信息工程學院自動化系)

31

80

2

02

2

1

-1

=

[80

-

20

31]-1-

1 1

2

1=

(160

71 11

0-1\

E

=

-

20=

K

*

PK

=

ET56

?

80

0

31

1-

32

020

x?

+

0u

+

-

20

y

0

-

80

-

8019-

30x?

=

1全維觀測器為注：1.全維狀態(tài)觀測器的維數(shù)為n。若使用其作為系統(tǒng)狀態(tài)的估計值，則系統(tǒng)成為2n維的。是否能減少？2021/6/1230北科大信息工程學院自動化系2.能否有更精確的判別觀測器的存在性的方法？二. 狀態(tài)觀測器的存在性結(jié)論：線性定常系統(tǒng)（A，B，C）狀態(tài)觀測器存在的充要條件是：系統(tǒng)的不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（A.B.C）狀態(tài)觀測器K基本原理2021/6/1231北科大信息工程學院自動化系Σ0：

y

=

Cxx

=

Ax

+

Bu狀態(tài)觀測器：>0bx?

=

(

A

-

EC)x?

+

Bu

+

Ey.

：y?

=

Cx?開環(huán)系統(tǒng)：6.5

基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)：∫CBB∫CAEAKΣ0Σ0byxy2021/6/1232北科大信息工程學院自動化系

2021/6/1233北科大信息工程學院自動化系

x

y

=

(c

0)

x?x

=

Ax

+

B(v

-

Kx?)

=

Ax

-

BKx?

+

Bvx?

=

Ax?

+

B(v

-

Kx?)

+

E(

y

-

y?)=

Ax?

+

Bv

-

BKx?

+

ECx

-

ECx?=

(

A

-

BK

-

EC)x?

+

ECx

+

Bv

x

x

B

A

-

BK

-

EC

x

-

BK

A

x?y

=

(c

0)

+

v?

B

x?

=

EC

x

整理后有：1.2.2021/6/1234北科大信息工程學院自動化系dim(S)

=

dim(S0)

+

dim(Sob

)S

的特征根集合具有分離性。取P

=

I

-

I-

IP

=I

I

0

I

0

-1則

=

A

-

EC

A

-

BK

BK-

I

I-

BKPAP

=

I00

-

I

0

A

-

BK

-

EC

I

I

0

A-1所以閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為：det(

lI

-

A

+

BK

)

=

0的根det(

lI

-

A

+

EC

)

=

0的根帶觀測器的反饋系統(tǒng)的性質(zhì)：3.傳遞函數(shù)2021/6/1235北科大信息工程學院自動化系00S

：

G

(s)

=

C(sI

-

A)-1

BK-1：

G

(s)

=(sI

-

A+BK)

BEKS

I

0

CP

=

(c

0)

=

(c

0)I

-

I-10

B

sI

-

A

+

EC

0-

BK

sI

-

A

+

BK=

C(sI

-

A

+

BK

)-1

B

=

G

(s)K-1\

GEK

(s)＝(c

0)

結(jié)論：狀態(tài)觀測器的引入不影響由狀態(tài)反饋增益陣所配置的極點。而狀態(tài)反饋器不影響已經(jīng)設計好的觀測器的極點。結(jié)論：帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)的傳函與狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳函相同。6.6

控制系統(tǒng)的解耦方法2021/6/1236北科大信息工程學院自動化系6.6.1解耦問題的描述解耦問題是MIMO系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分。解耦目的：使多變量系統(tǒng)中的每一個輸出僅受一個輸入的影響。每個輸入也僅能控制一個輸出。這樣的問題稱為解耦問題。這樣的過程稱為解耦。定義：如果線性系統(tǒng)(A,B,C)是一個n維輸入n維輸出系統(tǒng)，當其傳遞函數(shù)滿足：0nn-1W

(s)

=

C(sI

-

A)

B

=W11

(s)

0

0

00

W

(s)022

0

W

(s)

是一個對角形有理多項式矩陣，則稱該系統(tǒng)是解耦的。6.6

控制系統(tǒng)的解偶方法2021/6/1237北科大信息工程學院自動化系回答兩個問題：①系統(tǒng)能夠解耦的充要條件；②解耦的方法和實現(xiàn)過程。常見解耦方法1）前饋補償法方法：串接一個前饋補償器。優(yōu)點：方法簡單。缺點：系統(tǒng)的維數(shù)增加一倍。

2）狀態(tài)反饋法方法：狀態(tài)反饋。優(yōu)點：不增加系統(tǒng)的維數(shù)。缺點：條件苛刻。6.6.2前饋補償法Gd(S)Go(S)w1w2u1uny1ynW

(s)

=

Wo

(s)Wd

(s)W

(s)

=

W

(s)W

-1

(s)d

0W

(s)

=

nn

W11

(s)

0

00

W

(s)

0022

0

W

(s)

解耦條件：待解偶系統(tǒng)滿秩！2021/6/1238北科大信息工程學院自動化系6.6.3狀態(tài)反饋解耦FB1/sCAvm2021/6/1239北科大信息工程學院自動化系ymΣ。urxn待解耦系統(tǒng)0K其中：An·n

,Bn·r

,Cm·n

,Vn·r

,Kr·n問題是如何設計K和F，使系統(tǒng)從v到y(tǒng)是解耦的。定義：di是滿足不等式：lc

i

A

B

?

02021/6/1240北科大信息工程學院自動化系(l

=

0,1,...m

-1)且介于0到m-1之間的一個最小整數(shù)

。式中，di為系統(tǒng)輸出矩陣C中的第i行向量(i=1,2,…m),因此，ci的下標i表示行數(shù)。根據(jù)di定義下列矩陣：12...mdc

Ad2c

A

c

Ad1D

=

m

12...mdc Ad2

Bc

A

B

c

Ad1

B

E

=

DB

=

m12...dc

Ac

Ad2+1m+1

c

Ad1+1L

=

DA

=

m

A

=

,

B

=

,

C

=

0

1

0

0 0

0

0

1 0

01

0 0

0

0 1

0

1

0 0

0 0

3

0

0 2

1 0

0

0-2

0

解例6.7

已知系統(tǒng)0=(A,B,C):2021/6/1241北科大信息工程學院自動化系i=1,2），并計算D、E、L陣。試計算

d（i的最小的是1，所以。1（1）先算

d

01

1c

A

B

=

(0,

0)c A1

B

=

(1,

0)使

c

Al

B

?

0

的最小的

l

是1，所以

d

=1

，1再算

d

2

0c2

A B

=

(0,

0)11c2

A

B

=

(0,1)2l使

c A

B

?

0l2d

=112021/6/1242北科大信息工程學院自動化系12112112c

Ad2c Ad2

Bc

Ac

Ad2+1

c

Ad1D

=

=

D

=