福建省漳州市古農(nóng)農(nóng)場(chǎng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

福建省漳州市古農(nóng)農(nóng)場(chǎng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若向量，的夾角為，且，，則向量-2與向量的夾角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：=，再求角即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚膴A角為，且，，所以所以，，設(shè)向量-2與向量的夾角為，則=，又，即向量-2與向量的夾角為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.設(shè)全集，集合，，則圖中的陰影部分表示的集合為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．若以射線Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為(A)=sin

(B)=2sin(C)=cos

(D) =2cos參考答案：D4.下列命題中：（1）“”是“”的充分不必要條件（2）定義在上的偶函數(shù)最小值為5;（3）命題“，都有”的否定是“,使得”（4）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]．正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：C(1),所以“”是“”的充分不必要條件;(2)為偶函數(shù),所以,因?yàn)槎x區(qū)間為,所以,因此最小值為5;(3)命題“，都有”的否定是“,使得”；(4)由條件得；因此正確命題的個(gè)數(shù)為（1）（2）（4），選C.5.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為A.4 B.6 C.8

D.16參考答案：C由題意知的周長(zhǎng)為.故選C.6.某球與一個(gè)的二面角的兩個(gè)面相切于、兩點(diǎn)，且、兩點(diǎn)間的球面距離為，則此球的表面積是A．

B．

C．

D．

參考答案：C略7.函數(shù)的大致圖象是(

)

參考答案：C8.計(jì)算等于

（）

A．

e

B．

C．1

D．e+1參考答案：A略9.設(shè)函數(shù)，若從區(qū)間[－2,4]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則所選取的實(shí)數(shù)x滿足的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)題設(shè)條件，求得不等式的解集，根據(jù)解集在數(shù)軸上的長(zhǎng)度比的幾何概型，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，解得，根據(jù)長(zhǎng)度比的幾何概型可得概率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型及其概率的計(jì)算，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，利用長(zhǎng)度比的幾何概型、準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10.橢圓的焦點(diǎn)為F1和F2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，

，則橢圓的離心率為（

）

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在四面體ABCD中，，則四面體體積最大時(shí)，它的外接球半徑R=

．參考答案：如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE，DE，設(shè)AB=2x（0＜x＜1），則CE=DE=，∴當(dāng)平面ABC⊥平面ABD時(shí)，四面體體積最大，為V===．V′=，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V為增函數(shù)，當(dāng)x∈（，1）時(shí)，V為減函數(shù)，則當(dāng)x=時(shí)，V有最大值．設(shè)△ABD的外心為G，△ABC的外心為H，分別過G、H作平面ABD、平面ABC的垂線交于O，則O為四面體ABCD的外接球的球心．在△ABD中，有sin，則cos，∴sin=．設(shè)△ABD的外接圓的半徑為r，則，即DG=r=．又DE=，∴OG=HE=GE=．∴它的外接球半徑R=OD=．

12.過雙曲線的左焦點(diǎn)F作⊙O:的兩條切線，記切點(diǎn)為A,B,雙曲線左頂點(diǎn)為C，若,則雙曲線的離心率為____________.參考答案：2略13.一個(gè)五面體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，部分邊長(zhǎng)如圖所示，則此五面體的體積為

．參考答案：2【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知判斷出該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的四棱錐，根據(jù)底面上底為1，下底為2，高為2，計(jì)算出底面積，然后代入棱錐的體積公式，即可得到答案．【解答】解：由三視圖可得，這是一個(gè)四棱錐底面是一個(gè)上下底分別為1和2，高為2的直角梯形，棱錐高為2故V=××（1+2）×2×2=2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度是解答的關(guān)鍵．14.對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為________．參考答案：1515.設(shè)函數(shù)，若，，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)c，的最小值為

．參考答案：8依題意可知：，整理得，，方程表示如圖一段弧AB，可表示弧上一點(diǎn)到直線y=-x的距離的平方，的最小值是8．16.若，且，則的取值范圍是

．參考答案：17.雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且F2恰為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)．設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，若△AF1F2是以AF1的底邊的等腰三角形，則雙曲線C的離心率為．參考答案：1+【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到雙曲線C的值，利用拋物線與雙曲線的交點(diǎn)以及△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形，結(jié)合雙曲線a、b、c關(guān)系求出a的值，然后求出離心率．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），所以雙曲線中，c=1，因?yàn)殡p曲線C與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，若△AF1F2是以AF1為底邊的等腰三角形，由拋物線的定義可知，拋物線的準(zhǔn)線方程過雙曲線的左焦點(diǎn)，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，雙曲線的離心率e==1+．故答案為：1+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直線l的傾斜角和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（0，），求|PA|+|PB|．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）直線l的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程可得，進(jìn)而得到傾斜角．由曲線C的極坐標(biāo)方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化為直角坐標(biāo)方程．（2）將|PA|+|PB|轉(zhuǎn)化為求|AB|來解答．【解答】解（1）直線的斜率為，直線l傾斜角為…由曲線C的極坐標(biāo)方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣）2+（y﹣）2=1…（2）點(diǎn)P（0，）在直線l上且在圓C內(nèi)部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x+…所以圓心（，）到直線l的距離d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…19.（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，0＜β＜α＜，求tan（α+2β）的值．參考答案：考點(diǎn)： 兩角和與差的正切函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 依題意，可求得sin（α﹣β）與sinα、tanα的值，繼而得到tanβ與tan2β的值，利用兩角和的正切即可求得tan（α+2β）．解答： ∵0＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，（3分）又cos（α﹣β）=，cosα=，∴sin（α﹣β）==，sinα=，tanα=4；（6分）∴sinβ=sin=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=；（8分）∴cosβ=，tanβ=，tan2β==﹣．（11分）∴tan（α+2β）===．（12分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查兩角和與差的正弦與正切，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知向量，，（其中），函數(shù)，若相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(I)求的值，并求的最大值及相應(yīng)x的集合；(Ⅱ)在中，a、b、c分別是A、B、C所對(duì)的邊，的面積，b=4，，求邊a的長(zhǎng).參考答案：(I)

………………3分由題意可得，∴，∴

……………4分當(dāng)時(shí)，的最大值為2，此時(shí)x的集合是

……………6分（Ⅱ）

…8分.

…………10分由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos=21

……………12分21.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若數(shù)列{an}滿足：，，．證明：．參考答案：（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析．【分析】（1）由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求的范圍；（2）先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及（1）的結(jié)論可求函數(shù)的范圍，即可證；（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證．【詳解】解：（1）由題知：，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以，即所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以又因?yàn)椋?，所以綜上知：當(dāng)時(shí)，（2）由題意，因?yàn)樗杂桑?）知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以由（1）可知：，又，∴綜上可知：（3）由（1）（2）知：若，，若，因?yàn)?，∴，，所以，，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，從而【點(diǎn)睛】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)在證明不等式中的應(yīng)用，考查了考試的邏輯推理與運(yùn)算的能力，屬于難題．22.如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求證：AC⊥BN；（2）求證：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）通過連接BD，證明AC⊥平面NDB，利用BN?平面NDB，從而證明AC⊥BN；（2）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；（3）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面MEC的法向量為=（x，y，z）．利用求出向量，求出平面ADE的法向量，利用，求出二面角M﹣EC﹣D的大?。窘獯稹浚ü?4分）解：（1）證明：連接BD，則AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因?yàn)镈N∩DB=D，所以AC⊥平面NDB．…又因?yàn)锽N?平面NDB，所以AC⊥BN．…（2）CM與BN交于F，連接EF．由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，所以F是BN的中點(diǎn)