福建省泉州市平山中學2021年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

福建省泉州市平山中學2021年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)集，設函數(shù)f（x）是從A到B的函數(shù)，則函數(shù)f（x）的值域的可能情況的個數(shù)為（

）A．1

B．3

C．8

D．7參考答案：D2.設集合,則

(）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.若，，那么下列不等式中正確的是 參考答案：因為，則，于是，故選.4.設的內(nèi)角所對的邊分別為，且，則的最大值為A. B. C. D.參考答案：B5.已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要參考答案：B若，可令，可知充分性不成立；若，則，則，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.6.數(shù)列{an}中，已知且則A.19 B.21 C.99 D.101參考答案：D【分析】利用累加法及等差數(shù)列的求和公式可求.【詳解】因為，所以，，.上面各式相加可得，故選D.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，利用累加法求解數(shù)列通項公式時注意數(shù)列項數(shù)的變化.7.復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A.－2 B.i C.-2i

D.1參考答案：A8.已知拋物線C：＝4x，過拋物線C焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點（點A在第一象限），且交拋物線C的準線于點E．若＝2，則直線l的斜率為A．3

B．2

C．

D．1參考答案：B分別過A和D兩點做AD、BC垂直于準線，交準線于D、C兩點垂足分別為D，C，設，，由拋物線的定義可知：，，由＝2，則B為AE的中點，則=2，即在中，，，∴ntan∠CBE==，直線l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=，故選：B．

9.已知橢圓C：的右焦點為F，過點F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意畫出圖形，可得，兩邊平方后結(jié)合隱含條件得答案．【詳解】如圖，由題意可得，，則2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，則2a2＝3c2，∴，即e．故選：D．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．10.如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是（）A．B．C．D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱錐D﹣ABC體積的最大值是，則球O的表面積為．參考答案：π考點：球內(nèi)接多面體．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：確定∠ABC=120°，S△ABC=，利用三棱錐D﹣ABC的體積的最大值為，可得D到平面ABC的最大距離，再利用射影定理，即可求出球的半徑，即可求出球O的表面積．解答：解：設△ABC的外接圓的半徑為r，則∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱錐D﹣ABC的體積的最大值為，∴D到平面ABC的最大距離為，設球的半徑為R，則12=×（2R﹣），∴R=，∴球O的表面積為4πR2=π．故答案為：π．點評：本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定D到平面ABC的最大距離是關鍵．12.某次測量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)（xi，yi）具有較強的相關性，并計算得=x+1，其中數(shù)據(jù)（1，y0）因書寫不清，只記得y0是[0，3]任意一個值，則該數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值不大于1的概率為．（殘差=真實值﹣預測值）參考答案：【考點】回歸分析．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】求出預測值，再求出該數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值不大于1時y0的取值范圍，用幾何概型解答．【解答】解：由題意，其預估值為1+1=2，該數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值不大于1時，1≤y0≤3，其概率可由幾何概型求得，即該數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值不大于1的概率P==．故答案為：．【點評】本題考查了幾何概型的概率公式，屬于基礎題．13.若變量滿足約束條件則的最大值為________.參考答案：13略14.曲線在點處的切線方程為____________.參考答案：略15.已知兩個向量，的夾角為，，為單位向量，，若，則

.參考答案：-2.16.設滿足3x=5y的點P為(x，y)，下列命題正確的序號是

．

①(0，0)是一個可能的P點；②(lg3，lg5)是一個可能的P點；③點P(x，y)滿足xy≥0；

④所有可能的點P(x，y)構(gòu)成的圖形為一直線．.Com]參考答案：①③④17.已知點是直線上一動點，PA，PB是圓的兩條切線，A，B為切點，若弦AB的長的最小值為，則k的值為

．參考答案：圓的圓心，半徑是，如圖所示，根據(jù)圓的性質(zhì)知，當取得最小值時，取得最小值，即有，此時圓心到直線的距離就是的最小值，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該縣決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.

參考答案：.解:(1)第3組的人數(shù)為0.3×100=30,

第4組的人數(shù)為0.2×100=20,

第5組的人數(shù)為0.1×100=10.…………3分因為第3,4,5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人數(shù)分別為:第3組:×6=3;第4組:×6=2;第5組:×6=1.所以應從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.…………6分(2)記第3組的3名志愿者為A1,A2,A3,第4組的2名志愿者為B1,B2,第5組的1名志愿者為C1.則從6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15種.…………8分其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9種,…………10分所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為…………12分19.（15分）如圖，已知正三棱柱底面邊長為3，，為延長線上一點，且．（1）求證：直線∥面；（2）求二面角的大??；（3）求三棱錐的體積．參考答案：解析：（Ⅰ）證明：∵CD∥C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四邊形BDB1C1是平行四邊形∴BC1∥DB1又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D∴直線BC1∥平面AB1D（Ⅱ）解：過B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB1，

∵

BB1⊥平面ABD

∴

B1E⊥AD

∴

∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角

∵

BD=BC=AB

∴

E是AD的中點，

∴

BE=AC=在RtB1BE中，tan∠B1EB=

∴

∠B1EB=

即二面角B1—AD—B的大小為

（Ⅲ）解法一：過A作AF⊥BC于F，

∵

BB1⊥平面ABC，

∴

平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴

AF⊥平面BB1C1C且AF=

∴

==

==

即三棱錐C1—ABB1的體積為20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，其長軸長和短軸長之比為：1．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設F為橢圓C的右焦點，T為直線x=t（t∈R，t≠2）上縱坐標不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．若OT平分線段PQ（其中O為坐標原點），求t的值．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由已知可得，由此能求出橢圓C的標準方程．（2）設直線PQ的方程為x=my+2．將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結(jié)合已知條件能求出t=3．【解答】解：（1）由已知可得，解得a2=6，b2=2．∴橢圓C的標準方程是．（2）由（1）可得，F(xiàn)點的坐標是（2，0）．設直線PQ的方程為x=my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得，消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判別式△=16m2+8（m2+3）＞0．設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=，y1y2=．于是x1+x2=m（y1+y2）+4=．設M為PQ的中點，則M點的坐標為（）．∵TF⊥PQ，所以直線FT的斜率為﹣m，其方程為y=﹣m（x﹣2）．當x=t時，y=﹣m（t﹣2），所以點T的坐標為（t，﹣m（t﹣2）），此時直線OT的斜率為，其方程為y=x，將M點的坐標為（）代入上式，得．解得t=3．21.（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，（Ⅰ）寫出圓的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）若圓上的點到直線的最大距離為3，求半徑的值.參考答案：（Ⅰ）圓C的普通方程為：，

直線的直角坐標方程為：

…………3分（Ⅱ）圓C的圓心C到的距離圓C上的點到的距離的最大值為，所以

…………7分22.如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為四邊形，，，，平面PAC⊥平面PBD，，，（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）若四邊形ABCD中，，，M為PC上一點，且，求三棱錐體積