第三章三角函數(shù)解三角形38應(yīng)用舉例

第八節(jié)應(yīng)用舉例【知識梳理】1.必會知識

教材回扣 填一填=.(1)三角形中常用的面積公式:①S=1

ah(h表示邊a上的高).2②S=

1

bcsinA=21

acsin

B21

absin

C2(2)實際應(yīng)用中的常用術(shù)語:術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角α的范圍是

0°≤α<360°術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度例:①北偏東m°②南偏西n°術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α,坡度為i,則i=h

=tanαl坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記三角形的面積公式:S=1

r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)=abc2

4R(R為三角形外接圓半徑).3.必用技法 核心總結(jié) 看一看

(1)常用方法:利用正弦定理求邊和角的方法,利用余弦定理求邊和角的方法.(2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸.【小題快練】(

)1.思考辨析 靜心思考 判一判公式S=

1

bcsinA=

1

acsinB=

1

absinC適用于任意三角形.(

)2

2

2東北方向就是北偏東45°的方向.(

)俯角是鉛垂線與視線所成的角.(

)

(4)方位角大小的范圍是[0,2π),方向角大小的范圍一般是π[0,

).2【解析】(1)正確.三角形的面積公式對任意三角形都成立.(2)正確.數(shù)學(xué)中的東北方向就是北偏東45°或東偏北45°的方向.

(3)錯誤.俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.

(4)正確.方位角是由正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,故大小的范圍為[0,2π),而方向角大小的范圍由定義可知為答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)√π[0,

).22.教材改編 鏈接教材 練一練(1)(必修5P11例1改編)如圖,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是m米,∠BAC=α,∠ACB=β,則A,B兩點間的距離為(

)A.

msinα

msinαB.C.sinβ sin(α

+β)msinβ

D.

msin(α

+

β)sin(α

+β) sinα

+sinβ【解析】選C.在△ABC中,∠ABC=π-(α+β),AC=m,由正弦定理，得所以AB=AB

AC=

,sin

β sin—

ABCmsin

β msin

β=

.sin［π

-

(α

+β)］

sin

(α

+β)(2)(必修5P20T1改編)已知△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c，則△ABC的面積公式可表示為(

)A.S=

1

absin

A2C.S=

1

a2

sin

Asin

C2 sin

BB.S=

1

bccos

A2D.S=

1

a2

sin

Bsin

C2 sin

A2所以A和B都不正確.因為【解析】選D.因為S△=1absin

C=1bcsin

A=1acsin

B,bsin

Bsin

A sin

A=2

2a

,即b

=asin

B

,所以S=1

absin

C

=1

aasin

Bsin

C

=1

a2

sin

BsinC

,2

2 sin

A

2 sin

A故選D.3.真題小試 感悟考題

試一試(1)(2014·福建高考)在△ABC中，∠A=60°,AC=4,BC=2

3

,則△ABC2答案：2的面積等于

.【解析】由題知，BC2=AB2+AC2－2AB·AC·cos

A，即12=AB2+16－2×4×AB1·

，解得AB=2，2所以S=

1|AB|·|AC|·sin

A=2

3．3(2)(2015·重慶模擬)甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,兩船相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的

3

倍,甲船為了盡快追上乙船,則應(yīng)取北偏東

(填角度)的方向前進(jìn).【解析】設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.答案：30°BCAC＝

3，2BC sin—

BAC由正弦定理得AC＝

sin

120＝

3

sin—

BAC＝1

.考點1

測量距離問題【典例1】(1)(2014·四川高考)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高度是46m,則河流的寬度BC約等于

m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,

3

≈1.73)(本題源于教材必修5P24T5)的長.(2)如圖,為了測量河對岸A,B兩點間的距離,在河的這一岸選取基線CD,測得CD=

3

km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求AB【解題提示】(1)先解直角三角形求AC的長,再解斜三角形求河寬BC.(2)解三角形時至少知道一邊,所以先選擇CD邊所在的三角形ADC,三角形BCD,再選擇AB邊所在的三角形,分別解三角形求解.【規(guī)范解答】(1)設(shè)氣球的高度為AD，交CB延長線于點D，在Rt△ACD中，AC=92

m，在△ABC中，由正弦定理知，答案：60AC

9292sin670.92BC

=sin—

ABC

sin(180

-

67

)?

92·0.60

=

60(m).sin—

BAC=sin

37

=sin

37(2)①在△ADC中,所以由正弦定理，得∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°，∠ACD=60°,所以△ADC是等邊三角形，故AC=CD3=.②在△BCD中,∠BDC=30°，∠BCD=∠BCA+∠ACD=45°+60°=105°,所以∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=45°,因為CD=

3,BC

CD=

,sin—

BDC sin—

DBC36

.sin

452即BC

=sin

30

=③在△ACB中,AC=

3

，BC=

6

，∠ACB=45°，2所以由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB646

.2=

3

+-

2

·

3

·6

·cos

45

=

3

,2

2即AB

=故AB的長為

6km.2【一題多解】解答本例(2),你還知道其他方法嗎?解答本例(2)還可以如下求解:在△ADC中,∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,所以△ADC是等邊三角形,故AC=CD=3

,因為∠ADB=∠CDB=30°,所以DB是∠ADC的平分線,故DB是AC的垂直平分線,所以BA=BC,故∠BAC=∠BCA=45°,所以∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=90°,所以AB2+BC2=AC2,即2AB2=3,解得AB=6

,2故AB的長為

6km.2【規(guī)律方法】1.距離問題的類型及解法

(1)類型:測量距離問題分為三種類型:兩點間不可達(dá)又不可視、兩點間可視但不可達(dá)、兩點都不可達(dá).

(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正余弦定理求解.2.解三角形應(yīng)用題的兩種情形

(1)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.

(2)實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其

他三角形,有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程

(組)得出所要求的解.提醒:注意三角形可解的條件:即三角形中必須知道三個元素且三個元素中至少有一條邊.【變式訓(xùn)練】(2015·漢中模擬)某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處,觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40°.開始時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進(jìn)20千米后,到

A的距離縮短了10千米.求此時汽車離汽車站的距離.【解析】由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理，得=sin

120°cos

C-cos120°sin

C

=cos

C=

AC2

+

BC2

-

AB2

23=

,2ACBC

313

,312所以sin∠MAC=sin(120°-C)31則sin2C

=1-cos2C=432

,sin

C

=1235 3

.62在△MAC中，由正弦定理，得32從而有MB=MC-BC=15(千米),故汽車離汽車站的距離是15千米.MC

=

ACsin—

MAC

=

31

·

35 3

=

35,sin—

AMC

62【加固訓(xùn)練】1.某人在高出海面600米的山上P處,測得海面上的航標(biāo)A在正東,俯角為30°,航標(biāo)B在南偏東60°,俯角為45°,則這兩個航標(biāo)間的距離為

米.【解析】如圖,設(shè)PO表示山高,則PO=600.由題意知,PO⊥OA,PO⊥OB,∠OPA=90°-30°=60°,∠OPB=90°-45°=45°,∠AOB=90°-60°=30°,在Rt△POA中,OA=tan60°·600=6003

,在Rt△POB中,OB=OP=600,在△AOB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=(600

3

)2

-2×600所以AB=600.答案:600×6030×cos30°=6002,2.如圖所示,一艘海輪從A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15°方向,與海輪相距20海里的B處,海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處,又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向,則海輪的速度為

海里/分鐘.【解析】由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得答案：sin

B sin

—

ACBAC

＝

AB，sin—

ACB sin

45所以AC＝ABsin

B＝20

·sin

60

＝106，所以海輪航行的速度為103036

＝(海6里/分鐘).63考點2

測量高度、角度問題【典例2】(1)(2015·濟(jì)南模擬)在200米高的山頂上,測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為(

)A.

200

m

B.

200

3

m

C.

400

m

D.

400

3

m3

3

3

3(2)在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(

3

-1)n

mile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A處2n

mile的C處的緝私船奉命以10

3

nmile/h的速度追截走私船.此時,走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船?【解題提示】(1)結(jié)合題意,畫出圖形,分別解直角三角形、斜三角形可求.

(2)結(jié)合題意,畫出準(zhǔn)確的圖形是解題的關(guān)鍵,同時注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等,設(shè)在D處相遇,則可先在△ABC中求出BC,再在△BCD中求∠BCD.【規(guī)范解答】(1)選C.如圖,設(shè)AB表示山高,CD表示塔高,則∠DBC=60°-30°=30°,∠ABC=90°-60°=30°,連接AC,在△BDC中，∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°,所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°,由正弦定理得,ABcos

303在Rt△BAC中，cos∠ABC=AB

,所以

BC

==200

=

400

,BC

cos—

ABCBC

DC=

,sin—

BDC sin—

DBC400sin

30故DC=

3

=

400

,故選C.sin

120

3(2)設(shè)緝私船用t

h在D處追上走私船，如圖，則有CD＝10

3

t，BD＝10t，在△ABC中，因為AB＝

3

－1，AC＝2，∠BAC＝120°，所以由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(

－3

1)2＋22－2×(

－31)×2·cos

120°＝6，所以BC＝

6，在△ABC中，由正弦定理，得所以∠ABC＝45°，所以BC是東西方向.因為∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得所以∠BCD＝30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.ACBCsin

—

ABC sin

—

BAC＝，BC2

26·所以sin

∠ABC＝

ACsin—BAC＝

23

＝

2

.BDCDsin—

BCD sin—

CBD＝，CD

210

3t所以sin∠BCD＝BDsin—

CBD＝10tsin

120

＝1，【互動探究】試求本例(2)中緝私船最快追上走私船的時間.【解析】由本例(2)的解答知,在△DBC中,CD=10

3

t,BD=10t,∠DBC=120°,BC=

6

,∠BCD=30°,所以∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=30°,故BD=BC,即10t=

6,t=,610故緝私船最快追上走私船的時間為

6小時.10【規(guī)律方法】1.求解高度問題的三個關(guān)注點

(1)在處理有關(guān)高度問題時,要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.

(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.2.測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.提醒:方向角是相對于某點而言的,因此在確定方向角時,必須先弄清楚是哪一個點的方向角.【變式訓(xùn)練】某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米以后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔的最大仰角為30°,則塔高為

米.【解析】依題意畫圖,設(shè)某人在C處,AB為塔高,他沿CD前進(jìn),CD=40米,此時∠DBF=45°,從C到D測塔的仰角,只有B到CD最短時,仰角才最大,故BE⊥CD,在△BDC中,CD=40,∠BCD=30°,∠DBC=135°.由正弦定理，得在Rt△BDC中,∠BDE=180°-135°-30°=15°.CDsin

135==

20

2.sin—

DBC sin—

DCBBD

,所以BD

=40sin

30所以BE=DBsin

15°=2042

·

6

-

2

=10(

3

-1).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BEtan

30°=10

(3

-(3米)).3故所求的塔高為10

(3

-米3.)33)3答案：10

(3

-【加固訓(xùn)練】1.地面上有兩座塔AB,CD,相距120米,一人分別在兩塔底測得一塔頂?shù)难鼋鞘橇硪凰斞鼋堑?倍,在兩塔底連線的中點O處測得塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?則兩塔的高度分別為(

)

A.50米,100米 B.40米,90米C.40米,50米 D.30米,40米根據(jù)倍角公式有【解析】選B.設(shè)高塔高H，矮塔高h(yuǎn)，在矮塔下望高塔仰角為α,在O點望高塔仰角為b.分別在兩塔底部測得一塔頂仰角是另一塔頂仰角的兩倍，所以在高塔下望矮塔仰角為α

,2h

,120

2

120即

tan

α

=

H

,

tan

α

=H①12,

01201202

·

h=1-(

h

)2在塔底連線的中點O測得兩塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以在O點望矮塔仰角為

π

-

b,2即tan

b=H,60tan(

π

-

b)=

h

,2

60根據(jù)誘導(dǎo)公式有

H

=②60，60

h聯(lián)立①②得H=90，h=40.即兩座塔的高度為40米，90米,故選B.2.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的水面上,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若偵察艇以每小時14nmile的速度沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.【解析】如圖,設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇,則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,解得x=2.故AC=28,BC=20.解得sinα=所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時,角α的正弦值為ACsinα sin

120根據(jù)正弦定理得

BC

＝，28

1420sin

120

＝5 3

.5 3

.14考點3

三角形面積公式的應(yīng)用知·考情結(jié)合正、余弦定理及與平面向量有關(guān)的知識求三角形的面積,已知三角形的面積及三角形中的其他元素解三角形是高考的重點,常與三角恒等變換、向量的有關(guān)運算相結(jié)合,以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn).明·角度命題角度1:根據(jù)已知條件求三角形的面積【典例3】(2015·哈爾濱模擬)在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為

.【解題提示】用小寫字母表示邊,用余弦定理求a,套公式求面積.【規(guī)范解答】設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得49=a2+25-2×5a×(-1

),解得a=3,所以S△ABC=1

acsinB=2

2.15

341×3×5×sin120°=2答案:

15

34命題角度2:與三角形面積有關(guān)的綜合問題【典例4】(2014·浙江高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a≠b,c=

3

,cos2A-cos2B=

3

sinAcosA-

3

sinBcosB.(1)求角C的大小.(2)若sinA=4

,求△ABC的面積.5【解題提示】(1)由三角恒等變換化簡已知條件,先求A+B的值,再由內(nèi)角和定理求角C.

(2)由正弦定理先求a,再求sinB,代入公式求面積.【規(guī)范解答】(1)由題意得，1+cos

2A－1+cos

2B2

2=

3

sin

2A－

3

sin

2B,2

2所以

3

sin

2A－1

cos2

A

=2

23

sin

2B－1

cos

2B,2

2即sin(2A－π)=sin(2B－π).6

6由a

?b，得A

?B，又A

+B?

(0,π)，得(2A－π)+(2B－π)=π，6

6所以A

+B

=2π，即C

=π

.3

3ac5 sin

A sin

C5(2)由c

=3,sin

A

=

4

,=，得a

=8

,由a＜c，得A＜C，從而cos

A=3，5所以sinB=sin(A+C)=sin

Acos

C+cos

Asin

C5

2

5

2

102

2

54

1

3

3 4

+

3

3=

· +

·=

,1

8

3

·

4

+

3 3

=

8 3

+18

.10

25所以，ABC的面積為S

=

1

acsin

B

= ·

·悟·技法1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小,或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或該兩邊之積,套公式求解.

(2)若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面積,總之,結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.2.三角形中,已知面積求邊、角的方法三角形面積公式中含有兩邊及其夾角,故根據(jù)題目的特點,若求角,就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系,利用面積公式列方程求解;若求邊,就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角,利用面積公式列方程求解.通·一類61.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=

π

,C=

π

,則△ABC的面積為(

)4A.2

3

+2 B.

3

+1C.2

3

-2 D.

3

-1由正弦定理得所以三角形的面積為

bcsin

A=6【解析】選B.因為B=π

,C=π,所以A=7π

.b

csin

π

sin

π6

4=4

12，解得c=

2

2.127π2sin

.1212·

2

·

22

(2

2

22

(2=因為sin

7π

=

sin(

π

+

π)

=

3

·

2

+

2

·

112

3

4

2

2

2

23

+

1

)，所以1

bcsin

A

=

2 2

·3

+1

)=3

+1，選B.2

2

2A．5C.2

D.1所以sinB=.故選B.2.(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是1

，AB=1，2BC=

2，則AC=(

)B.

52

2【解析】選B.因為S△ABC=1

acsin

B=

1×

×21×sin

B=

,122

,24所以B=

π

或

3.π當(dāng)B=

時π

，經(jīng)計算△ABC為等腰直角三角形，不符合4

4題意，舍去.4所以B=3π，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accos

B,解得b=53.(2014·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c，且b=3,c=1，△ABC的面積為

2

，求cos

A與a的值.【解析】由三角形面積公式，得

1×3×1·sin

A=2因為sin2A+cos2A=1，?2sin

A=32 2

，3所以cosA=±

1-

sin2A

=

–

1

.①當(dāng)cos

A=1

時，3由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A3=32+1－2×3×1×1

=8，所以a=22.②當(dāng)cos

A=-1

時，3由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A=32+1－2×3×1×（-

1）=12,3所以a=2

3